基于LMS的加速收斂步長(zhǎng)選擇原理與自適應(yīng)三相電網(wǎng)諧波檢測(cè)

劉傳林，劉開(kāi)培

（1.武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072；2.廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 自動(dòng)化工程系，廣東 廣州 510635）

0 引言

隨著抑制電網(wǎng)諧波提高電能質(zhì)量技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，諧波檢測(cè)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)精度要求也隨之提高。首先，常規(guī)檢測(cè)方法雖有成熟的應(yīng)用，但都有待改進(jìn)，如目前廣泛應(yīng)用的基于瞬時(shí)無(wú)功功率理論的檢測(cè)方法，其中ip-iq運(yùn)算的諧波電流檢測(cè)方法具有較好的檢測(cè)速度和精度[1-2]，并不斷得到改進(jìn)[3-4]。其次，自適應(yīng)方法具有良好的自適應(yīng)性和魯棒性，逐漸在諧波檢測(cè)中得到廣泛應(yīng)用[5-7]。基于最小二乘LMS（Least Mean Square）的自適應(yīng)檢測(cè)系統(tǒng)性能可以從初始收斂、跟隨性能與穩(wěn)態(tài)精度3個(gè)方面衡量算法的優(yōu)劣[8]，選擇較小的LMS算法迭代步長(zhǎng)μ可得到更好的自適應(yīng)檢測(cè)穩(wěn)態(tài)精度，但會(huì)降低自適應(yīng)的收斂速度和跟隨性能，因而常規(guī)固定步長(zhǎng)的LMS自適應(yīng)算法在收斂速度、跟隨性能與穩(wěn)態(tài)精度方面對(duì)迭代步長(zhǎng)μ的要求是矛盾的。如果采用固定步長(zhǎng)的自適應(yīng)算法，則檢測(cè)性能會(huì)受到限制[9]。對(duì)此，學(xué)者們基于LMS提出了許多調(diào)整迭代步長(zhǎng)的自適應(yīng)算法[10-11]，可以改善自適應(yīng)諧波檢測(cè)的性能。

為了兼顧自適應(yīng)電網(wǎng)電流檢測(cè)的收斂速度與穩(wěn)態(tài)精度，基于LMS的自適應(yīng)算法都依據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇變步長(zhǎng)的策略：當(dāng)離最佳值較遠(yuǎn)時(shí)選擇較大的迭代步長(zhǎng)，而為了保證電流檢測(cè)的穩(wěn)態(tài)精度，在偏離最佳值近時(shí)選擇較小的迭代步長(zhǎng)。在LMS自適應(yīng)理論的基礎(chǔ)上，本文為闡明提高收斂速度與穩(wěn)態(tài)精度而如何選擇步長(zhǎng)的策略，對(duì)基于經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)而選擇算法的迭代步長(zhǎng)進(jìn)行理論定量研究。同時(shí)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出新的兼顧快速收斂與穩(wěn)態(tài)精度的變步長(zhǎng)算法，結(jié)合基于瞬時(shí)無(wú)功功率理論ip-iq運(yùn)算的諧波電流檢測(cè)，應(yīng)用新的變步長(zhǎng)LMS算法構(gòu)建自適應(yīng)電網(wǎng)三相諧波檢測(cè)系統(tǒng)，并進(jìn)行了仿真研究。

1 基于LMS的自適應(yīng)電流檢測(cè)系統(tǒng)

由離散LMS算法構(gòu)成的自適應(yīng)電流檢測(cè)系統(tǒng)如圖 1 所示[9]。

圖1 基于LMS算法的自適應(yīng)電流檢測(cè)原理Fig.1 Schematic diagram of adaptive current detection based on LMS algorithm

