應(yīng)用Logistic曲線預(yù)測水庫垂向水溫

許 丹，陸寶宏，程昕野，顧洪賓，3，祁昌軍，阮曉波，劉蕊蕊

(1.河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇南京 210098;2.浙江大學(xué)能源工程系，浙江杭州 310027;3.中國電力建設(shè)集團(tuán)有限公司，北京 100044;4.環(huán)境保護(hù)部環(huán)境工程評(píng)估中心，北京 100012)

水電站大壩建成后，改變了原河流的水力學(xué)特性，對(duì)于調(diào)節(jié)性能較高的水庫容易形成水溫的垂向分層，正確估計(jì)水庫水溫的分布規(guī)律對(duì)壩工設(shè)計(jì)、施工期間混凝土壩的溫度控制、大壩質(zhì)量的保證以及壩下游生態(tài)環(huán)境的保護(hù)、低溫尾水對(duì)生活生產(chǎn)危害的消弭等都具有重要意義［1］。

我國對(duì)水庫的水溫觀測始于20世紀(jì)50年代，60年代初開始對(duì)水庫水溫特性進(jìn)行研究，70年代中后期提出了一些水庫水溫估算的方法，并逐漸將研究成果應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐。關(guān)于水庫垂向水溫分布的計(jì)算，國內(nèi)已經(jīng)提出了許多經(jīng)驗(yàn)方法，最具代表性的有以下4種方法:(a)1985年東北勘測設(shè)計(jì)院在綜合分析國內(nèi)大量實(shí)際觀測資料的基礎(chǔ)上提出了東北勘測設(shè)計(jì)院計(jì)算公式(簡稱東勘院法)［2］，該公式較適用于一些中小型水庫月平均水溫的估計(jì);(b)朱伯芳［3］將水庫水溫的變化以年為周期，不同深度的水溫變化采用余弦函數(shù)近似，該方法(簡稱朱伯芳法)指出溫度變化為指數(shù)分布，對(duì)于典型三層式分布水庫預(yù)測時(shí)，不能很好地反映溫躍層的特點(diǎn);(c)1993年李懷恩［4］采用冪函數(shù)型經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)水庫水溫的垂向分布進(jìn)行模擬，可以較準(zhǔn)確地預(yù)測水庫溫躍層的水溫分布;(d)1997年中南勘測設(shè)計(jì)研究院對(duì)朱伯芳法的參數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析［5］，確定了參數(shù)的計(jì)算方法，然后在考慮水庫的規(guī)模和運(yùn)行方式后再對(duì)計(jì)算出的參數(shù)進(jìn)行修正。

通過研究發(fā)現(xiàn)，Logistic曲線的特征與典型三層式水庫垂向水溫分布規(guī)律相似。因此，筆者采用Logistic曲線模擬水庫垂向水溫，分析其參數(shù)規(guī)律，并用于水庫垂向水溫預(yù)測。

1 垂向水溫分布公式的建立

1.1 水庫水溫垂向分布類型

水庫水溫分布受到諸多因素的影響，如太陽輻射、水庫物理特性、入庫水量和泥沙等，其水溫垂向分布大致可分為3種類型［6］，即混合型(等溫型)、穩(wěn)定分層型和過渡型?；旌闲退畮齑蠖酁檎{(diào)節(jié)能力較低、水深較淺的水庫，由于上、下層水體可進(jìn)行充分的熱量交換，年內(nèi)不同時(shí)間和深度的水溫分布都比較均勻，其水溫變化與氣溫有顯著的相關(guān)關(guān)系。穩(wěn)定分層型水庫是指庫表水溫與庫底水溫差別明顯，上、下層水體不能進(jìn)行充分的熱量交換，一般水深大于40 m，調(diào)節(jié)能力大的水庫。其垂向水溫結(jié)構(gòu)可分為3層:上層，即溫變層［7］，該層水溫受環(huán)境溫度影響大，隨氣溫變化明顯;中層，又稱溫躍層或斜溫層，該層水溫隨著水深的增加劇烈變化，溫度梯度可達(dá)1.50℃/m以上［8］;下層，也稱滯溫層，該層水溫基本保持均勻，年內(nèi)變化很小，常年處于低溫狀態(tài)。過渡型水庫是兼有混合型和穩(wěn)定分層型特征的水庫，既可以呈現(xiàn)很強(qiáng)的溫躍層，上、下層水體之間也能進(jìn)行充分的熱量交換，年內(nèi)庫底溫差很大。

1.2 公式推導(dǎo)

