減速裝置的動(dòng)力學(xué)建模及應(yīng)用研究

王蘭，楊承濤

（1.西安工程大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西西安710048;2.西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西西安 710089）

0 引言

減速裝置是精密機(jī)械和工業(yè)機(jī)器人的重要部件之一，其動(dòng)力學(xué)特性對(duì)產(chǎn)品的工作性能有一定的影響。為了保證減速裝置具有良好的動(dòng)態(tài)特性對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，研究在實(shí)際工作狀態(tài)下的受力變化、運(yùn)動(dòng)情況及動(dòng)態(tài)特性，找出影響動(dòng)態(tài)特性的薄弱環(huán)節(jié)，從而為優(yōu)化減速裝置的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、提高減速裝置的動(dòng)態(tài)特性提供了理論依據(jù)［1-3］。

1 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型的建立

分析圖1所示傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，根據(jù)其結(jié)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型。由于各種零件動(dòng)力學(xué)作用的不同，將組成系統(tǒng)的各元件分為兩類，即慣性元件和彈性元件。

圖1 減速裝置機(jī)構(gòu)簡圖

首先將軸上的齒輪和其他質(zhì)量較大而直徑比較小的零件視為只有慣性而無彈性的慣性元件。計(jì)算兩剛性圓盤之間所有軸段的扭轉(zhuǎn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再將各軸段圖1減速裝置機(jī)構(gòu)簡圖的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量迭加到軸的兩慣性元件上，把各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度轉(zhuǎn)換成一個(gè)彈性軸段的扭轉(zhuǎn)剛度，其值應(yīng)與兩慣性元件之間實(shí)際軸段的扭轉(zhuǎn)剛度相等。最后把各軸上的兩剛性圓盤和彈性軸段，轉(zhuǎn)換到同一軸線上，構(gòu)成單一軸線的當(dāng)量圓盤系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型。

1.1 慣性元件的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

由于齒輪表面經(jīng)過滲碳淬火，彈性變形很?。▏Ш咸幍膹椥栽梢院雎裕韵嗷Ш系凝X輪可合并成一個(gè)慣量元件，轉(zhuǎn)換后按動(dòng)能相等原則得到該等效元件的當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。根據(jù)總動(dòng)能不變、總質(zhì)心位置不變的條件，將軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行等效分配。

設(shè)等效分配到慣性元件1上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J01，分配到慣性元件2上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J02，經(jīng)推導(dǎo)得出軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加到兩慣性元件后的慣性元件1，2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

同樣的處理得到所有軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從而求得系統(tǒng)振動(dòng)中各單元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1.2 彈性元件扭轉(zhuǎn)剛度的確定

a）軸的扭轉(zhuǎn)剛度

根據(jù)材料力學(xué)理論軸的扭轉(zhuǎn)剛度公式求出各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度k1，k2，…，kn，再根據(jù)剛度串聯(lián)公式將各軸段的剛度串聯(lián)起來，從而求得整根軸的扭轉(zhuǎn)剛度k［5］。

b）軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度

彈性元件按轉(zhuǎn)換前后勢能相等的原則利用通用轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。假設(shè)該軸的彎曲應(yīng)變能為U1，扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為U2，等效扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為Ue，即可得到曲柄軸段的等效扭轉(zhuǎn)剛度為:

式中:k—只考慮扭轉(zhuǎn)變形時(shí)軸段的扭轉(zhuǎn)剛度 （N·mm/rad）;

R—曲柄軸中心至輸入軸中心的距離，即扭轉(zhuǎn)半徑（mm）。

c）軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼的確定

軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼主要是材料阻尼，根據(jù)H.H.Lin和C.Lee等的分析，利用相關(guān)公式計(jì)算出扭轉(zhuǎn)阻尼。將各軸的剛度和阻尼轉(zhuǎn)換到輸入軸上后，根據(jù)減速裝置各元件的實(shí)際尺寸計(jì)算出各彈性元件的等效剛度和等效扭轉(zhuǎn)阻尼。

