基于添加法的新型換流變壓器數(shù)學(xué)建模及短路故障計(jì)算

張 杰，王衛(wèi)安，馬雅青，唐劍釗，任 濤

（南車電氣技術(shù)與材料工程研究院，湖南 株洲 412001）

0 引言

新型換流變壓器具有特殊的繞組布置結(jié)構(gòu)與阻抗匹配關(guān)系，其閥側(cè)繞組抽頭處接全調(diào)諧濾波裝置，通過發(fā)掘變壓器的電磁潛能，利用內(nèi)部耦合繞組在諧波頻率下的安匝平衡作用，把諧波隔離在二次繞組并就近抑制，避免諧波流竄至一次側(cè)電網(wǎng)而擴(kuò)大污染和危害，并可有效削弱諧波磁勢(shì)對(duì)變壓器所產(chǎn)生的不良影響。由于該種濾波方式較之無源濾波與有源濾波有諸多優(yōu)點(diǎn)，因此特別適合于因非線性負(fù)荷的作用而存在大量諧波與無功的直流輸電系統(tǒng)[1-4]。

為了實(shí)現(xiàn)該新型換流變壓器的產(chǎn)業(yè)化，還需要完成大量的研究工作。本文主要研究不僅能建立新型換流變壓器正常狀態(tài)、內(nèi)部故障的數(shù)學(xué)模型，而且能對(duì)其內(nèi)外部故障進(jìn)行計(jì)算的通用方法。這對(duì)新型換流變壓器運(yùn)行特性的分析與計(jì)算，揭示新型換流變壓器各處的電壓、電流等電氣量的分布及其規(guī)律，制定新型換流變壓器保護(hù)方案，實(shí)現(xiàn)保護(hù)方案參數(shù)的整定具有重要意義。

傳統(tǒng)的變壓器數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)一般以嚴(yán)格的變壓器理論基礎(chǔ)方程式展開[5-6]，但過程較為繁瑣，不適用于復(fù)雜多繞組變壓器模型的建立，而且由于經(jīng)過等效，其物理含義在一定程度上被弱化。文獻(xiàn)[7]采用稀疏列表法來建立變壓器數(shù)學(xué)模型，該方法不足之處在于所建方程階數(shù)比較高，而且后續(xù)故障處理比較麻煩，靈活性不高。相分量法[8-9]比較直觀，其數(shù)學(xué)模型完全再現(xiàn)原系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，而且在不對(duì)稱電力系統(tǒng)故障計(jì)算方面優(yōu)于對(duì)稱分量法[10-11]，故障處理簡單靈活，因此文獻(xiàn)[12-13]采用相分量法來建立變壓器的數(shù)學(xué)模型，采用的建模方法一般是借助關(guān)聯(lián)矩陣A，通過矩陣運(yùn)算形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程，然而該方法并不適用于網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算機(jī)輔助分析，原因在于占用內(nèi)存量大及運(yùn)算效率低[14]。 文獻(xiàn)[7，13]的另一個(gè)不足在于僅推導(dǎo)了新型換流變壓器正常狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型，并沒有給出建立新型換流變壓器內(nèi)部故障模型以及計(jì)算其內(nèi)外部短路故障的方法，因此，其算法應(yīng)用范圍相對(duì)比較狹窄。

本文基于添加法建立電網(wǎng)絡(luò)方程的原理[14]，首次把添加法應(yīng)用于新型換流變壓器數(shù)學(xué)模型的建立和短路故障計(jì)算，并通過實(shí)際算例驗(yàn)證了本文數(shù)學(xué)模型和短路故障計(jì)算方法的正確性。

