垂直分層土壤中引外接地網(wǎng)的格林函數(shù)

王文亮，王瑛瑋，趙剛剛，孫景濤

(1.東北電力大學(xué) 研究生院，吉林 吉林132012;2.大唐長山熱電廠，吉林松原131109;3.洛陽市供電公司，河南洛陽471023;4.元寶山發(fā)電責(zé)任有限公司，內(nèi)蒙古赤峰024000)

現(xiàn)代大電網(wǎng)向超高壓、大容量和遠(yuǎn)距離方向的發(fā)展，對電力系統(tǒng)安全、穩(wěn)定及經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的要求越來越高［1］。已建設(shè)的許多變電所及輸電桿塔的接地裝置因長期銹蝕及系統(tǒng)短路容量增大的原因，已不能滿足要求，急需改造。目前，通常采用接地網(wǎng)引外接地來改善接地網(wǎng)老化。而在利用引外接地網(wǎng)對變電站接地網(wǎng)進(jìn)行改進(jìn)的時(shí)候，往往遇到土壤分布不均勻問題。格林函數(shù)(單位點(diǎn)電流源在空間任意位置上的電位函數(shù))理論推導(dǎo)是求解接地電場/電位分布的基礎(chǔ)［2-4］。點(diǎn)電流源在土壤中產(chǎn)生的電流場的計(jì)算方法已有很多文獻(xiàn)論述。但這些方法都需要大量繁瑣的推導(dǎo)，公式形式復(fù)雜，不利于開發(fā)適用于更多分層土壤結(jié)構(gòu)的接地網(wǎng)性能數(shù)值分析軟件。因此，本文提出了一種計(jì)算點(diǎn)電流源電流場的簡單實(shí)用的遞推算法，適用于具有任意垂直分層的土壤結(jié)構(gòu)。利用圓柱坐標(biāo)系建立拉普拉斯方程，結(jié)合相鄰?fù)寥婪纸缑娴碾娢贿吔鐥l件，建立了各層土壤電位表達(dá)式中待定系數(shù)之間的遞推關(guān)系和各層土壤電位表達(dá)式中的待定系數(shù)。無需將每層土壤中的電位表達(dá)式具體寫出，減輕了任意分層土壤結(jié)構(gòu)的接地網(wǎng)接地性能數(shù)值分析軟件開發(fā)方面的工作。

1 垂直多層土壤的格林函數(shù)

垂直n層土壤模型如圖1所示，坐標(biāo)原點(diǎn)在地表面，z軸沿地表面，向右為正。h軸垂直于地表，且向下為正。點(diǎn)電源坐標(biāo)為(x0，y0，z0)。各層土壤電阻率分別為 ρ1、ρ2、ρ3、ρ4…ρn，土壤分層在 z方向的坐標(biāo)是 z0、z1、z2、z3、z4…zn。在分層土壤中，格林函數(shù)的公式推導(dǎo)是計(jì)算接地網(wǎng)電位分布的關(guān)鍵［5-6］。

圖1 土壤分層結(jié)構(gòu)圖

圖1所示多層土壤中點(diǎn)電流源產(chǎn)生的電位計(jì)算問題實(shí)際上是一個(gè)典型的格林函數(shù)問題。點(diǎn)電流源產(chǎn)生的電位在無限遠(yuǎn)處有界，在各層土壤分界面上滿足電位邊界條件。恒定電場中的格林函數(shù)拉普拉斯方程為

式中φ為電位。為便于本文討論，使用如圖1所示的圓柱坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程形式，并考慮到場的對稱性，可以得到:

利用分離變量法解式(2)可得:

式中:Ii為第i段總流散電流;Vi為第i段在距離r處產(chǎn)生的電位;ρl為土壤電阻率;J0(λr)為第一類零階貝塞爾函數(shù)。

當(dāng)場點(diǎn)在有源層時(shí)，

由式(4)可見，通過對接地網(wǎng)中各段的流散電流在某一點(diǎn)產(chǎn)生的電位求和，可得接地網(wǎng)中此點(diǎn)的電位表達(dá)式。

2 格林函數(shù)表達(dá)式的推導(dǎo)

要想計(jì)算垂直分層土壤中的格林函數(shù)，需要對公式(4)進(jìn)行積分，但是直接對第一類零階貝塞爾函數(shù)進(jìn)行廣義積分非常麻煩。這里采用傅氏變化有:

