一類具有時滯大系統(tǒng)周期解的存在性

陳寧華

(福建幼兒師范高等?？茖W(xué)院，福州福建350007)

文獻［1］中討論了具有連續(xù)征時滯和離散時滯的非線性系統(tǒng):

的周期解的存在性和唯一性問題，這里 t∈R，x∈Rn;A(t，x)，C(t，s)為 n×n 連續(xù)的函數(shù)矩陣;gj(t，x)(j=1，2，…，m)，b(t)是n維連續(xù)向量.

本文將考慮系統(tǒng)n很大時，即式(1)為大系統(tǒng)的情況.設(shè)x(t)=(x(1)(t)，x(2)(t)，…，x(l)(t)T，x(i)(t)∈其中 A ij(t，x(t))為 nij的函數(shù)矩陣，i，j=1，2，…，l;gj(t，x)=1，2，…，l;C(t，s)=(Ci，j(t，s))n×n，其中 Ci，j(t，s)為 ni×nj的函數(shù)矩陣，i，j=1，2，…，l，gj(t，x)=(g(j1)(t，x)，(g(j2)(t，x)，…，g(jl)(t，x))T，b(t)=(b(1)(t)，b(2)(t)，…，b(l)(t))T，其中 g(ji)(t，x)∈Rni，b(i)(t)∈Rni，且同時假設(shè) A(t，x)，C(t，s)，gi(t，x)，b(t)分別在 R×Rn，R×R，R×Rn，R 上連續(xù)，而且存在 T＞0，使得 A(t+T，x)=A(t，x)，C(t+T，s+T)=C(t，s)，gj(t+T，x)=gj(t，x)，τj(t+T)= τj(t)，b(t+T)=b(t)，j=1，2，…，l.

系統(tǒng)(1)等價于:

(A1)設(shè)存在正的連續(xù)可微的T－周期函數(shù)d(i)h(t)，h=1，2，…，ni和連續(xù)的T－周期函數(shù) α(i)1(t)滿足:

(A3)有界，且 ?ε ＞ 0，存在 L=L(ε)＞ 0，使得對任意的 t1＞-∞，t-t1≥ L，有

(A4)存在非負連續(xù)的T－周期函數(shù)G(i)j(t)，使得:

(A5)存在常數(shù)，使得?t∈R，有

2 引理

考慮周期系統(tǒng):

和

其中A(t)=(aij(t))n×n是R上n×n的連續(xù)函數(shù)矩陣，f(t)是R上的n維連續(xù)函數(shù)向量且A(t)，f(t)關(guān)于t是T－周期的.

(H1)存在正的連續(xù)可微的T－周期函數(shù)di(t)(i=1，2，…，n)和連續(xù)的T－周期函數(shù)α3(t)滿足:

(H3)有界;(ii)對于任意的ε＞0，存在L=L(ε)＞0，使得對任意的t1＞-∞，tt1≥ L，有

引理1［2］設(shè) X(t)是方程(3)的基本解矩陣，若 A(t)滿足(H1)和(H2)，則有

引理2［1］若T-周期函數(shù)α3(t)滿足，則有:

引理3［2］設(shè)λ(t)是連續(xù)的T-周期函數(shù)，則

引理4［2］對于方程(4)，若A(t)滿足(H1)和(H2)，則方程(2)存在唯一的T－周期解:

引理5［3－8］設(shè)C(t，s)為n×m連續(xù)T－周期函數(shù)矩陣且滿足(H3)，如果f1(t)是m維連續(xù)的T－周期函數(shù)，則g(t)也是連續(xù)的T－周期函數(shù).

考慮如下的微分系統(tǒng):

其中 t∈R，x∈Rn;(A(t))n×n，(C(t，s))n×m都是連續(xù) T－周期函數(shù)矩陣;f1(t)，f2(t)分別是 m 維、n 維的連續(xù) T－周期函數(shù).利用上述引理，得:

引理6［1］設(shè)C(t，s)為n×m連續(xù)T-周期函數(shù)矩陣且滿足(H3)，A(t)滿足(H1)和(H2)，則方程(5)存在唯一的T-周期，其中X(t)為方程(3)的基本解矩陣.

3 主要結(jié)論

定理1 如果滿足條件(A1)～(A5)，則大系統(tǒng)(1)至少存在一個T－周期解.

證明 設(shè)B={u(t)|u(t)=(u(1)(t)，u(2)(t)，…，u(l)(t)):R→Rn連續(xù) T－周期函數(shù)}，則 B是在范數(shù)下的一個Banach空間.對任意的u∈B，考慮方程:

對任意的 u∈B，定義映射 F:B→B，F(xiàn)u(t)=xu(t)，這里 xu(t)=(x(1)u(t)，x(2)u(t)，…，x(l)u(t)T，F(xiàn)=(F(1)，F(xiàn)(2)，…，F(xiàn)(l))T，F(xiàn)u(t)=(F(1)u(t)，F(xiàn)(2)u(t)，…，F(xiàn)(l)u(t))T，其中 F(i)u(t)=x(i)u(t).

下面用Schaudar不動點定理證明F在B中至少有一個不動點.為此，記，其中n為自然數(shù).

1)先證明存在自然數(shù) N，使得 F:Dn→DN.若不然，對任意的自然數(shù) n，都存在 i∈{1，2，…，l}和 un∈Dn，使得

2)證明FDN是B中的緊子集.事實上，因為FDN?DN，所以{Fu(t)|u∈DN}是一致有界的.記x)∈［0，T］× RN，這里又因為對任意的u∈DN，有:

3)證明F在DN上連續(xù)的，即證F(i)在DN上連續(xù).因為g(i)j(t，x)在［0，T］×RN上一致連續(xù)且關(guān)于t是T－周期的，故 g(i)j(t，x)在 R×RN上一致連續(xù)，從而對于任意的 ε＞0，存在 δ(i)j＞0，當時，有.對上述的 ε＞0，取，由定理的條件可得，對任意的 u1，u2∈DN，t∈R，只要，就有:

綜上可知，F(xiàn):DN→DN是全連續(xù)算子，故由Schauder不動點定理知F在DN上至少有一個不動點，即T－周期解.

［1］ 陳鳳德，孫德獻，史金麟.一類積分微分方程周期解的存在性和唯一性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2004，47(5):973－984.

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