1 添加法建立節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程原理

對(duì)于一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為n、支路數(shù)為b的電力網(wǎng)絡(luò)而言，設(shè)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為Yn、支路導(dǎo)納矩陣為Yb、電壓源列向量為US、電流源列向量為IS、節(jié)點(diǎn)電流列向量為In。運(yùn)用關(guān)聯(lián)矩陣法建立節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程，在求得節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Yn及節(jié)點(diǎn)電流列向量In中需要進(jìn)行矩陣運(yùn)算Yn=AYbAT及In=AIS-AYbUS，事實(shí)上，由于關(guān)聯(lián)矩陣A所含元素僅為0、+1、-1，所以與A或AT的乘法運(yùn)算實(shí)質(zhì)上僅是某些元素的加減運(yùn)算，因此進(jìn)行乘法運(yùn)算是無謂且低效的。而且，從上面的矩陣運(yùn)算公式可以看出，要建立方程至少需存放關(guān)聯(lián)矩陣A、支路矩陣Yb及節(jié)點(diǎn)電流列向量In。存放最終得到的網(wǎng)絡(luò)方程僅需n2+n個(gè)單元，但存放矩陣A卻需要n×b個(gè)單元，存放矩陣Yb需b×b個(gè)單元，顯然存放矩陣A及Yb的單元數(shù)量遠(yuǎn)大于n2+n。

因?yàn)楣?jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程實(shí)質(zhì)上是n個(gè)節(jié)點(diǎn)的KCL方程，方程左邊以流出節(jié)點(diǎn)電流為正，方程右邊則以流入節(jié)點(diǎn)的電流為正，因此列出電網(wǎng)絡(luò)中某條支路的KCL方程，就可以確定該條支路對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程貢獻(xiàn)的大小及其出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)方程中的位置。添加法正是基于此思路來建立電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納網(wǎng)絡(luò)方程，具體實(shí)現(xiàn)過程如下：建立初始方程時(shí)，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣及右端節(jié)點(diǎn)電流列向量里面的元素全為零，掃描一個(gè)支路就將它對(duì)方程的貢獻(xiàn)填到合適的位置，這樣逐次掃描，逐次添加，直至網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)支路均被掃描，網(wǎng)絡(luò)方程便被建立起來。添加法實(shí)質(zhì)上是支路在網(wǎng)絡(luò)方程中的貢獻(xiàn)逐個(gè)添加的方法[14]。由于沒有借助于關(guān)聯(lián)矩陣，因此無需存放關(guān)聯(lián)矩陣和支路矩陣，并且省去了與關(guān)聯(lián)矩陣A相關(guān)的矩陣運(yùn)算，從而極大節(jié)省了算法占用的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，并提高了運(yùn)算的效率。

2 新型換流變壓器正常狀態(tài)數(shù)學(xué)模型

2.1 新型換流變壓器接線方案及耦合電路

新型換流變壓器具體接線方案如圖1所示[7]。

圖1 新型換流變壓器接線方案Fig.1 Connection scheme of converter transformer

圖1 中 Ii（i=1，2，…，15）表示各支路電流，其中I1=IS1、I2=IS2、I3=IS3分別表示 A、B、C 相激勵(lì)電流。 新型換流變壓器由3個(gè)單相三繞組變壓器連接而成，由圖1接線可得出表征新型換流變壓器三相繞組具體連接方式的耦合電路，如圖2所示。為了給變壓器二次側(cè)提供一個(gè)參考接地點(diǎn)，同時(shí)也是為了簡單起見，便于敘述本文算法，濾波器中性點(diǎn)選擇接地（沒有具體考慮工程實(shí)際接法）。

圖2 中，R1、R2、R3和 L1、L2、L3分別表示 A、B、C各相一次側(cè)繞組、二次側(cè)延邊繞組與公共繞組的電阻和自感；M12、M13、M23分別表示每相中各繞組間的互感，將單相新型換流變壓器各繞組的電阻、電感參數(shù)寫成矩陣形式，有：

圖2 新型換流變壓器耦合電路Fig.2 Coupled circuit of converter transformer

2.2 正常狀態(tài)R、L矩陣元素的求解

在建立新型換流變壓器正常狀態(tài)數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要得到新型換流變壓器正常狀態(tài)下各繞組的R、L矩陣的參數(shù)。由于缺少零序短路試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不能應(yīng)用ATP仿真程序中的BCTRAN子程序計(jì)算R、L矩陣參數(shù)[15]，而且BCTRAN子程序也不支持具有特殊繞組連接方式的新型換流變壓器的R、L矩陣參數(shù)計(jì)算。