自然界的許多事物都有一個(gè)發(fā)生、發(fā)展與衰亡的過程，但處于不同階段，其發(fā)展速度是不一樣的。一般初期處于起始階段，舉步維艱，發(fā)展速度緩慢;中期處于生長旺盛階段，增長迅速;后期處于老化階段，受到各種條件的制約，增長速度變緩，直至趨于消亡。這一過程若用一條曲線來描述，就是S形增長曲線。S形增長曲線有多種函數(shù)表達(dá)形式，Logistic曲線是應(yīng)用最廣泛的一種，該曲線方程為

式中k，a，b為Logistic曲線的3個(gè)參數(shù)(無量綱)，其中a為積分常數(shù)。

通過對(duì)水庫的垂向水溫實(shí)測資料分析，可知水庫垂向分層水溫分布與Logistic曲線(圖1，參數(shù) k，b，a分別取12，0.2，-6)相似，因此本文采用該方程對(duì)水庫水溫垂向分布規(guī)律進(jìn)行擬合。

Logistic曲線有如下函數(shù)性質(zhì):

根據(jù)Logistic曲線的上述性質(zhì)以及分層型水庫垂向水溫的分布特點(diǎn)，在Logistic曲線的基礎(chǔ)上，筆者提出如下垂向水溫的分布公式:

圖1 Logistic曲線Fig.1 Logistic curve

式中:T(y)——水深 y 處的水溫，℃;y——水深，m;Td——庫底水溫，℃。

2 參數(shù)擬合

2.1 資料選取

新安江水庫是一座具有多年調(diào)節(jié)性能的典型分層型水庫，本文采用的水溫實(shí)測資料為新安江水庫2007年的水溫垂向分布的人工觀測資料。觀測時(shí)選取平行于壩前170m的一個(gè)監(jiān)測斷面，斷面長度約為400m，監(jiān)測斷面上共布置4條測溫垂線(T1～T4)，垂線間距為100 m。在施測期間，共得到32組數(shù)據(jù)(16 d，上午和下午各1組數(shù)據(jù))。通過對(duì)實(shí)測資料的分析，得到以下結(jié)論:(a)同一測次，4條測溫垂線同一深度的水溫相差不大;(b)氣溫日變化對(duì)水溫垂向分布的影響不明顯。鑒于此，為了降低單次測量的偶然誤差，選取4條垂線上午和下午2個(gè)測次的平均值作為該監(jiān)測斷面的水溫垂向分布，得到16組數(shù)據(jù)，并對(duì)這16組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

2.2 擬合結(jié)果

雖然Logistic曲線方程能較好地描述某些有界增長現(xiàn)象，并在預(yù)測學(xué)、信息科學(xué)、生物學(xué)、農(nóng)業(yè)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有較廣泛的應(yīng)用，但在水庫水溫預(yù)測領(lǐng)域還尚未使用過。

表1 新安江水庫Logistic曲線參數(shù)優(yōu)選結(jié)果Table 1 Logistic curve parameter optimization results for Xin’anjiang Reservoir

研究結(jié)果表明，模型的參數(shù)選取直接影響模型的預(yù)測精度。式(3)的4個(gè)參數(shù)中，k，a，b完全取決于Logistic曲線方程。學(xué)者們對(duì)該3個(gè)參數(shù)也提出了許多估算方法。章元明等［9］總結(jié)了前人的研究成果，得出Logistic曲線方程的3類共16種參數(shù)估計(jì)方法，其中應(yīng)用較廣泛的有三點(diǎn)法、差分法、灰色建模法和0.618法等，但計(jì)算工作量較大;董江水［10］提出用SPSS軟件中的非線性回歸擬合Logistic曲線的方法和步驟。非線性回歸的方法對(duì)參數(shù)初值的要求低，即使參數(shù)初值選取不準(zhǔn)確，僅影響迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間，不影響參數(shù)的最優(yōu)解，而且操作簡單。筆者采用SPSS軟件中的非線性回歸方法對(duì)Logistic曲線方程參數(shù)進(jìn)行擬合。

根據(jù)新安江水庫水溫實(shí)測資料，對(duì)Logistic曲線方程參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選，結(jié)果見表1。其中，R2表示擬合優(yōu)度，擬合優(yōu)度越接近1，說明擬合效果越好。由表1可知，R2值接近于1，說明擬合效果很好。各測次實(shí)測值與計(jì)算值對(duì)比見圖2。限于篇幅，只給出部分測次的實(shí)測和模擬水溫對(duì)比。

