懸移質(zhì)泥沙的垂線分布

莫 磊，李瑞杰，2，李佳芮，劉華鋒

(1.河海大學(xué)海岸災(zāi)害及防護(hù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210098;2.河海大學(xué)環(huán)境海洋實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210098)

懸移質(zhì)泥沙的濃度分布理論多種多樣［1］，但都可以統(tǒng)一到擴(kuò)散理論的形式，不同點(diǎn)主要表現(xiàn)為擴(kuò)散系數(shù)中考慮的主要影響因素和影響方式的差別。擴(kuò)散理論的關(guān)鍵是合理確定擴(kuò)散系數(shù)，由于泥沙問題的復(fù)雜性，擴(kuò)散系數(shù)的確定經(jīng)常帶有半經(jīng)驗(yàn)性，通常引入施密特?cái)?shù)Sc(Sc=vt/εs)或修正系數(shù)β(β=1/Sc)，認(rèn)為紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)εs正比于水流紊動(dòng)黏性系數(shù)vt［2］。進(jìn)一步假定水流質(zhì)點(diǎn)的紊動(dòng)擴(kuò)散與水流動(dòng)量的紊動(dòng)交換過程類似，紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)等于水流紊動(dòng)黏性系數(shù)。在研究含沙量沿垂向分布以及紊流計(jì)算中，經(jīng)常要用到水流的紊動(dòng)黏性系數(shù)［3］。基于有限摻混長(zhǎng)度理論，不同摻混長(zhǎng)度的表達(dá)式對(duì)應(yīng)著不同的水流紊動(dòng)黏性系數(shù)［4］。由于不同區(qū)域的泥沙特性不一樣，因此考慮泥沙垂線分布時(shí)也要考慮到不同區(qū)域的泥沙特性［5-7］。泥沙垂線分布公式的形式很多［8-11］，其中Rouse提出的公式應(yīng)用最多，但Rouse公式有一定的局限性。筆者擬從水流的應(yīng)力分析入手，對(duì)實(shí)測(cè)資料進(jìn)行最小二乘擬合，期望得出新的摻混長(zhǎng)度公式，進(jìn)而導(dǎo)出新的懸沙垂線分布公式以彌補(bǔ)Rouse公式的一些缺陷。

1 紊動(dòng)黏性系數(shù)

1.1 應(yīng)力分析

根據(jù)紊流理論，切應(yīng)力由兩部分組成:

其中

式中:τ1——黏滯切應(yīng)力;τ2——紊動(dòng)切應(yīng)力;μ——水流的動(dòng)力黏性系數(shù);ux——順流向的速度分量;ρ——水的密度;u'x——x方向的脈動(dòng)流速;u'z——z方向的脈動(dòng)流速。

對(duì)于二維均勻流，τ沿垂線的分布呈線性變化:

其中

式中:τ0——床面切應(yīng)力;z——垂向位置坐標(biāo)(z軸的正方向與重力方向相反)，在床面上時(shí)取z=0;h——水深;u*——摩阻流速。

紊流中，在黏性底層以外的流區(qū)，滿足:

根據(jù)Prandtl的混合長(zhǎng)度理論，τ2又可表示為

1.2 摻混長(zhǎng)度

Prandtl假設(shè)摻混長(zhǎng)度的表達(dá)式為l=κz，其中κ為卡門常數(shù)。而Rouse公式中，采用二維均勻流的切應(yīng)力垂線分布τ=τ0(1-z/h)，得到紊流摻混長(zhǎng)度公式為

根據(jù)Einstein和Chien的泥沙試驗(yàn)資料，采用最小二乘法擬合出一條平滑的曲線。該曲線的表達(dá)式為

式中A為待定系數(shù)，A的擬合結(jié)果為0.172375。

將Prandtl及Rouse采用的紊流摻混長(zhǎng)度公式與式(6)進(jìn)行比較(圖1)，可知Prandtl摻混長(zhǎng)度在整個(gè)垂線方向?yàn)榫€性形式，這與實(shí)際不符。同樣，Rouse公式的摻混長(zhǎng)度在水面處等于零，這也與實(shí)際不符。