鑒于此，本文采用電磁場(chǎng)有限元計(jì)算方法[16]，根據(jù)新型換流變壓器實(shí)際制造尺寸，利用有限元分析軟件Ansoft來建立變壓器的有限元分析模型，求得新型換流變壓器各繞組的電阻、自感與互感。求解的過程如下：

a．根據(jù)新型換流變壓器鐵芯的結(jié)構(gòu)尺寸和繞組的布置，建立新型換流變壓器幾何模型；

b．根據(jù)磁勢(shì)平衡原理，對(duì)新型換流變壓器原副邊繞組施加激勵(lì)電流源；

c．設(shè)置求解自感、互感矩陣的選項(xiàng)；

d．對(duì)幾何模型進(jìn)行剖分，形成有限元模型，選擇默認(rèn)的求解算法進(jìn)行求解；

e．進(jìn)行求解后處理，求得三相新型換流變壓器正常狀態(tài)下的R、L矩陣參數(shù)，由于三相參數(shù)對(duì)稱，因此可得單相新型換流變壓器R、L矩陣參數(shù)。

當(dāng)求匝間或匝地短路R、L矩陣參數(shù)時(shí)，需根據(jù)正常狀態(tài)R、L矩陣參數(shù)通過公式變換求得，具體方法參考文獻(xiàn)[17]。

2.3 正常數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)

由圖2可以得到圖1的有向圖，如圖3所示。圖中，數(shù)字1～15為支路的編號(hào)，①～⑨為節(jié)點(diǎn)的編號(hào)，0代表接地點(diǎn)。文獻(xiàn)[13]采用借助關(guān)聯(lián)矩陣A的方法來建立圖3所示電網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程，該算法存放矩陣A、支路導(dǎo)納矩陣Yb和最終得到的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程，共需要單元 9×15+15×15+（92+9）=450 個(gè)，遠(yuǎn)大于存放最終得到的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程需要的單元92+9=90個(gè)。本文采用添加法直接形成圖3所示電網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程，設(shè)定支路電壓和電流取關(guān)聯(lián)方向。根據(jù)圖1和圖2，將圖3的支路分為3類：耦合支路4～12；濾波支路 13～15；電流源支路 1～3。

應(yīng)用添加法建立該電網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程的關(guān)鍵在于確定每一類支路對(duì)方程的貢獻(xiàn)。

由圖2可知，互相耦合的支路，A相為4～6，B相為支路7～9，C相為支路10～12，互相耦合支路的電流均流入同名端?；ハ囫詈现返淖宰杩狗謩e為z11=R1+jωL1，z22=R2+jωL2，z33=R3+jωL3；互阻抗分別為 z12=z21=jωM12，z13=z31=jωM13，z23=z32=jωM23。 自阻抗與互阻抗具體的數(shù)值可代入2.2節(jié)求解的R、L矩陣參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。設(shè)zp表示單相互相耦合支路的阻抗矩陣，則有：

可得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的耦合支路阻抗矩陣為：

則變壓器耦合繞組的支路電流與支路電壓關(guān)系的矩陣式可以表示如下：

其中，Yt表示新型換流變壓器耦合支路的導(dǎo)納矩陣。

根據(jù)圖3所示的有向圖，將式（4）改寫為：

設(shè) Yt（i，j）為矩陣 Yt的 i行 j列的元素，將式（6）展開，考慮到矩陣Yt的對(duì)稱性，支路4～12的電流可寫為：

由式（7）可見，耦合支路對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程貢獻(xiàn)的位置在節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。設(shè)Y（i，j）b表示支路b對(duì)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的一個(gè)貢獻(xiàn)，具體位置處于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y的i行j列。由式（7），根據(jù)圖3所示的有向圖，可確定耦合支路4～12對(duì)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的貢獻(xiàn)。

