基于變導(dǎo)程的螺旋副彈性接觸研究

張 威，史 翔，李東波

（1. 南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094；2. 南京工程大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

0 引言

變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)在80年代就有人提出，并且在電梯傳動(dòng)中應(yīng)用。隨著機(jī)械制造行業(yè)的快速發(fā)展，變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)作為新興的傳動(dòng)方式被廣泛應(yīng)用。可以根據(jù)需求，設(shè)計(jì)絲桿的轉(zhuǎn)動(dòng)與螺母的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)各種非線(xiàn)性關(guān)系。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的試驗(yàn)和設(shè)計(jì)，目前在地鐵上已經(jīng)得到了初步應(yīng)用。螺母副是該機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵部件，在變導(dǎo)程條件下，傳動(dòng)滾子與絲桿的彈性接觸需要進(jìn)一步分析。本文應(yīng)用微分幾何理論對(duì)滾子和螺旋槽的主曲率進(jìn)行理論計(jì)算[1]，并根據(jù)Hertz彈性接觸理論對(duì)變導(dǎo)程條件下滾子受力和彈性變形進(jìn)行分析，對(duì)于研究變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的疲勞壽命有重要意義。

1 變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)機(jī)理

圖1 變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)機(jī)構(gòu)示意圖

圖1是一個(gè)變導(dǎo)程螺旋機(jī)構(gòu)，絲桿的導(dǎo)程是變化的。銷(xiāo)軸3與絲桿的螺旋槽5嚙合而進(jìn)行運(yùn)動(dòng)和力的傳遞，銷(xiāo)軸3在螺旋槽5中引導(dǎo)軸套沿著螺旋槽軌跡運(yùn)動(dòng)，使螺母按照導(dǎo)程的變化運(yùn)動(dòng)。在大導(dǎo)程H 1和H 2段，軸向移動(dòng)速度高；在小導(dǎo)程H3段，軸向移動(dòng)速度低；當(dāng)小導(dǎo)程H4的導(dǎo)程小到一定程度時(shí)（螺旋升角小于其摩擦角時(shí)），螺旋副可以自鎖。即同一螺旋副傳動(dòng)，既可以實(shí)現(xiàn)變速傳動(dòng)、非自鎖傳動(dòng)與自鎖傳動(dòng)以及它們之間多種運(yùn)動(dòng)的組合。

圖2 變導(dǎo)程絲桿展開(kāi)圖

將變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)絲桿沿圓周展開(kāi)成二維平面，如圖2所示?？梢钥闯?，對(duì)于變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)，其絲桿的導(dǎo)程沿絲桿軸線(xiàn)變化。在二維平面上，變導(dǎo)程絲桿螺旋槽與滾子間是高副接觸，若變導(dǎo)程絲桿1為主動(dòng)件，則滾子上受驅(qū)動(dòng)力矩M和合力R，因此，作用在螺旋副上的驅(qū)動(dòng)力，通過(guò)滾子傳遞動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)。所以若螺旋槽5的寬度不小于銷(xiāo)軸3的直徑D，螺母2就可以和任意變導(dǎo)程絲桿1構(gòu)成變導(dǎo)程螺旋副完成變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)。

2 變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)副線(xiàn)接觸

圖3為可變導(dǎo)程螺旋副示意圖，圖中E為滾子與絲杠的接觸點(diǎn)，E＇為銑刀與螺旋槽相切點(diǎn)，R為絲杠半徑，r為圓柱滾子半徑，L為滾子長(zhǎng)度，r'為銑刀半徑，螺旋升角為λ，W為載荷。其中虛線(xiàn)圓是加工螺旋槽的銑刀外輪廓，實(shí)線(xiàn)圓是滾子外輪廓。顯然，若滾子與銑刀尺寸相同時(shí)，滾子與螺旋槽是線(xiàn)接觸；若滾子半徑小于銑刀半徑時(shí)，則滾子與螺旋槽的接觸有線(xiàn)接觸和點(diǎn)接觸兩種可能。

