巖石單裂隙滲流-傳熱模型及其參數(shù)敏感性分析

董海洲，羅日洪，張 令

(1.河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京 210098;2.河海大學(xué)巖土工程研究所，江蘇南京 210098)

裂隙巖石滲流-傳熱問題常包含瞬態(tài)、非均質(zhì)等復(fù)雜過程，很難得到其解析解，一般采用數(shù)值計算方法來進行模擬［1］。但在特定情況下，可以通過簡化模型得到半解析解或解析解。簡化模型的特點是概念簡單明了，方便用于分析裂隙滲流-傳熱的基本特征以及一些影響參數(shù)的敏感性。

鑒于裂隙巖石滲流的復(fù)雜性，一般將其簡化為單裂隙平板模型進行研究。例如Lauwerier等［2-4］分別提出了不同的簡化概念模型和解析解;柴軍瑞等［5-6］分別對單裂隙非穩(wěn)定流進行了分析，并進行巖石一維滲流場與溫度場的耦合分析，得出模型的近似解析解;張文捷等［7］建立了改進的離散-連續(xù)介質(zhì)巖石滲流耦合模型，提出反映水頭間斷程度的連續(xù)系數(shù)概念;孫粵琳等［8］研究了瞬態(tài)溫度場作用下巖體表面裂縫的擴展，表明溫度場對巖體裂縫的擴展有很大的影響。

熱源法可用于巖石中單裂隙滲流-傳熱機制的研究。筆者借鑒非穩(wěn)態(tài)平面熱源法中的傳熱數(shù)學(xué)模型［9］，建立巖石單裂隙在瞬態(tài)下的傳熱數(shù)學(xué)模型，得到裂隙巖石過余溫度的瞬態(tài)解析解。在此基礎(chǔ)上，分析巖石單裂隙傳熱的一般規(guī)律，以及模型中幾個主要參數(shù)(裂隙水流速度、隙寬、水流與巖石初始溫度差)的敏感性，得到這3個參數(shù)對巖石溫度場的影響程度。

1 幾何模型的建立及求解

幾何模型的假定:(a)巖體本身的滲透性忽略不計，地下滲透水流只在巖石裂隙中流動;(b)裂隙內(nèi)水流為穩(wěn)定層流，具有常物性、無內(nèi)熱源、不可壓縮性，水流溫度穩(wěn)定;(c)巖體內(nèi)存在單一裂隙，裂隙為平行狀窄縫，且無限延伸，裂隙長度遠大于隙寬;(d)巖體中的熱量傳輸只考慮熱傳導(dǎo)，忽略對流換熱、熱輻射的影響;(e)裂隙無填充。

1.1 幾何模型的建立

取微小單裂隙巖體幾何模型，單裂隙兩邊巖體無限大，在無窮遠處巖石溫度的x方向無限延伸。無窮遠處原始地層溫度為Ts0，巖石即時溫度為Ts。由于單裂隙隙寬很小，近似取單裂隙的隔水邊界為y=0。如圖1所示，在y方向進行半無限大瞬態(tài)導(dǎo)熱問題的求解，假設(shè)在某一水頭差的作用下，單裂隙內(nèi)的流速是不變的，相應(yīng)的導(dǎo)熱方程、初始條件和邊界條件分別為

圖1 單裂隙熱流模型示意圖Fig.1 Sketch map of single fracture heat flow model

式中:θ——過余溫度，θ＞0對應(yīng)于巖石受裂隙高溫滲透，水流對其產(chǎn)生的溫升，θ＜0對應(yīng)于地?zé)嶙饔孟聨r石致使裂隙滲透水流溫度升高，而巖石本身產(chǎn)生的溫降，℃;t——時間，s;y——巖石內(nèi)部到隔水邊界距離，m;as——熱擴散率，m2/s;λs——導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K);f(t)——邊界上施加的熱流密度，W/m2。

1.2 幾何模型求解

對定解問題(1)中的方程關(guān)于t作Laplace變換加以求解，最終可得Laplace空間溫度變換的解析解:

式中erfc(*)為余誤差函數(shù)。

1.3 熱源密度的確定

巖石裂隙中地下水的流動屬于受迫對流傳熱，對流換熱量可以根據(jù)牛頓冷卻定律來計算，則流體吸收的熱量為

式中:Tw——流體的溫度(Ts＞Tw);A——物體的表面積。則由式(4)可得邊界熱流密度為

式中:S——Laplace變量;?——θ的 Laplace變換;φ——熱流密度 f(t)的 Laplace變換。

經(jīng)過Laplace逆變換，對于f(t)=q(常數(shù))可得

式中h為巖石與水的熱交換系數(shù)。

當裂隙水流為層流，則有［10］

其中

式中:Nu——努塞爾數(shù);Re——雷諾數(shù);Pr——普朗特數(shù);L——特征長度，m;λw——水的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃);Cw——水的比熱容，J/(kg·℃);ρw——水的密度，kg/m3;v——水流流速，m/s;μ——水的動力黏滯系數(shù)，Pa·s。