a.A相互耦支路4～6。

互耦支路4～6連接的節(jié)點(diǎn)為①、④、⑦、⑧。

支路4的電流從節(jié)點(diǎn)①流出，流入?yún)⒖脊?jié)點(diǎn)。它對(duì)節(jié)點(diǎn)①的貢獻(xiàn)為：

支路5的電流從節(jié)點(diǎn)④流出，流入節(jié)點(diǎn)⑦，它對(duì)節(jié)點(diǎn)④的貢獻(xiàn)為：

支路5對(duì)節(jié)點(diǎn)⑦的貢獻(xiàn)為：

支路6的電流從節(jié)點(diǎn)⑦流出，流入節(jié)點(diǎn)⑧，它對(duì)節(jié)點(diǎn)⑦的貢獻(xiàn)為：

支路6對(duì)節(jié)點(diǎn)⑧的貢獻(xiàn)為：

由上面的推導(dǎo)過程可知：耦合支路對(duì)節(jié)點(diǎn)的貢獻(xiàn)不僅和與之直接相連的節(jié)點(diǎn)相關(guān)，還和與之耦合的支路兩端的節(jié)點(diǎn)相關(guān)。

同理可得到B相互耦支路7～9、C相互耦支路10～12對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻(xiàn)。

b.濾波支路13～15對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻(xiàn)。

設(shè)每相濾波支路在基頻下的導(dǎo)納為yk，濾波支路13～15對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程貢獻(xiàn)的位置也位于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。支路13～15的電流分別從節(jié)點(diǎn)⑦、⑧、⑨出發(fā)，均流入?yún)⒖脊?jié)點(diǎn)。

支路13對(duì)節(jié)點(diǎn)⑦的貢獻(xiàn)為：

支路14對(duì)節(jié)點(diǎn)⑧的貢獻(xiàn)為：

支路15對(duì)節(jié)點(diǎn)⑨的貢獻(xiàn)為：

最終的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y第i行的元素由與節(jié)點(diǎn)i相連的所有支路對(duì)該節(jié)點(diǎn)貢獻(xiàn)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納元素之和構(gòu)成。綜合支路4～15對(duì)節(jié)點(diǎn)的貢獻(xiàn)，可得最終的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y的全部元素。

c.電流源支路1～3對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻(xiàn)。

支路1～3是電流源支路，因此對(duì)節(jié)點(diǎn)電流列向量有貢獻(xiàn)。設(shè)I（i，1）b表示支路b對(duì)節(jié)點(diǎn)電流列向量的貢獻(xiàn)，具體位置處于節(jié)點(diǎn)電流列向量I的i行1列。

支路1～3的電流均從參考節(jié)點(diǎn)出發(fā)，分別流入節(jié)點(diǎn)①、②、③。因此支路1～3對(duì)節(jié)點(diǎn)電流列向量的貢獻(xiàn)分別為：I（1，1）1=IS1；I（2，1）2=IS2；I（3，1）3=IS3。

至此，得到節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y和節(jié)點(diǎn)電流列向量I的全部元素。因此可以求得新型換流變壓器正常數(shù)學(xué)模型為：

3 新型換流變壓器內(nèi)部故障數(shù)學(xué)模型

單相新型換流變壓器一次繞組發(fā)生匝地短路和匝間短路時(shí)的示意圖如圖4所示。由于正常狀態(tài)的新型換流變壓器可視為由3個(gè)彼此磁耦合的線圈組成，因此，若新型換流變壓器的某個(gè)繞組發(fā)生匝地故障或匝間故障，則發(fā)生匝地故障的繞組被分開看作存在耦合的2個(gè)線圈，發(fā)生匝間故障的繞組被看作互耦的3個(gè)獨(dú)立線圈，即圖4（a）的繞組1由故障點(diǎn)分裂成了a、b 2個(gè)線圈，圖4（b）的繞組1由故障點(diǎn)分裂成了a、b、c 3個(gè)線圈。由于變壓器的線圈之間是通過磁場(chǎng)聯(lián)系在一起的，當(dāng)變壓器發(fā)生內(nèi)部短路故障時(shí)，故障線圈的結(jié)構(gòu)以及線圈之間磁場(chǎng)和電場(chǎng)都要相應(yīng)地發(fā)生變化，從而引起變壓器參數(shù)的變化，因此，在新型換流變壓器內(nèi)部故障數(shù)學(xué)建模中，需要確定故障后新型換流變壓器R、L矩陣參數(shù)，其求解的基本思路可參考文獻(xiàn)[17]，在此不再敘述。