圖3 滾子與螺旋槽線(xiàn)接觸示意圖

絲桿在加工過(guò)程中，螺旋槽側(cè)面是銑刀外圓的包絡(luò)。如果滾子與銑刀外徑相等，則在傳動(dòng)過(guò)程中滾子始終與螺旋槽保持線(xiàn)接觸。而在實(shí)際裝配中，由于滾子半徑小于銑刀半徑，這樣在滾子與絲桿接觸時(shí)，若滾子與螺旋槽接觸點(diǎn)E和銑刀與螺旋槽相切點(diǎn)E＇重合時(shí)，則滾子與螺旋槽還是線(xiàn)接觸。

滾子軸線(xiàn)與絲桿軸線(xiàn)的距離：

滾子與螺旋槽之間的接觸類(lèi)型為線(xiàn)接觸的條件為滿(mǎn)足式(1)。

設(shè)圓柱螺旋線(xiàn)所在圓柱的曲面S (t,z)，t 為絲桿旋轉(zhuǎn)角度，z為軸向坐標(biāo)，則其曲面參數(shù)方程為：

則螺旋槽曲面的第一基本形式和第二基本形式分布為：

絲桿外輪廓螺旋線(xiàn)法曲率為：

因?yàn)樽儗?dǎo)程螺旋線(xiàn)任一點(diǎn)處曲率[2]為：

則變導(dǎo)程螺旋線(xiàn)測(cè)地曲率為：

根據(jù)赫茲彈性接觸理論，接觸區(qū)半寬b為：

其中E為當(dāng)量彈性模量，由式(8)決定：

式中，1E，2E為絲桿和滾子的彈性模量，1μ，2μ為泊松比。

3 滾子與螺旋槽點(diǎn)接觸

若不滿(mǎn)足滾子與螺旋槽接觸點(diǎn)E和銑刀與螺旋槽相切點(diǎn)E＇重合條件，滾子與螺旋槽必然是點(diǎn)接觸。圖4是螺旋傳動(dòng)時(shí)滾子與螺旋槽的接觸示意圖。當(dāng)導(dǎo)程不變情況下，該接觸等效為兩個(gè)垂直圓柱體的點(diǎn)接觸。相當(dāng)于當(dāng)絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，未變形前，滾子與螺旋槽的接觸是點(diǎn)接觸，受法向力W作用時(shí)，接觸處發(fā)生變形。很明顯，橢圓的短軸和長(zhǎng)軸尺寸與兩接觸面曲率半徑有關(guān)。根據(jù)赫茲彈性接觸理論，各點(diǎn)的變形不同，而且接觸應(yīng)力也不是常數(shù)，在接觸中心，變形最大，因而壓力也最大，設(shè)maxp 表示中心處的最大壓力。應(yīng)力根據(jù)赫茲彈性接觸理論，壓力大小與變形的大小成比例，因此自中心處向四周壓力逐漸減小。

圖4 滾子與螺旋槽點(diǎn)接觸示意圖

端面上的變形呈橢圓形，故端面上各點(diǎn)的壓力σ也按橢圓規(guī)律變化，即：

接觸橢圓長(zhǎng)、短半軸分別為a、b，由彈性理論可求得：

na為接觸區(qū)域長(zhǎng)半軸系數(shù)，即滾子主曲率半徑方向；

nb為接觸區(qū)域長(zhǎng)半軸系數(shù)，即螺旋槽的接觸處主曲率半徑方向；

∑ ρ為曲率和，即：

式中， E(e) 是關(guān)于橢圓率e的第二類(lèi)完全橢圓積分，即將式(11)代入式(10)，得最大接觸應(yīng)力：

4 結(jié)論

1) 變導(dǎo)程螺旋傳動(dòng)中，滾子與螺旋槽實(shí)現(xiàn)線(xiàn)接觸的條件是在銑刀和滾子軸線(xiàn)均與絲桿軸線(xiàn)垂直時(shí)，絲桿外徑處滾子與螺旋槽的接觸點(diǎn)必須是銑刀加工螺旋槽時(shí)的切點(diǎn)。

2) 若導(dǎo)程不變，則線(xiàn)接觸等效為一彈性圓柱與剛性平面的接觸問(wèn)題；若導(dǎo)程變化，則線(xiàn)接觸的半寬b沿著絲桿方向變化，且與螺旋升角的變化率有關(guān)。

3) 在點(diǎn)接觸情況下，接觸點(diǎn)位于螺旋槽外輪廓，且等效為兩垂直彈性圓柱接觸問(wèn)題。

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