模n剩余類環(huán)的零因子圖的補圖的類數(shù)

蘇華東，黃青鶴，張桂寧

(1.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530023;2.紐芬蘭紀(jì)念大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計系，加拿大 紐芬蘭 A1C5S7;3.江蘇科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003)

文中考慮的圖都是簡單圖(沒有重邊和自環(huán)).圖H稱為圖G的子圖，記作H?G，如果V(H)?V(G)，E(H)?E(G).圖G的補圖，記為，滿足V(ˉG)=V(G)且任意2個不同的頂點在ˉG是相連的，當(dāng)且僅當(dāng)它們在G中不相連.設(shè)集合I?V(G)，在I中任意2個不同頂點都沒有邊相連，則稱I是圖G的1個獨立集.設(shè)v∈V(G)，G中與頂點v相連的邊的數(shù)目，稱為v(在G中)的度，記作deg(v).設(shè)V'?V(G)，導(dǎo)出子圖G-V'，它是從G中去掉V'中的頂點及與這些頂點相連的邊所得到的子圖.如果V'={v∈V|deg(v)=0或1}，圖G的子圖G-V'稱為圖G的簡化，記作.如果圖G有2個頂點集V1，V2，使得V(G)=V1∪V2，V1∩V2=，且V1中任何1個頂點與V2中任何1個頂點是相連的，則稱這個圖G為完全二部圖，記作Km，n，其中m=|V1|，n=|V2|.如果1個圖G任何2個不同的頂點是相連的，則稱這個圖G為完全圖，記作Kn，其中n=|V(G)|.

在球面上添加一些手柄得到了新的表面，其類數(shù)是所添加的手柄的個數(shù).記連有i個手柄的球面為Si，其中i為非負整數(shù).那么，Si就是類數(shù)為i的可定向曲面.圖G的類數(shù)即為最小的整數(shù)m使得圖G能夠嵌入Sm上(也就是類數(shù)為m的可定向曲面)，記作γ(G).能夠嵌入到類數(shù)為0，1，2的表面上的圖分別稱為可平面圖、環(huán)面圖和雙環(huán)面圖(具有2個手柄的面稱為雙環(huán)面).直觀地說，類數(shù)代表了從球面上連出來的手柄個數(shù).未涉及的圖論定義及其它的內(nèi)容可參考文獻［1］.

設(shè)R是一個交換環(huán)，a∈R，若存在0≠b∈R，使得ab=0，則稱a是環(huán)R的一個零因子.交換環(huán)R的所有零因子組成的集合記作Z(R)，記Z(R)*=Z(R)-{0}.設(shè)a∈R，＜a＞表示由a生成的主理想.環(huán)論中未涉及的定義請參考文獻［2］.

交換環(huán)R的零因子圖是一個簡單圖，記作Γ(R)，其頂點集為Z(R)*，2個不同的頂點a，b有邊相連當(dāng)且僅當(dāng)ab=0.詳細的定義以及Γ(R)的一些基本性質(zhì)請參考文獻［3］.環(huán)的零因子圖已經(jīng)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注［4-5］.確定一個圖的類數(shù)是一個NP問題，但是由于零因子圖的特殊性，可以確定一些類數(shù)較小的情形，首先在 S.Akbari等［6-7］對Γ(R)的平面性(即類數(shù)為0)進行了討論.文獻［8-10］分別確定了類數(shù)為1的零因子圖，文獻［11］對局部環(huán)考慮了類數(shù)為2的零因子圖.當(dāng)類數(shù)比較大的時候，研究起來比較困難.所以轉(zhuǎn)向特殊的環(huán)類，Tang Gaohua等［12］考慮了模n高斯整數(shù)環(huán)的零因子圖，確定了類數(shù)小于6的情形.模n剩余類環(huán)Zn={0，1，2，…，n-1}是個基本的有限環(huán)，A.Phillips等［13-14］研究了它的零因子圖性質(zhì)，包括Γ(Zn)和它的補圖的中心，補圖的平面性、獨立集以及頂點的最小度、連通性，Γ(Zn)的核、Γ(Zn)和它的補圖的頂點的著色問題等.筆者主要研究模n剩余類環(huán)Ζn的零因子圖的補圖的類數(shù)，通過對n的標(biāo)準(zhǔn)分解進行討論，利用圖論中已知的類數(shù)公式，采用嵌入技巧，完全確定模n剩余類環(huán)Ζn的零因子圖的補圖的類數(shù)不超過5的情形.

1 引理

引理 1［1］，其中{x}是指不小于x的最小非負整數(shù).

引理 2［1］其中{x}是指不小于x的最小非負整數(shù).

下面2個引理是顯然成立的.

引理3 設(shè)圖H是圖G的任一子圖，則有γ(H)≤γ(G).

引理4對任意簡單圖G，有γ(G?)=γ(G).

引理5［1］設(shè)圖G是連通圖，且|V(G)|=v，|E(G)|=e，則有

引理6［1］設(shè)圖G，G使得V(G)∩V(G)=

1212?且E(G1)∩E(G2)=，記G=G1∪G2，其中V(G)=V(G1)∪V(G2)，E(G)=E(G1)∪E(G2)，則有 γ(G)=γ(G1)+γ(G2).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)n=pe，其中p是素數(shù)，e≥2是正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)n=p2，8，16，27.

證明 如果e=2，易知Γ(Ζp2)是1個完全圖Kp-1，即是1個獨立集，故下設(shè)e≥3，令

有

則對于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個不同的頂點都是有邊相連的，因此如果p≥5，則

所以只需考慮p=3和p=2這2種情形.