在基于LMS算法的自適應(yīng)電網(wǎng)電流檢測(cè)中，設(shè)離散的迭代步長(zhǎng)為μ，有：

取數(shù)學(xué)期望為：

設(shè)LMS中μ取值小，且獨(dú)立存在近似不相關(guān)的條件為：

得：

其中，RI與P分別為u2s（n）、iL（n）us（n）的數(shù)學(xué)期望。

設(shè)穩(wěn)態(tài)條件下電流檢測(cè)的最佳權(quán)值為w*。當(dāng)時(shí)系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)的最佳權(quán)值為w*，則有：

即LMS檢測(cè)系統(tǒng)的最佳權(quán)值為：

在基于LMS迭代算法的過(guò)程中，系統(tǒng)的權(quán)值瞬時(shí)偏差為：

因此在不考慮計(jì)算噪聲的條件下，當(dāng)n∞時(shí)得到：

LMS算法的收斂條件為：

LMS算法中，迭代過(guò)程不可避免地存在噪聲效應(yīng)。為明確算法問(wèn)題的本質(zhì)，研究檢測(cè)算法對(duì)一確定系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)搜索過(guò)程，設(shè)基于LMS算法的迭代步長(zhǎng)為μ，則由自適應(yīng)原理得：

不考慮計(jì)算噪聲的條件時(shí)：

考慮梯度估計(jì)受噪聲δN（n）的影響，即考慮在對(duì)w*自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程中有：

則：

確定等式的數(shù)學(xué)期望，有：

通常LMS算法中，μ一般足夠小，因此v2（n）本質(zhì)上獨(dú)立于 us（n），則近似有：

因 δN（n）是零均值，E[δN（n）]=0，獨(dú)立于 us（n）、v（n），則：

2 LMS算法加速收斂的步長(zhǎng)選擇原理

一般地，基于LMS算法的自適應(yīng)系統(tǒng)中應(yīng)采取當(dāng)偏離最佳值較遠(yuǎn)（方均誤差（MSE）較大）時(shí)選擇較大步長(zhǎng)、而MSE較小時(shí)選擇較小步長(zhǎng)的策略[11-12]。

定理：在滿足收斂條件的LMS算法中，當(dāng)離最佳值較遠(yuǎn)時(shí)，要提高算法迭代收斂速度的充要條件是選擇步長(zhǎng)較大的迭代步長(zhǎng)，即選用較大迭代步長(zhǎng)的收斂速度快于較小迭代步長(zhǎng)的收斂速度。反之亦然。證明如下。

a.充分性。

在式（26）中，令 RⅡ=E[us2（n）]，RⅣ=E[us4（n）]，則有：

即當(dāng) LMS 算法迭代步長(zhǎng)滿足 μ∈（0，μmax），且第 n次迭代前為 E[v2（n）]時(shí)，式（27）表明經(jīng)第 n 次迭代后 E[v2（n+1）]與 E[v2（n）]的關(guān)系式。

代入式（27）得：

E[v2（∞）]μ反映步長(zhǎng)為 μ 的 LMS 算法穩(wěn)態(tài)條件下的最佳收斂。 且第 n次迭代前，E[v2（n）]仍遠(yuǎn)離最佳值 E[v2（∞）]，即在步長(zhǎng)為 μ 的條件下：

取 μ=μ1+μ2，μ1、μ2∈（0，μmax），μ1＞μ2，則有：

由于 1-μ（RⅣ／RⅡ）＞0，1-（μ1+μ2）（RⅣ／RⅡ）＞0，得：

不等式兩邊同乘（μ1-μ2），由于 μ1＞μ2＞0，故 μ1-μ2＞0，則有：

展開(kāi)得：

在式（36）兩邊同乘 4 并且同時(shí)加 E[v2（n）]項(xiàng)，根據(jù)式（28），有：

即經(jīng)第 n 次迭代后，步長(zhǎng)大的 E[v2（n+1）]μ1小于步長(zhǎng)小的 E[v2（n+1）]μ2，算法收斂速度更快。

b.必要性。

LMS 算法中，設(shè) μ1、μ2∈（0，μmax），μ=μ1+μ2，且第n 次迭代前，v（n）平方數(shù)學(xué)期望為 E[v2（n）]，仍遠(yuǎn)離最佳值 E[v2（∞）]，E[v2（n）]＞E[v2（∞）]，則經(jīng)第 n 次迭代后，有：

