具有對(duì)流項(xiàng)的拋物型反問(wèn)題中解的適定性＊

劉艷艷，張臨杰

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

0 引言

本文考慮具有對(duì)流項(xiàng)的拋物型方程的初邊值問(wèn)題

且滿足積分超定的附加條件

方程（1）表示具有對(duì)流項(xiàng)的線性熱傳導(dǎo)方程，通常用來(lái)描述自然界中擴(kuò)散現(xiàn)象、生物數(shù)學(xué)及生態(tài)現(xiàn)象等［1］，其中qux表示對(duì)流項(xiàng)。上述問(wèn)題（1）～（4）中，已知的問(wèn)題稱為此類偏微分方程的反問(wèn)題。通常無(wú)法保證解的適定性是求解偏微分方程反問(wèn)題面臨本質(zhì)性的實(shí)際困難。由于此類反問(wèn)題有著廣泛而重要的應(yīng)用背景和鮮明的新穎性與挑戰(zhàn)性，且對(duì)它的研究具有巨大的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益，因此吸引了國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者從事該領(lǐng)域的研究。

最近，關(guān)于此類偏微分方程反問(wèn)題中適定性問(wèn)題的研究較活躍。當(dāng)方程不帶對(duì)流項(xiàng)且所有的系數(shù)與t無(wú)關(guān)時(shí)，文獻(xiàn)［2－4］中作者利用抽象的半群理論得到了反問(wèn)題的適定性結(jié)論，且已推廣到擬線性拋物型問(wèn)題［5］。但是大部分問(wèn)題只涉及到局部解，而關(guān)于整體解的適定性問(wèn)題的結(jié)論甚少。文獻(xiàn)［6－7］中作者利用一些積分和Sobolev不等式證明了全局解的適定性；文獻(xiàn)［8］中作者利用解的位勢(shì)論表示定理，得到了古典的全局解。受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文主要研究帶對(duì)流項(xiàng)的拋物型方程反問(wèn)題中如何確定Holder類意義下的光滑函數(shù)對(duì)（u，p），并將證明（u，p）的確定是適定的。

1 預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)論的證明

定理1的證明 令u0＝φ（x），函數(shù)對(duì)（um，pm）（其中m＝1，2，L）滿足

所以，通過(guò)上面的分析得到的函數(shù)對(duì)（u，p）是原問(wèn)題的局部唯一解。

因?yàn)椋?2）中常數(shù)c和ε的選擇，都與初邊值條件和t無(wú)關(guān)，所以如果把u（x，ε）作為初始條件，從t＝ε開始重復(fù)上面的分析，可得到時(shí)滿足原問(wèn)題的函數(shù)對(duì)（u，p）。

有限次的重復(fù)上面的過(guò)程，定理1即可得證。定理2的證明 分兩步

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究帶對(duì)流項(xiàng)的拋物型方程反問(wèn)題中如何確定Holder類意義下的光滑函數(shù)對(duì)（u，p），并且證明了（u，p）的確定是適定的。對(duì)更一般情形的研究，如二維、三維情形，混合初邊值問(wèn)題或非齊次項(xiàng)更加復(fù)雜的情形，由于方程的結(jié)構(gòu)變的更復(fù)雜，因此證明此種方程反問(wèn)題的適定性將更加困難。然而，作者希望此種方法和其它方法相結(jié)合解決前述的更一般情形，并且能夠取得令人滿意的結(jié)果。

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