圖4 新型換流變壓器內(nèi)部故障示意圖Fig.4 Sketch map of converter transformer with interior faults

假設(shè)圖1新型換流變壓器A相一次繞組內(nèi)部發(fā)生故障的點(diǎn)為F，將該故障繞組看成2個(gè)線圈的耦合，對(duì)應(yīng)的內(nèi)部故障有向圖如圖5所示。

圖5 新型換流變壓器內(nèi)部故障有向圖Fig.5 Digraph of converter transformer with interior faults

與圖3正常新型換流變壓器有向圖相比，圖5將圖3的支路4分裂成2個(gè)支路，分別為圖5的新支路4和新支路16，兩支路的交叉點(diǎn)為新增的故障節(jié)點(diǎn)F，編號(hào)順序?yàn)棰?。圖5的支路4、5、6、16相互耦合，需要確定這些支路對(duì)內(nèi)部故障網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻(xiàn)，而其他支路對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻(xiàn)不變。因此，修改式（7）的支路電流方程：去掉式（7）的前3個(gè)方程，并用支路4、5、6、16的電流方程代替，其余的支路電流方程無需變化。利用求出的一次繞組匝地故障R、L矩陣參數(shù)，求出互耦支路 4、5、6、16 的支路導(dǎo)納矩陣 Yf各元素的值，則有：

設(shè)內(nèi)部故障節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為YFA，根據(jù)圖5的有向圖，由式（9）可以得到耦合支路 4、5、6、16 對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻(xiàn)，推導(dǎo)過程與上相同。

內(nèi)部故障節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣YFA與正常狀態(tài)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y相比，由于新增添了一個(gè)故障節(jié)點(diǎn)⑩，YFA多了一行一列；由于新增的故障節(jié)點(diǎn)⑩是互耦支路4、5、6、16相連的一個(gè)端點(diǎn)，因此這些互耦支路對(duì)支路兩端的節(jié)點(diǎn)①、④、⑦、⑧、⑩的某些貢獻(xiàn)發(fā)生了變化，從而導(dǎo)致了YFA第1、4、7、8行的部分非零元素不同于Y相應(yīng)位置的元素，YFA第10行的元素體現(xiàn)了支路對(duì)新增的故障節(jié)點(diǎn)⑩的貢獻(xiàn)；由于支路4、5、6、16之外的其余支路對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻(xiàn)不變，因此YFA其余行的非零元素位置和大小與Y相同。

這樣，新型換流變壓器內(nèi)部故障數(shù)學(xué)模型為：

由圖5或式（10）可知，繞組上的故障點(diǎn)F由原來的不可見變?yōu)榍逦梢姷墓?jié)點(diǎn)，因此可以方便地對(duì)F點(diǎn)施加接地短路來模擬匝地故障，將F點(diǎn)與其他的端點(diǎn)相連來模擬匝間短路故障。通過改變圖4線圈a的匝數(shù)na來改變故障點(diǎn)F的位置，求解出相應(yīng)的R、L矩陣參數(shù)，并代入前面確定的YFA各元素的表達(dá)式中，便可以通過式（10）來計(jì)算故障點(diǎn)F位于繞組任意位置時(shí)新型換流變壓器各電氣量的穩(wěn)態(tài)值，以及隨著故障點(diǎn)位置F的改變，新型換流變壓器各電氣量變化的規(guī)律。當(dāng)圖5的F點(diǎn)不施加故障時(shí)，式（10）的數(shù)學(xué)模型將變?yōu)樾滦蛽Q流變壓器正常狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型。除節(jié)點(diǎn)F之外，該模型其余節(jié)點(diǎn)的電壓的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該與式（8）的數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果一樣，而此時(shí)F點(diǎn)的電壓與匝數(shù)成正比，即：