反設(shè) μ1＜μ2，故 -μ1+μ2＞0，則有：

即：

與所設(shè)達(dá)到穩(wěn)態(tài)前遠(yuǎn)離最佳值E[v2（∞）]的條件 E[v2（n）]＞E[v2（∞）]矛盾，故期望 E[v2（n+1）]μ1＜E[v2（n+1）]μ2必有 μ1＞μ2。

結(jié)論表明：在滿足收斂條件的LMS算法中，迭代運(yùn)算中如果當(dāng)前權(quán)值遠(yuǎn)離最佳值，選擇較大的迭代步長(zhǎng)的收斂速度優(yōu)于選擇較小步長(zhǎng)的收斂速度。定理在理論上給出了定量的解釋，且與物理上的判斷是一致的。

3 基于ip-iq運(yùn)算的自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)

3.1 ip-iq三相電網(wǎng)諧波檢測(cè)原理

據(jù)三相電路瞬時(shí)無(wú)功功率理論，通過(guò)計(jì)算ip、iq即可檢測(cè)到三相電路諧波電流或無(wú)功電流[2]。自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)系統(tǒng)如圖2所示。該方法中，a相電壓ua經(jīng)過(guò)一個(gè)鎖相環(huán)（PLL）和一個(gè)正、余弦發(fā)生電路得到與它同相位的正弦信號(hào)和余弦信號(hào)，根據(jù)瞬時(shí)無(wú)功功率理論可計(jì)算出ip和iq，ip和iq經(jīng)自適應(yīng)LMS濾波系統(tǒng)得到它們的直流分量，從而得到 αβ 坐標(biāo)系中的基波分量 iαf、iβf；再經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換得到被檢電流 ia、ib、ic的基波分量 iaf、ibf、icf。

圖2 基于ip-iq運(yùn)算的自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)原理Fig.2 Principle of adaptive three-phase grid current detection based on ip-iqmethod

最后將三相負(fù)載電流與檢測(cè)的基波分量相減得到諧波分量 iah、ibh、ich補(bǔ)償給電網(wǎng)。

3.2 OVS-LMS算法的最佳變步長(zhǎng)遞推式

一般地，在滿足收斂條件的LMS算法中，當(dāng)離最佳值較遠(yuǎn)時(shí)，要提高算法迭代收斂速度的條件是選擇較大的迭代步長(zhǎng)，而在偏離最佳值較小時(shí)，為保證檢測(cè)精度減小波動(dòng)，應(yīng)該選擇較小的迭代步長(zhǎng)[13-17]。

考慮對(duì)于穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的LMS迭代過(guò)程，提出采用最佳變步長(zhǎng)的遞推公式代替LMS常規(guī)算法中的固定步長(zhǎng)，即最佳變步長(zhǎng)的遞推公式的LMS算法（OVSLMS算法）：

基于ip-iq運(yùn)算的自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)中，根據(jù)自適應(yīng)系統(tǒng)的已知條件，如果令us（n）=K，則RⅡ=E[u2s（n）]=K2，RⅣ=E[u4s（n）]=K4。 其遞推關(guān)系式為：

4 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于OVS-LMS構(gòu)成自適應(yīng)三相電網(wǎng)諧波檢測(cè)系統(tǒng)如圖2所示。在ip、iq的自適應(yīng)LMS濾波系統(tǒng)中選擇迭代步長(zhǎng)均滿足 0＜μp＜μmax，0＜μq＜μmax。 設(shè)從某時(shí)刻開(kāi)始通過(guò)前置模擬濾波器濾波后獲得的電網(wǎng)三相負(fù)載電流如圖3所示，含有豐富的諧波分量。電流通過(guò)自適應(yīng)檢測(cè)系統(tǒng)后，得到直流分量如圖4所示；a相基波與諧波電流的檢測(cè)結(jié)果如圖5所示；電網(wǎng)三相電流的檢測(cè)結(jié)果如圖6所示。可見(jiàn)，新的自適應(yīng)檢測(cè)方法可以很好地獲取電網(wǎng)基波，實(shí)現(xiàn)三相電網(wǎng)諧波電流分量的分離，且其跟蹤諧波電流的穩(wěn)態(tài)性能好。

