地震拖纜的復(fù)模態(tài)振動(dòng)主動(dòng)控制

張 亮，張維競(jìng)，劉 濤

(上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200030)

在海洋石油勘探中，拖曳陣列被廣泛使用。海洋地震勘探由一個(gè)拖曳船，一組零浮力拖纜和探測(cè)控制設(shè)備等組成。為探測(cè)由海底返回的聲波，在拖纜上均勻分布著水聽器組。國(guó)際上，目前拖纜的長(zhǎng)度一般為3 000 m左右，一個(gè)典型的拖曳形狀如圖1所示。在拖曳的時(shí)候，拖纜由深度控制器(水鳥)控制，通常情況下這些控制器沿拖纜每隔100～300 m布置一個(gè)。

拖纜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型已經(jīng)被數(shù)位學(xué)者研究過(guò)，例如Dowling，Triantafyllou G，Chryssosdis［2］，Pedersen E，Sorensen［3］，Svein Ersdal［4］，上述學(xué)者主要研究了拖纜系統(tǒng)的線性化模型。Tu Duc Nguyen［5］基于邊界測(cè)量，設(shè)計(jì)了指數(shù)穩(wěn)定的觀測(cè)器，同時(shí)利用觀測(cè)器和邊界測(cè)量的信息，設(shè)計(jì)了一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的控制器。段磊，張小卿［6-7］設(shè)計(jì)了一種新的控制拖纜姿態(tài)的控制器，可以在深度和水平方向控制拖纜。劉濤，張維競(jìng)［8-9］基于lyapunov方法研究了拖纜系統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制規(guī)律。上述控制規(guī)律方面的研究都主要集中于拖纜系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，在抑制拖纜系統(tǒng)振動(dòng)性能方面的研究文獻(xiàn)還比較少見。

圖1 海上地震勘探系統(tǒng)Fig.1 Marine seismic surveying system

實(shí)模態(tài)控制方法是一種發(fā)展較為成熟的技術(shù)，但由于地震拖纜的重阻尼特性，采用比例阻尼來(lái)代替實(shí)際阻尼特性的近似方法，不能真實(shí)反映地震拖纜系統(tǒng)的動(dòng)力特性，從而使得實(shí)模態(tài)主動(dòng)控制策略難以實(shí)施。因此，首先建立了地震拖纜系統(tǒng)的有限元模型，基于模態(tài)觀測(cè)器，在獨(dú)立復(fù)模態(tài)空間，通過(guò)選擇合適的權(quán)重矩陣，對(duì)地震拖纜的低階模態(tài)，設(shè)計(jì)了穩(wěn)定的最優(yōu)控制規(guī)律。

1 拖纜系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程和有限元模型

地震拖纜系統(tǒng)的線性化模型［4］:

式中:m表示單位纜長(zhǎng)的質(zhì)量與其附加質(zhì)量之和;Q(x)=T(x)-aU2，U表示拖曳速度，a表示單位纜長(zhǎng)的附加質(zhì)量;T(x)=T0+ft(l-x)，T0是拖纜尾端張力，ft=0.5ctρπdU2，ft表示單位纜長(zhǎng)切向水阻力，ct表示切向水阻力系數(shù);l表示拖纜的長(zhǎng)度，ρ表示海水的密度，d是拖纜的直徑;a1=2aU;fn=0.5cnρπdU2，fn表示單位纜長(zhǎng)法向水阻力，cn表示法向水阻力系數(shù)。

使用有限元方法能夠?qū)⑸鲜隹刂品匠屉x散，得到系統(tǒng)的有限元模型，詳細(xì)的有限元建?？蓞⒖嘉墨I(xiàn)［4］。

式中:M表示n×n質(zhì)量矩陣，C是n×n線性化水阻尼矩陣，G是由拖纜的軸向運(yùn)動(dòng)引起的n×n陀螺阻尼矩陣，K是n×n系統(tǒng)的剛度矩陣，F(xiàn)表示n×1節(jié)點(diǎn)力向量，能被分解為

式中:Fc表示由水鳥提供的控制力，F(xiàn)d表示擾動(dòng)力。

2 控制描述

將系統(tǒng)的有限元模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型，令

其中，yi表示拖纜垂向速度，yn+1表示拖纜垂向位移 。

則可以將式(4)寫成

上式是一組2n個(gè)耦合的一階常微分方程。

應(yīng)用左右特征向量的雙正交性［10］，可解耦上述方程。

使用下面的線性變換，原狀態(tài)向量X(t)能夠被轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)

其中，R就是右模態(tài)矩陣。利用雙正交性可以獲得下列一組解耦的模態(tài)方程

其中，Q(t)=LTBV(t)，L是包括左特征向量的實(shí)部和虛部的模態(tài)矩陣。模態(tài)矩陣L，R滿足LTR=I。方程(10)包括n對(duì)下列形式的解耦的模態(tài)方程

3 最優(yōu)獨(dú)立模態(tài)空間控制

控制的目標(biāo)是最小化系統(tǒng)的響應(yīng)。最優(yōu)獨(dú)立模態(tài)空間控制通過(guò)最小化目標(biāo)泛函得到

其中，Js是穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)的獨(dú)立模態(tài)泛函，k是被控的模態(tài)數(shù)。

其中，Es是權(quán)重矩陣。

從最優(yōu)控制理論可以得到最優(yōu)的獨(dú)立模態(tài)控制力是

其中，Ks為最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)的反饋增益矩陣，Ss可以通過(guò)求解下面的Riccati方程獲得

Riccati矩陣是一個(gè)2×2矩陣，由于矩陣的對(duì)稱性，對(duì)每一個(gè)僅僅需要求解3個(gè)元素。在地震拖纜控制系統(tǒng)中，水鳥提供的控制力正比于水鳥中電機(jī)所消耗的能量，即式(13)中的第二項(xiàng)代表的是水鳥的能耗。

權(quán)重矩陣Es如果選擇不當(dāng)［11］，可能會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。采用新的設(shè)計(jì)方法［11-12］使用一個(gè)具有相對(duì)角同元素的對(duì)角權(quán)重矩陣Es=diag(Es11，Es11)能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，相應(yīng)的最優(yōu)控制的Riccati方程的解就變?yōu)?

