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    分?jǐn)?shù)階微分方程泛函邊值問(wèn)題解的存在性

    2013-10-16 06:30:06李瑞瑞
    關(guān)鍵詞:邊值問(wèn)題共振算子

    李瑞瑞

    (解放軍信息工程大學(xué) 理學(xué)院,鄭州 450001)

    0 引言

    共振條件下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題得到了一些研究,如文獻(xiàn)[1]利用Mawhin迭合度理論研究分?jǐn)?shù)階三點(diǎn)邊值共振問(wèn)題解的存在性,該研究在ker L=1時(shí)進(jìn)行。文獻(xiàn)[2]在ker L=2時(shí)研究了分?jǐn)?shù)階多點(diǎn)邊值共振問(wèn)題。文中研究共振問(wèn)題:

    其中:2 <α≤3,0 < ξ≤1,δ:[0,1]→ ,f:[0,1]×R2→滿足Carathe⌒odory條件。Dα0+是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。通常文獻(xiàn)中定義投影算子時(shí),需要限制一代數(shù)表達(dá)式不等于0,筆者去掉了這個(gè)條件。

    1 預(yù)備知識(shí)

    X,Y是實(shí)Banach空間,L:dom L?X→Y零指標(biāo)的Fredholm算子,P:X→X,Q:Y→Y為投影算子,使得:Im P=ker L,ker Q=Im L,X=ker L⊕ker P,Y=Im L⊕Im Q,則LdomL∩kerP:dom L∩ker P→Im L是可逆的,記其逆映射為Kp,若Ω是X中有界開(kāi)子集,且 dom L∩≠φ,如果QN()有界,Kp(I-Q)N:→X是緊的,則稱N:X→Y在是L緊的。

    定理1 L是零指標(biāo)的Fredholm算子,N在Ω是L緊的,假設(shè)下面的條件成立:

    (1)Lx≠λNx,(x,λ)∈[(dom Lker L)∩?Ω]×(0,1);

    (2)Nx?Im L,x∈ker L∩?Ω;

    定義1[3]函數(shù) f(x)在 Riemann-Liouville意義下s階分?jǐn)?shù)積分指

    其中 s>0,Γ(s)是 Gamma函數(shù)。

    定義2[4]函數(shù) f(x),x≥0 在 Riemann-Liouville意義下s階分?jǐn)?shù)微分指

    其中 n=[s]+1。

    引理1[5]設(shè)u∈C(0,1)∩L(0,1),且u∈C(0,1)∩L(0,1),α >0 則

    引理2[6]存在p > 1,p∈+,使得e≠0。

    引理3 L:dom L?X→Y零指標(biāo)的Fredholm算子,定義線性投影算子Q:Y→Y為

    其中:

    線性算子Kp:Im L→dom L∩ker P為

    由邊界條件(2)和條件(C):T1y=T2y=0,所以

    對(duì) Qy=Q1y+Q2y·tp-1,

    同理可證:

    所以對(duì)y∈Y,Q2y=Qy,即Q:Y→Y連續(xù)線性投影算子。

    下證ker Q=Im L。顯然 Im L?ker Q,若 y∈ker Q,則 Q1y=Q2y=0,即:

    所以 T1y=T2y=0,即 y∈Im L,故 ker Q?Im L。

    對(duì)y∈Y,令 y=(y-Qy)+Qy,則 y-Qy∈ker Q=Im L,Qy∈Im Q,故 Y=Im L+Im Q;對(duì) y∈Im L∩Im Q,用反證法易知:y=0,所以Y=Im L⊕Im Q。

    定義P:X→X為

    易證P是連續(xù)線性投影算子,X=ker L⊕ker P。

    定義KP:Im L→dom L∩ker P為

    下證KP為的逆映射。

    引理4 Kp(I-Q)N全連續(xù)。

    證明 類似文獻(xiàn)[1]。

    2 主要結(jié)果

    定理2

    (1)若有函數(shù) ψ,g,h∈L1[0,1],使得

    (3)存在常數(shù) B>0,使得一切 c1,c2∈ ,只要

    證明 (1)令 Ω1={u∈dom Lker L Lu=λNu,λ∈(0,1)},取 u∈Ω1,則 Nu∈Im L,故有

    由定理2(2)存在 t0∈[0,1],使得

    因?yàn)?/p>

    所以

    所以

    綜上:

    故存在M1>0,M2>0,使得M2,故Ω1是有界的。

    (3)定義J:ker L→Im Q為

    所以

    所以

    λ=1時(shí),c1=c2=0。

    由上討論:

    (1)Lu≠λNu,(u,λ)∈ [(dom Lker L)∩?Ω ]×(0,1),

    (2)Nu?Im L,u∈ker L∩?Ω。

    只需證定理1中(3)成立。

    作同倫方程

    故 H(u,λ)≠0,u∈?Ω∩ker L。

    由同倫不變性知:

    則方程Lu=Nu在dom L∩Ω至少有一個(gè)解。即結(jié)論得證。

    [1]ZHANG YINGHAN,BAI ZHANBING.Existence of solutions for nonlinear fractional three-point boundary value problem at resonance[J].J Appl Math Comput,2011,36(1/2):417-440.

    [2]BAI ZHANBING,ZHANG YINGHAN.The existence of solutions for a fractional multi-point boundary value problem[J].Appl Math Comput,2010,60(8):2364-2372.

    [3]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M]//AMES W F.Mathematics in sciences and engineering.San Diego:Academic Press,1999.

    [4]KILBAS A A,SRIVASTAVA H M,TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations[M]//von MILL J.North-holland mathematics studies.Amsterdam:Elsevier Science Ltd,2006.

    [5]BAI ZHANBING,Lü HAISHEN.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation[J].J Math Anal Appl,2005,311(2):495-505.

    [6]周韶林,韓曉玲.共振條件下泛函邊值問(wèn)題解的存在性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2010,48(5):783-786.

    [7]暴寧偉.奇異一階微分方程周期邊值問(wèn)題的正解[J].河北工程大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,25(2):98-100.

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