再將Prandtl，Rouse和式(6)的紊流摻混長(zhǎng)度與試驗(yàn)資料進(jìn)行比較(圖2)，可知式(6)結(jié)果與Einstein和Chien的泥沙試驗(yàn)資料最切合。

1.3 紊動(dòng)黏性系數(shù)的計(jì)算

1887年Boussinesq類比層流提出了紊動(dòng)黏性系數(shù)νt的概念，根據(jù)其假定:

圖1 Prandtl和Rouse采用的紊流摻混長(zhǎng)度與式(6)結(jié)果的比較Fig.1 Comparison of Prandtl and Rouse’s mixing length with Eq.(6)

將式(3)代入式(1)，并將 τ0=ρ代入，聯(lián)立式(8)可得

圖2 Prandtl，Rouse及式(6)的紊流摻混長(zhǎng)度與Einstein和Chien試驗(yàn)資料的比較Fig.2 Comparison of Prandtl and Rouse’s mixing length，and Eq.(6)with Einstein and Chien’s test data

2 懸沙垂線分布公式

式中:ω——泥沙顆粒在靜止清水中的沉降速度;c——含沙量;εs——泥沙顆粒交換系數(shù)，取εs≈νt，可得

懸移質(zhì)在水流中處于平衡狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足的質(zhì)量守恒方程為

式中ca為z=a處的含沙量。

而Rouse公式為

其中

甌江口的泥沙為黏性沙，根據(jù)Krone發(fā)現(xiàn)的泥沙沉速隨著含沙量的增加而增加的規(guī)律［12］，認(rèn)為可取

式中K為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，取為0.001。在已知u*和ω的情況下，即可求得Rouse數(shù)。

取Rouse數(shù)等于1時(shí)，Rouse公式和式(12)結(jié)果的比較如圖3所示。結(jié)果顯示，式(12)與Rouse公式的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.9628，但式(12)卻克服了Rouse公式所在水面處和河底部位出現(xiàn)的缺陷，即式(12)不僅當(dāng)懸浮指標(biāo)不大時(shí)所描述的水面含沙量不為零，而且當(dāng)參考點(diǎn)取得相當(dāng)小時(shí)所描述的含沙量仍不會(huì)出現(xiàn)等于無窮大的不合理現(xiàn)象。

圖3 Rouse公式結(jié)果與式(12)結(jié)果的比較(Rouse數(shù)為1)Fig.3 Comparison of Rouse formula and Eq.(12)(assuming Rouse number is equal to 1)

3 實(shí)測(cè)資料驗(yàn)證分析

選取2010年甌江口1號(hào)和2號(hào)站點(diǎn)的中潮實(shí)測(cè)資料(各層含沙量)對(duì)式(12)進(jìn)行分析驗(yàn)證(參考層取為0.2層)，小潮和大潮的結(jié)果與中潮類似。

如圖4、圖5所示，雖然甌江口海域輸沙量大，但含沙量都比較低，泥沙分布特征不明顯，下層含沙量與上層差異不大。式(12)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)整體趨勢(shì)一致，均能客觀地反映含沙量垂線分布規(guī)律。整體上，式(12)合理地反映了整個(gè)水體的含沙量垂線分布規(guī)律。

圖4 甌江1號(hào)站位(中潮)計(jì)算與實(shí)測(cè)含沙量對(duì)比omparison of computed sediment concentration and field data at station No.1 in Oujiang Estuary(middle tide)

圖5 甌江2號(hào)站位(中潮)計(jì)算與實(shí)測(cè)含沙量對(duì)比omparison of computed sediment concentration and field data at station No.2 in Oujiang Estuary(middle tide)

4 結(jié) 語

根據(jù)Einstein和Chien的泥沙試驗(yàn)資料，采用最小二乘法擬合出新的摻混長(zhǎng)度經(jīng)驗(yàn)公式，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到新的懸沙垂線分布公式，將此公式與2010年甌江口各層含沙量實(shí)測(cè)資料進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明新公式能夠較好地反映懸沙垂線分布規(guī)律。

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