綜上可得

將其代入式(3)，可得裂隙巖石的過余溫度模型的解析解:

2 巖石單裂隙傳熱影響因素分析

地下水在巖石裂隙運動時，忽略溫度對滲流的影響，所以假定Cw，ρw，λw，λs，as都為常物性參數(shù)，以花崗巖為例，取其工程常用的參數(shù)［11］:Cw=4 200 J/(kg·℃)，ρw=1 000 kg/m3，λw=0.6 W/(m·℃)，λs=2.391 W/(m·℃)，as=1.384 ×10-6m2/s。由式(4)可知，過余溫度 θ(y，t)與裂隙水流速度 v、隙寬 b、水流與巖石初始溫度差ΔT(Ts0-Tw)以及y和t有關(guān)。

下面進行不同工況下單裂隙傳熱數(shù)學(xué)模型計算，從而分析單裂隙傳熱影響因素的變化規(guī)律。計算中取特征長度為b，裂隙水流速度為v1=5×10-5m/s，v2=4×10-4m/s，v3=10-3m/s;隙寬分別為b1=5×10-6m，b2=1.8×10-5m，b3=5×10-5m;巖石初始溫度分別為Ts1=25℃，Ts2=30℃，Ts3=35℃，地下水初始溫度為Tw=20℃。

2.1 過余溫度隨t和y的變化規(guī)律

距離隔水邊界越近，溫度場變化越劇烈。圖2(a)為沿y方向一簇不同y值下，θ與t的關(guān)系曲線。各條曲線的變化速率開始時比較快，然后變緩，最后趨于零。圖2(b)為沿t方向一簇不同t值下，θ與y的關(guān)系曲線。曲線從上到下，其斜率是逐漸變小的。對于圖2，就物理原因而言是因為隨著y的增加，巖石與裂隙間熱量傳遞的距離越長，巖石內(nèi)的過余溫度變化越慢。

圖2 θ與y的關(guān)系曲線Fig.2 Relationship betweenθand y

2.2 不同滲透流速下巖石內(nèi)的過余溫度

在工況b2=1.8×10-5m，Ts2=25℃，Tw=20℃下，不同裂隙水流速度所對應(yīng)的巖石過余溫度如圖3(a)所示。由圖3(a)可以看出，巖石的過余溫度和影響范圍隨著時間的增長而逐漸變大，其趨勢為在開始時隨著y迅速變化，然后趨緩，最后趨于0，這與圖2(a)所示互為驗證。裂隙內(nèi)水流滲透速度的變化，會影響溫度場的分布。隨著裂隙內(nèi)水流滲透速度的加快，熱交換的速度隨之加快，縮短了到達熱平衡的時間。滲透速度增大，導(dǎo)致熱質(zhì)遷移隨之增大，在與巖石進行熱交換達到平衡狀態(tài)時，裂隙內(nèi)部溫度場的變化越劇烈。

2.3 不同隙寬下巖石內(nèi)的過余溫度

在工況Ts2=25℃，Tw=20℃，v2=0.000 4 m/s下，不同隙寬對應(yīng)的巖石過余溫度如圖3(b)所示。由圖3(b)可以看到，b越小，熱質(zhì)遷移的能力也越小，對巖石溫度場的改變也越小。b的改變對巖石溫度場的影響較小。

圖3 不同v，b和ΔT下巖石內(nèi)過余溫度的變化Fig.3 Change of excess temperature of rock at different v，b，and ΔT

2.4 不同水流與巖石初始溫度差下巖石內(nèi)的過余溫度

在工況v3=0.001 0 m/s，b=1.8×10-5m下，不同水流與巖石初始溫度差所對應(yīng)的巖石過余溫度如圖3(c)所示。巖石和裂隙水之間的相對溫度越高，則其溫度梯度的變化率越大，熱量交換的速率也越快，巖石內(nèi)溫度場變化也越劇烈。