則最優(yōu)獨(dú)立模態(tài)空間控制的控制輸入為

在計(jì)算反饋控制力時(shí)需要精確的模態(tài)狀態(tài)，因?yàn)樯疃葌鞲衅鞯臏y(cè)量是實(shí)際的位移和速度，需要將傳感器的讀數(shù)轉(zhuǎn)換為模態(tài)狀態(tài)參數(shù)。這可以通過(guò)觀測(cè)器或者模態(tài)濾波器實(shí)現(xiàn)，模態(tài)濾波器有眾多的優(yōu)點(diǎn)，但進(jìn)行模態(tài)濾波時(shí)需要較多的傳感器，實(shí)際的拖曳系統(tǒng)的傳感器數(shù)目較少，因此可以通過(guò)狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)傳感器的讀數(shù)到模態(tài)狀態(tài)參數(shù)的轉(zhuǎn)換。

4 數(shù)值仿真

通過(guò)數(shù)值計(jì)算可驗(yàn)證上述控制策略的有效性。仿真長(zhǎng)度為900 m的拖纜，有限元模型共有90個(gè)元素，即n=90。拖纜系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的初始條件為:φ(x)=sin(2πx/900)，φ(x)=0。仿真使用的數(shù)據(jù)見表1。

表1 拖纜系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of towed seismic cable

由于拖纜張力為一沿拖纜長(zhǎng)度變化的量，為了更有效地控制拖纜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，在250 m、450 m、600 m和800 m處配置水鳥。選擇250 m和600 m處的水鳥控制拖纜的第一階模態(tài)，450 m和800 m處的水鳥控制第三階模態(tài)。對(duì)400 m拖纜處施加一個(gè)沖擊載荷，圖2給出了550 m處拖纜系統(tǒng)的響應(yīng)，由圖可以看出與未控制拖纜相比，在550 m處被控制拖纜有較好動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

圖3給出了4個(gè)水鳥的作用力變化圖。各水鳥提供的作用力完全在現(xiàn)有水鳥能夠提供的變化力范圍之內(nèi)。由圖3(a)、(b)可見，在拖纜張力較大的前端，也就是250、450 m處的水鳥對(duì)外擾施加的作用力較大，但能夠較快地收斂到零，而處于拖纜張力較小的尾部，也就是600、800 m處的水鳥，雖然需要施加的作用力較小，但卻需要較長(zhǎng)的時(shí)間才能收到零，這些是和實(shí)際情況相符合的。

圖2 550 m處拖纜的位移響應(yīng)Fig.2 Displacement response of seismic cable at 550 m

圖3 不同位移水鳥的作用力Fig.3 Force provided by bird

圖4給出了拖纜前三階模態(tài)的變化圖。從圖4(a)、(c)可以看出，由于對(duì)第一、三階模態(tài)施加了控制力，這兩階模態(tài)得到了較好的抑制;而從圖4(b)可以看出，第二階模態(tài)非但沒(méi)有得到抑制反而有所增強(qiáng)，這是由第一、第三階模態(tài)的控制力溢出引起的。

圖4 拖纜前三階模型變化Fig.4 Response of the first three mode

5 結(jié)語(yǔ)

對(duì)地震拖纜的振動(dòng)主動(dòng)控制進(jìn)行了初步研究。由于地震拖纜系統(tǒng)的重阻尼特性，使得用比例阻尼近似實(shí)際拖纜阻尼特性將產(chǎn)生較大誤差，為解決無(wú)法在實(shí)模態(tài)空間進(jìn)行有效的控制策略設(shè)計(jì)問(wèn)題，基于拖纜系統(tǒng)的有限元模型，在拖纜系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)空間，使用兩個(gè)作動(dòng)器(水鳥)控制拖纜系統(tǒng)的一階復(fù)模態(tài)，設(shè)計(jì)了穩(wěn)定的最優(yōu)復(fù)模態(tài)控制規(guī)律。數(shù)值仿真的結(jié)果表明，通過(guò)由水鳥提供的控制力控制拖纜系統(tǒng)的第一、三階模態(tài)，能夠快速地抑制一、三階模態(tài)的振動(dòng)，但是控制力也會(huì)溢出到第二階模態(tài)，因此如何有效地減少控制溢出的問(wèn)題是下一步工作的重點(diǎn)?；趶?fù)模態(tài)的地震拖纜最優(yōu)控制策略，綜合考慮了水鳥耗能和抑制拖纜振動(dòng)，在最大程度地利用水鳥自帶電池能量的基礎(chǔ)上，有效地抑制拖纜振動(dòng)，既能減少水鳥更換頻率，又能提高地震勘探數(shù)據(jù)采集質(zhì)量，進(jìn)而提高勘探作業(yè)的效率。

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