2 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)中慣性元件的數(shù)學(xué)模型

圖2 慣性元件的力學(xué)模型簡圖

根據(jù)力的平衡關(guān)系得τj和，設(shè)激振力矩 fj=Fj·eiω為一個(gè)簡諧函數(shù)，ω為激振頻率，F(xiàn)j為激振幅值，根據(jù)振動(dòng)理論，其他參數(shù)也可以看成是與fj同頻率的復(fù)數(shù)表達(dá)式，φj為扭角幅值，Tj為扭矩幅值，推導(dǎo)可得:

2.2 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型的建立

圖1中所示的諧波傳動(dòng)系統(tǒng)是由十四個(gè)二端元件組成，七個(gè)慣性元件和七個(gè)彈性元件，利用傳遞矩陣的原理，建立系統(tǒng)的扭振數(shù)學(xué)模型。

系統(tǒng)傳遞矩陣可簡寫成:

式（4）為一個(gè)累積矩陣的數(shù)學(xué)模型。用它可以對(duì)扭振系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算、分析和評(píng)價(jià)，也可以進(jìn)行系統(tǒng)的修改和優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3 減速裝置扭振動(dòng)力學(xué)分析及應(yīng)用研究

3.1 減速裝置的扭振動(dòng)力學(xué)分析

利用前面建立起來的減速裝置系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行扭振分析［6，8］。

本文采用數(shù)值法編制MATLAB程序?qū)ζ溥M(jìn)行迭代求解，流程圖如圖3所示。另外，利用該程序還繪制出了減速裝置系統(tǒng)的振型曲線，如圖4所示。由振型曲線圖可以看出5－6之間振幅劇增，即此環(huán)節(jié)為最薄弱環(huán)節(jié)，其主要影響因素是矩陣H3，所以提高此軸段剛度k3即可，使其動(dòng)態(tài)特性得到顯著改善。

圖3 固有頻率求解流程圖

3.2 減速裝置扭振動(dòng)力學(xué)分析的應(yīng)用研究

在試驗(yàn)中將軸頸適當(dāng)增大2 mm后得到新的振型如圖5所示，5－6之間與圖4的5－6這間振幅明顯平緩。從而可使減速裝置的使用性能得到顯著改善。

1）通過適當(dāng)增大軸的直徑或減小其長度可以提高其扭轉(zhuǎn)剛度;

2）減小了動(dòng)載荷和噪聲;

3）優(yōu)化減速裝置的工作性能;

4）延長了減速裝置的使用壽命。

圖4 減速器振型曲線

圖5 調(diào)整后的振型曲線

4 結(jié)語

減速裝置是精密機(jī)械和工業(yè)機(jī)器人機(jī)械臂關(guān)節(jié)的重要部件，而關(guān)節(jié)是工業(yè)機(jī)器人機(jī)械臂的核心構(gòu)件，機(jī)械臂在探測器執(zhí)行任務(wù)中起著決定性的作用，機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)的減速裝置必須具有較輕的質(zhì)量，以減輕關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)的負(fù)載，具有較大的傳動(dòng)比以提高機(jī)器人機(jī)械臂和機(jī)械手的控制品質(zhì)［4，7］。因此，小體積、大傳動(dòng)比、高轉(zhuǎn)矩、高效率減速器的研制開發(fā)已成為減速裝置產(chǎn)品研究的新課題。本文利用所建立的動(dòng)力學(xué)模型，通過MATLAB編程分析減速器的自由振動(dòng)，得到了該系統(tǒng)的固有頻率和各階振型等動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。通過分析試驗(yàn)改進(jìn)后的減速裝置具有良好的動(dòng)態(tài)特性，非常適合用于機(jī)器人機(jī)械臂的傳動(dòng)及其他精密機(jī)械的傳動(dòng)裝置，具有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。

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