圖3 三相負(fù)載電流Fig.3 Waveforms of three-phase load current

圖4 基于OVS-LMS的自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)直流分量Fig.4 DC component of adaptive three-phase grid current detection based on OVS-LMS

圖5 基于OVS-LMS的自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)（a相）Fig.5 Adaptive three-phase grid current detection based on OVS-LMS method（phase a）

圖6 基于OVS-LMS的自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)跟隨性能Fig.6 Dynamic response of adaptive three-phase grid current detection based on OVS-LMS

上述分析中，變步長(zhǎng)算法的初值μ（0）選為0.05。為比較基于LMS變步長(zhǎng)算法與常規(guī)固定步長(zhǎng)算法結(jié)果，進(jìn)行多次仿真實(shí)驗(yàn)。為保證較快的響應(yīng)速度與穩(wěn)態(tài)誤差，常規(guī)固定步長(zhǎng)算法的步長(zhǎng)μ取0.01，而變步長(zhǎng)算法的初值μ（0）仍確定為0.05。仿真分析如圖7和圖8所示。

由圖8可見(jiàn)，與常規(guī)固定步長(zhǎng)算法相比，改進(jìn)變步長(zhǎng)LMS算法的收斂速度有所提高。采用常規(guī)固定步長(zhǎng)LMS算法，檢測(cè)在2個(gè)周期后才趨于穩(wěn)態(tài)；采用變步長(zhǎng)LMS算法后，檢測(cè)在1.5個(gè)周期后就已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，而且暫態(tài)過(guò)程效果更好。

圖7 基于常規(guī)LMS與OVS-LMS的自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)權(quán)值變化比較Fig.7 Comparison of weights between LMS-based and OVS-LMS-based adaptive three-phase grid current detections

圖8 基于常規(guī)LMS與OVS-LMS的自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)暫態(tài)分析（a相）Fig.8 Transient state analysis for LMS-based and OVS-LMS-based adaptive three-phase grid current detections（phase a）

圖9為負(fù)載電流、基波與檢測(cè)基波的總諧波畸變率（THD）?？梢?jiàn)對(duì)于自適應(yīng)三相電網(wǎng)基波檢測(cè)而言，采用OVS-LMS算法的THD數(shù)值遠(yuǎn)小于采用常規(guī)固定步長(zhǎng)LMS算法的THD數(shù)值，其穩(wěn)態(tài)性能更好。

圖9 基于常規(guī)LMS與OVS-LMS的自適應(yīng)三相電網(wǎng)基波檢測(cè)的THD比較（a相）Fig.9 Comparison of THD between LMS-based and OVS-LMS-based adaptive three-phase grid current detections（phase a）

5 結(jié)論

本文討論基于LMS的自適應(yīng)電網(wǎng)電流檢測(cè)系統(tǒng)快速收斂的步長(zhǎng)選擇原理，在理論上給出了定量的證明。步長(zhǎng)選擇原理清楚地表明：在自適應(yīng)電網(wǎng)電流檢測(cè)的收斂過(guò)程中，偏離最佳解較遠(yuǎn)時(shí)選擇較大迭代步長(zhǎng)的收斂速度大于選擇較小步長(zhǎng)的收斂速度。將原理應(yīng)用于自適應(yīng)三相電網(wǎng)電流檢測(cè)系統(tǒng)中，采取基于最優(yōu)步長(zhǎng)選擇策略的改進(jìn)變步長(zhǎng)LMS算法，可以加快迭代運(yùn)算的收斂速度，同時(shí)提高穩(wěn)態(tài)的檢測(cè)精度。