3 參數(shù)敏感性分析

由本文分析可知，參數(shù)v，ΔT和b對巖石的溫度場都有影響，但其影響程度需進行敏感性分析。

3.1 分析方法

設(shè)一系統(tǒng)，其系統(tǒng)特性 P 主要由 n 個因素 α ={α1，α2，…，αn}決定，P=f(α1，α2，…，αn)。在某一基準α*={α，α，…}下，系統(tǒng)特性為P*［12］。分別令各因素在其可能的范圍內(nèi)變動，分析由于這些因素的變動系統(tǒng)特性，P偏離基準狀態(tài)P*的趨勢和程度，這種分析方法稱為敏感性分析。

首先，需要進行無量綱化處理。為此定義無量綱形式的敏感度函數(shù)和敏感度因子，即將系統(tǒng)特性P的相對誤差δp=/P與參數(shù)αk的相對誤差δαk=/αk的比值定義為參數(shù)αk的敏感度函數(shù)Sk(αk):

可繪出αk的敏感函數(shù)曲線Sk～αk。取αk=，即可得到參數(shù)αk的敏感度因子:

3.2 分析結(jié)果

系統(tǒng)特性即為裂隙巖石的過余溫度θ，進行敏感性分析的參數(shù)為v，b，ΔT。根據(jù)傳熱模型，給出基準參數(shù)集:t*=120 h;y*=0.5 m;v*=0.0004 m/s;b*=1.8×10-5m;ΔT*=5℃。這里的基準參數(shù)集只是為了探討參數(shù)的一般性規(guī)律，在實際工程及試驗中可以有所不同。基準參數(shù)和本文傳熱模型的參數(shù)所選范圍一致，v=0.00005 ～0.00100 m/s，b=5×10-6～5×10-5m，ΔT=5～15℃。分別逐次取定 v，b，ΔT 的值，計算出裂隙巖石的θ，用曲線擬合方法建立θ與v，θ與b及θ與ΔT的函數(shù)關(guān)系θ=φv，θ=φb和θ=φΔT，分別為

由式(8)，得敏感度函數(shù) Sv，Sb和 SΔT分別為

相應(yīng)的敏感度曲線見圖4～6。

從圖4～6可以看出，在給定的參數(shù)范圍之內(nèi)，參數(shù)v值較低時，對應(yīng)的敏感度較高。隨著v變大，敏感度逐漸降低，b的敏感度隨v的增加而增加，參數(shù)ΔT的敏感度保持不變。將基準值v*=0.0004 m/s代入式(9)Sv，即得v的敏感度因子Sv*=1.098;同理得基準值下b和ΔT的敏感度因子 Sb*=0.216，SΔT*=1。

圖4 Sv～v曲線Fig.4 Sv-v curve

由此，對于裂隙巖石的θ，即裂隙巖石的溫度場而言，由分析結(jié)果可知v是最敏感參數(shù)，其敏感度高達1.098。也就是說，若v的計算值與實際值相差10%，則θ的相對誤差δθ=10.98%。b敏感度較低，若誤差為10%，引起θ的誤差僅為2.16%。ΔT的敏感度為1，若誤差為10%，引起θ的誤差也為10%。因此，對于v和ΔT，計算值的選取應(yīng)特別慎重。需要指出的是，該結(jié)論是針對特定基準參數(shù)集給出的，對于不同的基準參數(shù)集，也可得到相似的規(guī)律。

對敏感度因子進行排序，可以區(qū)分傳熱模型中的主要參數(shù)和次要參數(shù)，這樣在工程應(yīng)用或試驗時就可以對方案進行優(yōu)化。對本文的模型而言，在參數(shù)范圍內(nèi)由于b敏感度比較小，在測定其值時，不用要求過高的精度，從而節(jié)省費用。

圖5 Sb～b曲線Fig.5 Sb-b curve

圖6 SΔT～ ΔT 曲線Fig. SΔT-ΔT curve

4 結(jié) 語

通過建立巖石單裂隙傳熱數(shù)學(xué)模型，探討了巖石單裂隙傳熱的一般規(guī)律，并對模型參數(shù)進行了敏感性分析，得到以下結(jié)論:(a)滲透作用下巖石溫度場是裂隙水流速度、隙寬、水流與巖石初始溫度差等綜合作用的結(jié)果。(b)在給定參數(shù)范圍內(nèi)，巖石的溫度場對參數(shù)v和ΔT的敏感性要比對b的敏感性高。

本文建立的巖石單裂隙傳熱數(shù)學(xué)模型具有理論清晰、計算過程簡單明了等特點，可以用于分析單裂隙巖石滲流-傳熱的基本特征和參數(shù)敏感性，但也存在一些局限需要深入研究:裂隙巖石假設(shè)為隔水邊界;邊界條件考慮簡單，與實際情況存在差距;沒有考慮溫度對滲流的影響;敏感性分析未考慮參數(shù)之間的相互影響等。

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