4 新型換流變壓器短路故障計(jì)算

基于式（8）所示的新型換流變壓器正常狀態(tài)數(shù)學(xué)模型或式（10）所示的新型換流變壓器內(nèi)部故障數(shù)學(xué)模型，本文采用添加法計(jì)算新型換流變壓器短路故障，其故障計(jì)算的思路是根據(jù)新型換流變壓器短路故障的類型，通過修改支路對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻(xiàn)來修改新型換流變壓器的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)修改后的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

4.1 新型換流變壓器外部短路故障計(jì)算

4.1.1 新型換流變壓器外部節(jié)點(diǎn)接地短路

a.設(shè)新型換流變壓器外部節(jié)點(diǎn)④直接接地短路，則節(jié)點(diǎn)④轉(zhuǎn)化為參考節(jié)點(diǎn)，那么電網(wǎng)絡(luò)中的支路對(duì)節(jié)點(diǎn)④將沒有貢獻(xiàn)，因此需要消去原網(wǎng)絡(luò)方程中支路對(duì)節(jié)點(diǎn)④的貢獻(xiàn)：消去式（8）節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣第4行和第4列，這時(shí)網(wǎng)絡(luò)方程降低一階。因節(jié)點(diǎn)④轉(zhuǎn)化為參考節(jié)點(diǎn)，故去掉式（8）節(jié)點(diǎn)電壓和節(jié)點(diǎn)電流列向量的第4個(gè)量，從而得到新數(shù)學(xué)模型，求解該數(shù)學(xué)模型得到除節(jié)點(diǎn)④之外的其他節(jié)點(diǎn)的電壓值，將求解出的節(jié)點(diǎn)電壓值代入式（8），展開式（8）第4行便可以得到節(jié)點(diǎn)④接地短路電流值。

b.當(dāng)新型換流變壓器2個(gè)或2個(gè)以上外部節(jié)點(diǎn)接地短路時(shí)，計(jì)算方法與上相似。

4.1.2 新型換流變壓器外部節(jié)點(diǎn)之間短路

a.設(shè)新型換流變壓器外部節(jié)點(diǎn)④和⑤直接短路，這2個(gè)節(jié)點(diǎn)合為1個(gè)節(jié)點(diǎn)，設(shè)這個(gè)節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)④。因此需要將原網(wǎng)絡(luò)方程中支路對(duì)節(jié)點(diǎn)④和⑤的貢獻(xiàn)合并：將式（8）節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣第5行和第5列的元素分別加到第4行和第4列，同時(shí)去掉第5行和第5列，網(wǎng)絡(luò)方程降低一階。因節(jié)點(diǎn)④和⑤合為節(jié)點(diǎn)④，故去掉式（8）的節(jié)點(diǎn)電壓和節(jié)點(diǎn)電流列向量的第5個(gè)量，從而得到新的數(shù)學(xué)模型，求解該數(shù)學(xué)模型得到所有節(jié)點(diǎn)的電壓值，將求解出的節(jié)點(diǎn)電壓值代入式（8），展開式（8）的第5行便可以得到節(jié)點(diǎn)間的短路電流值。

b.設(shè)新型換流變壓器外部節(jié)點(diǎn)④和⑤通過阻抗z短路，新增的支路編號(hào)為i，則新節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y′需要在式（8）節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y加上支路i的貢獻(xiàn)。設(shè)支路i的電流由節(jié)點(diǎn)④流出，流入節(jié)點(diǎn)⑤，則支路i的電流大小為（U④-U⑤）／z，支路 i對(duì)節(jié)點(diǎn)④的貢獻(xiàn)為：Y′（4，4）i=1 ／z；Y′（4，5）i=-1 ／z。支路 i對(duì)節(jié)點(diǎn)⑤的貢獻(xiàn)為：Y′（5，4）i=-1 ／z；Y′（5，5）i=1 ／z。則有：

c.當(dāng)新型換流變壓器3個(gè)或3個(gè)以上外部節(jié)點(diǎn)短路時(shí)，計(jì)算方法與上相似。

上述的外部短路故障計(jì)算也可以通過修改式（10）的數(shù)學(xué)模型來實(shí)現(xiàn)。

4.2 新型換流變壓器內(nèi)部短路故障計(jì)算

內(nèi)部短路故障計(jì)算可以根據(jù)圖5的F點(diǎn)在繞組的位置以及其短路故障的類型，通過修改式（10）的數(shù)學(xué)模型來實(shí)現(xiàn)，修改的方法與上相似。