從模擬結(jié)果上看，本文提出的Logistic曲線水溫預(yù)測公式能很好地反映新安江水庫水溫垂向的分布情況，尤其能反映典型三層式分層水庫溫躍層的特點(diǎn)，預(yù)測精度較高，水溫實(shí)測值和預(yù)測值最大絕對(duì)誤差為1.008℃。

圖2 新安江水庫水溫實(shí)測值與計(jì)算值對(duì)比Fig.2 Comparison of measured and calculated water temperature in Xin’anjiang Reservoir

3 適用性分析

為研究Logistic曲線水溫預(yù)測公式的適用性，筆者利用丹江口水庫多年月平均水溫資料、黃岡水庫資料［11］和馮家山水庫資料［4］對(duì)公式進(jìn)行擬合，結(jié)果見圖3～5。根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)，黃岡水庫2007年10月23日的擬合誤差最大為0.7℃，誤差在可接受范圍。誤差較大的原因是測試儀器(聲速剖面儀)受環(huán)境溫度影響，入水時(shí)未在表層水中停留所致。應(yīng)用東勘院法和朱伯芳法對(duì)丹江口水庫月平均水溫進(jìn)行計(jì)算，與本文經(jīng)驗(yàn)公式的結(jié)果對(duì)比見圖6。由圖6可知:東勘院法雖能夠較準(zhǔn)確地反映溫躍層特點(diǎn)，但是誤差較大;朱伯芳法計(jì)算誤差較大且不能準(zhǔn)確表現(xiàn)溫躍層特點(diǎn)［12］;筆者提出的經(jīng)驗(yàn)公式能準(zhǔn)確地反映溫躍層的特點(diǎn)且誤差較小。

圖3 丹江口水庫月平均水溫實(shí)測值與計(jì)算值對(duì)比Fig.3 Comparison of measured and calculated monthly average water temperature in Danjiangkou Reservoir

根據(jù)分析可以得到以下結(jié)論:

a.經(jīng)驗(yàn)公式(式(3))的擬合精度較高，對(duì)不同區(qū)域、不同規(guī)模和調(diào)節(jié)性能的水庫水溫模擬效果較好。限于資料，筆者僅對(duì)上述4個(gè)水庫進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，該公式適用范圍較廣，對(duì)于不同時(shí)期(升溫期(圖2(a)中的3條線和圖3中3月、4月2條線)，穩(wěn)定分層期(圖2(c)中3條線和圖3中7—10月4條線))，以及不同垂向分布類型的水庫(混合型(丹江口水庫)、穩(wěn)定分層型(新安江水庫))都有很好的適用性。

b.由 Logistic曲線的性質(zhì)［13］可知，點(diǎn)(a/(-b)，k/2)為曲線的拐點(diǎn)，用于水溫預(yù)測即為溫躍層中心點(diǎn)，a/(-b)即為溫躍層中心點(diǎn)的水深。從計(jì)算結(jié)果看，丹江口水庫4月份(a/(-b)=0.86)至9月份(a/(-b)=26.30)，a/(-b)值呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)，這個(gè)結(jié)論與文獻(xiàn)［5］的結(jié)論是一致的。對(duì)于新安江水庫，由于是單次的實(shí)測結(jié)果，影響因素很多，造成參數(shù)的規(guī)律性不甚明顯。

圖4 黃岡水庫水溫實(shí)測值與計(jì)算值對(duì)比Fig.4 Comparison of measured and calculated water temperature in Huanggang Reservoir

c.采用SPSS軟件擬合公式參數(shù)，應(yīng)用簡單、效率高，計(jì)算結(jié)果可靠。

4 預(yù)測應(yīng)用

圖5 馮家山水庫2007年8月份月平均水溫實(shí)測值與計(jì)算值對(duì)比Fig.5 Comparison of measured and calculated monthly average water temperature in Fengjiashan Reservoir in August，2007

分析結(jié)果表明，Logistic曲線水溫預(yù)測公式對(duì)不同區(qū)域、規(guī)模和調(diào)節(jié)性能的水庫具有較好的適用性，且預(yù)測精度較高。公式中各參數(shù)選取直接影響預(yù)測結(jié)果的精度。

4.1 庫底水溫T d的確定

對(duì)于無水溫實(shí)測資料的水庫，學(xué)者們已提出很多可借鑒的方法，如文獻(xiàn)［2］，［4］和［5］提到的方法。

4.2 參數(shù)k，a，b的確定

無水溫實(shí)測資料的水庫，已知的只是水庫的規(guī)模(水深、庫容、來水量等)以及水庫的地理位置、氣候類型等，其參數(shù)確定有以下2種途徑:首先，可以直接移用有實(shí)測資料的相似水庫的優(yōu)選參數(shù);此外，還可以通過以下方法確定參數(shù)。