由此可見，只需要確定系數(shù) αi(λ)和 βi(λ)，就可以求出格林函數(shù)。傳統(tǒng)的解決方法是經(jīng)典鏡像法，即將以上兩個(gè)系數(shù)通過泰勒級(jí)數(shù)近似展開成有限項(xiàng)指數(shù)求和的形式。但是指數(shù)求和的項(xiàng)數(shù)問題會(huì)對函數(shù)的精度產(chǎn)生很大的影響。這里，采用加拿大學(xué)者Y.L.Chow教授首先提出的復(fù)鏡像技術(shù)用于分層土壤接地參數(shù)計(jì)算方法，即通過prony法，將系數(shù)展開成有限項(xiàng)復(fù)指數(shù)求和的形式［7］:

取抽樣點(diǎn) λ =0，1，2，…，2n-1(或其它等距數(shù)值)，相應(yīng)可得函數(shù)αi(λ)的具體值，組建的方程為

土壤分界面的邊界條件如下:

至此，導(dǎo)出了垂直分層土壤中格林函數(shù)的具體表達(dá)式:

3 格林函數(shù)系數(shù)的推導(dǎo)

式(8)是2n個(gè)未知數(shù)組成的2n個(gè)方程，理論上是可以計(jì)算的，然而上式是非線性方程組，求解困難。Prony 指出:b1、b2、b3、…、bn-1、bn是滿足下面高次方程的根。

求解上面的方程，關(guān)鍵是獲得系數(shù)k。對上面方程組進(jìn)行如下行變換:

整理得:

對方程組(8)進(jìn)行類似處理，得到如下方程:

由于 α0、α1、α2、α3、…、αn已知，因此，可以利用式(13)求解系數(shù)k，然后將其代入式(10)求出b1、b2、…、bn，進(jìn)而求出 a1、a2、…、an。

準(zhǔn)確計(jì)算多層土壤中點(diǎn)電流源的格林函數(shù)是使用矩量法分析接地網(wǎng)接地性能的基礎(chǔ)，利用點(diǎn)電流源在多層土壤中滿足的的邊界條件，并結(jié)合復(fù)鏡像法可以快速準(zhǔn)確地計(jì)算垂直分層土壤中點(diǎn)電流源的格林函數(shù)的數(shù)值。此方法可以用到大型接地網(wǎng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算中。

4 算例

100 m×100 m的方形接地網(wǎng)置于垂直分層土壤中，通過900 m引外連接導(dǎo)體與60 m×60 m引外接地網(wǎng)相連，如圖2所示。

原接地網(wǎng)埋深0.8 m，土壤電阻率1 000 Ω·m;網(wǎng)孔尺寸為10 m×10 m，材料為鋼材，電阻率為1.7×10-7Ω·m，相對磁導(dǎo)率為636;1 kA電流從地網(wǎng)的左下邊角處注入。引外接地網(wǎng)土壤電阻率100 Ω·m，網(wǎng)孔與原接地網(wǎng)相同。

計(jì)算不同層數(shù)情況下的接地阻抗與加拿大SES公司開發(fā)的接地標(biāo)準(zhǔn)軟件CDEGS的計(jì)算結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，在不同引外導(dǎo)體長度的情況下，遞推算法與CDEGS的計(jì)算結(jié)果吻合，相比兩種算法的結(jié)果最大偏差不超過1.21%。由此驗(yàn)證了遞推算法的正確性。

圖2 接地網(wǎng)引外接地示意圖

表1 本文計(jì)算結(jié)果與CDEGS軟件計(jì)算結(jié)果對比

5 結(jié)論

1)利用圓柱坐標(biāo)系，將雙側(cè)遞推法用于對任意分層土壤中點(diǎn)電源格林函數(shù)的分析計(jì)算切實(shí)可行。

2)實(shí)現(xiàn)程序化計(jì)算過程簡單，不受層數(shù)限制。利用復(fù)鏡像法，大大提高了函數(shù)的計(jì)算精度。

3)遞推算法可以應(yīng)用于垂直多層土壤格林函數(shù)的求解，且求出的結(jié)果正確性較高。

4)基于遞推算法基礎(chǔ)上開發(fā)的變電站接地網(wǎng)性能分析軟件，可以在接地網(wǎng)設(shè)計(jì)階段模擬分析接地網(wǎng)的各種性能。

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