5 算例

現(xiàn)結(jié)合具體算例來驗(yàn)證本文所建新型換流變壓器數(shù)學(xué)模型及短路故障計(jì)算方法的正確性。新型換流變壓器部分設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示。

本文根據(jù)圖1所示新型換流變壓器的接線方案和表1所示的單相設(shè)計(jì)參數(shù)值，采用MATLAB／Simulink中的電力系統(tǒng)仿真模塊（PSB）建立了含新型換流變壓器的電力系統(tǒng)仿真模型，三相電壓的幅值為220V，阻抗值的單位為Ω，節(jié)點(diǎn)電壓和短路電流的值可以通過附加測(cè)量模塊得到。將仿真模型的結(jié)果與采用本文方法建立正常數(shù)學(xué)模型以及計(jì)算外部短路的程序運(yùn)行結(jié)果相比較。

表1 新型換流變壓器（單相）部分參數(shù)值Tab.1 Partial parameters of converter transformer（single phase）

5.1 正常數(shù)學(xué)模型和外部短路故障算法驗(yàn)證

為了便于描述，把新型換流變壓器的原邊繞組端口節(jié)點(diǎn)A1、B1、C1看作節(jié)點(diǎn)H的三相，副邊延邊繞組端口節(jié)點(diǎn)a2、b2、c2為節(jié)點(diǎn)J的三相，副邊公共繞組端口節(jié)點(diǎn)a3、b3、c3為節(jié)點(diǎn)K的三相，則節(jié)點(diǎn)電壓和節(jié)點(diǎn)電流列向量分別為Ui=[UiAUiBUiC]T、Ii=[IiAIiBIiC]T，其中i=H，J，K。設(shè)短路點(diǎn)的三相電流為 IST=[IfAIfBIfC]T。

新型換流變壓器正常狀態(tài)和外部節(jié)點(diǎn)短路故障仿真和計(jì)算結(jié)果對(duì)比分別如表2和表3所示，限于篇幅，本文只對(duì)節(jié)點(diǎn)J的故障進(jìn)行驗(yàn)證。

從表2和表3可以看出，仿真結(jié)果和計(jì)算結(jié)果非常接近，這充分表明了正常數(shù)學(xué)模型和外部短路故障算法的正確性和精確性。

表2 正常狀態(tài)節(jié)點(diǎn)三相電壓結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of three-phase voltages of normal node

5.2 內(nèi)部故障數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證

本文主要從以下2個(gè)方面來驗(yàn)證新型換流變壓器內(nèi)部故障數(shù)學(xué)模型的正確性。

a.隨著短路故障匝數(shù)的變化，短路故障匝內(nèi)電流和一次電流與故障匝數(shù)的關(guān)系。

保持端點(diǎn)A1固定，與節(jié)點(diǎn)A1短路的故障點(diǎn)F從原邊A相繞組的1%處滑到50%處，短路電流計(jì)算方法如4.2節(jié)所述，一次側(cè)的A相電流可由式（9）求出，可以得到圖6所示的曲線。

由圖6可見，新型換流變壓器發(fā)生匝間短路故障時(shí)，故障匝內(nèi)的電流隨著匝數(shù)的增加而減少，而一次側(cè)電流卻隨著故障匝數(shù)的增加而增加，故障匝數(shù)很小時(shí)，一次側(cè)電流很小，而故障匝內(nèi)電流卻很大。

表3 節(jié)點(diǎn)J短路故障時(shí)的結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of three-phase voltages of node J with different short circuit faults