設(shè)p=3，令

如果e≥4，則有

則對于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個不同的頂點都是有邊相連的，從而存在1個子圖是完全圖K18，由引理1可得

當(dāng)e=3時，即n=27.令Γ(Ζ27)=G，有

其中9和18這兩個點的度是0，故

而且V)中任意2個不同的頂點是有邊相連的，即?G?K6，由引理4和引理1，

設(shè)p=2，令

取

如果e≥5，則

并且對于任意a∈H1，b∈H2，有ab≠0，所以H1中任意1個點與H2中任意1個點都是有邊相連的，故存在一個子圖是完全二部圖K6，8，由引理2可得

當(dāng)e=4時，設(shè)取H={2，4，6，10，14}，顯然H中任意2個不同的頂點都是有邊相連的，故存在1個子圖是完全圖K5，由引理1可得

?G在曲面S1上的嵌入如圖1所示，所以

圖1?G在曲面S1上的嵌入

當(dāng)e=3時，有，顯然證畢.

定理2 設(shè)n=，其中:pi(i=1，2)為素數(shù)，且p1＜p2;ei(i=1，2)為正整數(shù).則，當(dāng)且僅當(dāng)n=6，10，12，14，15，18，20，21，22，33，35，55，77.

證明 如果e1≥3，令

有

且對于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個不同的頂點都是有邊相連的，因此，當(dāng)n≠24時，有

當(dāng)n=24時，令，簡單檢驗后得圖G是一個連通圖，且有|V(G)|=15，|E(G)|=79.

由引理5得

如果e2≥3，令

有

且對于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個不同的頂點都是有邊相連的，因此Γ(Ζn)存在1個子圖是完全圖K18，由引理1可得

下面只需要考慮e1≤2，e2≤2的情形.

情形 1e1=e2=2，令

有

且對于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個不同的頂點是有邊相連的，因此

存在1個子圖是完全圖K12，由引理1可得

情形2e1=e2=1，即n=p1p2，此時 Γ(Zn)是完全二部圖，即是2個完全圖的不相交并，即

情形3e1=1且e2=2，令

如果p2≥5，則有

且對于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個不同的頂點是有邊相連的，因此

存在1個子圖是完全圖K20，由引理1可得

當(dāng)p1=2，p2=3即n=18時，令

則對于任意a∈H1，b∈H2有ab≠0，故a與b是有邊相連的，因此存在1個子圖是完全二部圖K5，5，由引理 2 可得

情形4e1=2且e2=1，令

如果p2≥7則有

且對于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個不同的頂點是有邊相連的，因此存在1個子圖是完全圖K12，由引理1得

當(dāng)p1=2，p2=3 時)在平面上嵌入如圖3所示，故

圖3 在平面上嵌入

當(dāng)p1=2，p2=5時，令H=Γ(Ζ20)-10，則圖H是一個連通圖，且有

圖4 在曲面S3上的嵌入

當(dāng)p1=3，p2=5，取H= ＜3 ＞ - ＜15 ＞ ={3，6，9，12，18，21，24，27，33，36，39，42}，

顯然H中任意2個不同的頂點是有邊相連的，因此存在1個子圖是完全圖K12，由引理1得

證畢.

證明 當(dāng)n=30 時，取H={2，3，4，6，8，9，12，14，16，18，21，22，24，26，27，28}，則|H|=16，經(jīng)計算可知，H中任意2個不同的頂點是有邊相連的，故存在1個子圖是完全圖K16，由引理1 得

當(dāng)n≠30時，構(gòu)造2個理想I1=＜p1＞和I2=＜p1p3＞，取V=I1-I2，有

經(jīng)驗證對于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個不同的頂點是有邊相連的，因此，Γ(Ζn)存在1個子圖是完全圖K18，由引理1得證畢.

由前面的3個定理以及它們的證明過程，有如下的推論.

7)不存在n，使得

References)

［1］ White A T.Graphs，Groups and Surfaces［M］.USA:North-Holland Mathematics Studies，1984.

［2］ 唐高華.近世代數(shù)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008.

［3］ Anderson D F，Livingston PS.The zero-divisor graph of a commutative ring［J］.Journal of Algebra，1999，217:434-447.

［4］ Visweswaran S.Some results on the complement of the zero-divisor graph of a commutative ring［J］.Journal of Algebra and Its Applications，2011，10(3):573-595.

［5］ LaGrange J D.Complemented zero-divisor graphs and Boolean rings［J］.Journal of Algebra，2007，315:600-611.

［6］ Akbari S，MaimaniH R，Yassemi S.When a zero-divisor graph is planar or a completerr-partite graph［J］.Journal of Algebra，2003，270:169-180.

［7］ Belshoff R，Chapman J.Planar zero-divisor graphs［J］.Journal of Algebra，2007，316:417-480.

［8］ Wang H J.Zero-divisor graphs of genus one［J］.Journal of Algebra，2006，304:666-678.

［9］ Wichham C.Classification of rings with genus one zerodivisor graphs［J］.Communications in Algebra，2008，36:325-345.

［10］ Chiang-Hsiem H J，Smith N O，Wang H J.Commutative rings with toroidal zero-divisor graphs［J］.Houston Journal of Mathematics，2010，36(1):1-31.

［11］ Bloomfield N，Wichham C.Local rings with genus two zero-divisor graphs［J］.Communications in Algebra，2010，38:2965-2980.

［12］ Tang Gaohua，Li Xiangni，Zhao Wei，et al.The genus of the zero-divisor graph ofZn［i］［J］.Guangxi Sciences，2010，17(1):8-10.

［13］ Phillips A，Rogers J，Tolliver K，et al.Uncharted territory of zero divisor graphs and their complements［D］.USA:Miami University，2004.

［14］ Cordova N I，Gholston C，Hauser H A.The structure of zero-divisor graphs［D］.USA:Miami University，2005.