圖6 經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果對(duì)比(丹江口水庫5月和8月月平均水溫)Fig.6 Comparison of calculated results of empirical formulas(monthly average water temperature in Danjiangkou Reservoir in May and August)

a.由計(jì)算結(jié)果可知參數(shù)b的變化范圍很小(新安江水庫參數(shù)b的變化范圍為0.044～0.391，丹江口水庫4—10月參數(shù)b的變化范圍為0.117～0.222)，因此可根據(jù)地域和季節(jié)，取參數(shù)b為常數(shù)。取丹江口水庫的參數(shù)b=0.150，新安江水庫的參數(shù)b=0.200。參數(shù)k和a仍采用優(yōu)化的結(jié)果。丹江口水庫和新安江水庫參數(shù)計(jì)算結(jié)果見表2和表3。計(jì)算結(jié)果表明，參數(shù)b取常數(shù)后，新安江水庫水溫計(jì)算最大絕對(duì)誤差為2.723℃，丹江口水庫為1.07℃，水溫計(jì)算值在可接受范圍內(nèi)。因此，參數(shù)b取定值是可行的，預(yù)測時(shí)可根據(jù)有實(shí)測資料的相似水庫參數(shù)b的取值范圍確定一個(gè)定值b。

表2 丹江口水庫5月、6月水溫垂向分布Table 2 Vertical distribution of water temperature in Danjiangkou Reservoir in May and June

表3 新安江水庫b=0.200時(shí)的計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculated results of Xin’anjiang Reservoir when b=0.200

Tb可以根據(jù)現(xiàn)有的方法［2］估算。參數(shù)k反映溫躍層中心點(diǎn)的水溫，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)k與前期時(shí)段平均氣溫存在相關(guān)關(guān)系，且前期時(shí)段氣溫時(shí)間序列越長其相關(guān)關(guān)系越好，2007年3月7日至8月9日的13個(gè)參數(shù)k與前30日平均氣溫的相關(guān)系數(shù)為0.979。

b.根據(jù)式(3)，當(dāng)y=0時(shí)庫表水溫Tb存在如下關(guān)系:

筆者選取了新安江水庫附近地區(qū)氣象站點(diǎn)(杭州站、黃山站、道孚站)以及新安江尾水氣溫共4組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果表明，參數(shù)k與尾水氣溫的相關(guān)性最好。因此，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)推薦采用庫區(qū)實(shí)測氣溫，這樣得到的相關(guān)關(guān)系會(huì)更好。本文結(jié)果與李懷恩［4］對(duì)丹江口水庫和馮家山水庫的分析結(jié)論一致。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，除了直接移用參數(shù)外，還可以移用參數(shù)k與氣溫的相關(guān)關(guān)系，并根據(jù)預(yù)測水庫的氣象條件對(duì)參數(shù)k進(jìn)行修正。

c.a/(-b)為溫躍層中心點(diǎn)的水深，從理論上講，其變化規(guī)律如下:從升溫期開始，溫躍層中心點(diǎn)的水深逐漸增大。從丹江口水庫的計(jì)算結(jié)果看，該規(guī)律比較明顯。因此，可建立其與月份的關(guān)系，可均勻變化，也可根據(jù)相似的有實(shí)測資料水庫的參數(shù)，采用相應(yīng)的變化規(guī)律［5］。此外，如果參數(shù)k確定后，反推出參數(shù)a(式(5))，便可運(yùn)用式(3)進(jìn)行計(jì)算。

5 結(jié) 語

提出了利用Logistic曲線估算垂向水溫分布的新方法。Logistic曲線水溫預(yù)測公式有如下特點(diǎn):(a)擬合精度較高，適用性較強(qiáng)，具有可行性;(b)對(duì)于有實(shí)測資料的水庫，參數(shù)計(jì)算方法簡單且可靠性高;(c)對(duì)于無實(shí)測資料的水庫，參數(shù)可由本文提出的途徑來估計(jì)，且能滿足精度要求。Logistic曲線水溫預(yù)測公式需要確定4個(gè)參數(shù)，分析結(jié)果表明其中3個(gè)參數(shù)k，a，b具有一定的規(guī)律性，但限于實(shí)測水溫難以獲得，目前尚無法對(duì)各參數(shù)的規(guī)律性一一總結(jié)定性。下階段將通過收集更多不同類型水庫的水溫實(shí)測資料，分析公式參數(shù)的規(guī)律性，完善Logistic曲線水溫預(yù)測公式的適用性，為我國水庫水溫預(yù)測增添一種可選方法。

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