圖6 一次側(cè)電流、短路故障匝內(nèi)電流與短路故障匝數(shù)的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curves of primary current or inter-turn short circuit current vs.short circuit turn number

b.一次側(cè)電流和短路故障匝內(nèi)的電流隨著短路故障阻抗的改變而變化的規(guī)律。

設(shè)新型換流變壓器A相原邊繞組的40%處與節(jié)點(diǎn)A1通過一個(gè)短路故障阻抗Zs相連，改變故障阻抗Zs的大小，可以得到表4所示的變化規(guī)律。

由表4可見，一次側(cè)的電流和短路故障匝內(nèi)的電流隨著短路故障阻抗的增大均逐漸減小，這說明相同位置的同類故障，短路故障阻抗越小后果越嚴(yán)重。

綜合上面的新型換流變壓器內(nèi)部故障計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，雖然新型換流變壓器具有特殊的繞組布置結(jié)構(gòu)與阻抗匹配關(guān)系，但其內(nèi)部故障計(jì)算結(jié)果呈現(xiàn)的規(guī)律與文獻(xiàn)[18-19]的理論分析結(jié)果一致，從而說明了本文所建立的新型換流變壓器內(nèi)部數(shù)學(xué)模型的正確性，可以用來定量計(jì)算新型換流變壓器的內(nèi)部故障。

表4 一次側(cè)A相電流、短路故障匝內(nèi)電流與短路故障阻抗的關(guān)系Tab.4 Relationship between primary current of phase-A or inter-turn short circuit current and short circuit fault impedance

6 結(jié)論

a.提出了一種采用添加法建立新型換流變壓器正常狀態(tài)、內(nèi)部故障數(shù)學(xué)模型以及計(jì)算其內(nèi)外部短路故障的通用方法，實(shí)際算例驗(yàn)證了該方法的正確性與精確性。

b.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，互感支路對(duì)節(jié)點(diǎn)的貢獻(xiàn)不僅和與之直接相連的節(jié)點(diǎn)相關(guān)，還和與之耦合的支路兩端的節(jié)點(diǎn)相關(guān)。本文詳細(xì)研究了確定互感支路對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程貢獻(xiàn)的方法以及如何根據(jù)節(jié)點(diǎn)或支路的變化應(yīng)用添加法形成新網(wǎng)絡(luò)方程的方法。這些研究成果不僅是對(duì)文獻(xiàn)[14]的一個(gè)有益的補(bǔ)充，而且拓寬了添加法的應(yīng)用范圍。

c.本文將變壓器看作多個(gè)支路的耦合，并充分考慮了變壓器的具體接線方式，結(jié)合變壓器耦合電路的有向圖，將添加法建立網(wǎng)絡(luò)方程的思想成功地應(yīng)用于變壓器數(shù)學(xué)建模中，而且根據(jù)變壓器實(shí)際制造尺寸及所選用的材質(zhì)，通過電磁場(chǎng)分析有限元計(jì)算方法求得所需的自感、互感參數(shù)，而無需具備零序短路試驗(yàn)數(shù)據(jù)。本文中添加法與電磁場(chǎng)有限元計(jì)算方法有效的結(jié)合使用為變壓器數(shù)學(xué)建模開辟了一種新的思路。

d.所建立的變壓器數(shù)學(xué)模型清晰地反映了變壓器繞組的接線方式，物理概念明確，且數(shù)學(xué)建模和短路故障計(jì)算的過程簡單明了，只需結(jié)合變壓器的接線方式，并求解相應(yīng)的R、L矩陣參數(shù)，通過添加或修改支路對(duì)網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻(xiàn)，不僅可以非常便捷地直接形成變壓器的正常狀態(tài)和內(nèi)部故障數(shù)學(xué)模型，而且可以計(jì)算變壓器任意的內(nèi)外部短路故障。

e.本文只是對(duì)新型換流變壓器的線性模型進(jìn)行了建模及故障計(jì)算，考慮換流變壓器鐵芯飽和是筆者下一步要研究的工作。