基于稀疏反演的OBS數(shù)據(jù)多次波壓制方法

劉國昌，陳小宏，宋家文＊

1 中國石油大學(xué)（北京）油氣資源與探測(cè)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249 2中國石油大學(xué)（北京）CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249

1 引 言

海底地震儀OBS觀測(cè)是一種將檢波器直接放置于海底的地震觀測(cè)系統(tǒng)［1］.近年研究表明，在海洋地球物理調(diào)查中，可以利用OBS探測(cè)海底地質(zhì)構(gòu)造、天然氣水合物和游離氣、海底油氣資源，調(diào)查地下巖層巖性，確定海底的彈性和各向異性等物性參數(shù)［2］.在油氣勘探中，由于OBS造價(jià)昂貴，成本較高，OBS站點(diǎn)一般分隔較遠(yuǎn)，不同于海底電纜地震勘探觀測(cè)系統(tǒng)［3］.在海洋深水區(qū)域，海底電纜的應(yīng)用受到限制，因此，OBS技術(shù)在海洋深水勘探中具有重要的作用.OBS數(shù)據(jù)和其他海洋勘探數(shù)據(jù)（拖纜數(shù)據(jù)、海底電纜數(shù)據(jù)等）一樣面臨著多次波干擾問題，由于海水表面反射系數(shù)大，與表層相關(guān)的多次波壓制就成為OBS數(shù)據(jù)處理中最需解決的問題之一［4－5］.

多次波的壓制方法主要分為兩類［6－7］：一類是利用一次波和多次波的特征差異來壓制多次波，統(tǒng)稱為濾波法，如預(yù)測(cè)反褶積、拋物Radon變換等；另一類是從地震數(shù)據(jù)中預(yù)測(cè)多次波，然后將其從地震數(shù)據(jù)中減去，該類方法基于波動(dòng)方程理論，也稱為波動(dòng)方程預(yù)測(cè)相減法，主要有：波場(chǎng)外推法［8］、反饋迭代法［9］、逆散射級(jí)數(shù)法［10］等.本文研究涉及的方法屬于反饋迭代法的范疇.在反饋迭代方法中，SRME是經(jīng)典的自由表面多次波壓制方法［9］.SRME一般分為兩步：多次波預(yù)測(cè)和自適應(yīng)相減，在多次波與一次波同相軸相交的情況下，基于一次波能量最小假設(shè)的自適應(yīng)相減方法會(huì)損傷一次波，黃新武等［7］、薛亞茹等［11］、李鵬等［12］都對(duì)該方法做過深入的研究.Berkhout（2006）將SRME理論推廣到反數(shù)據(jù)域壓制多次波，該方法與正數(shù)據(jù)域的SRME相比，理論表達(dá)簡(jiǎn)單，避免了自適應(yīng)相減過程，因此地震記錄可以完全保留有效波信息［13］.馬繼濤等在反數(shù)據(jù)域壓制多次波理論基礎(chǔ)上，提出了平面波域反數(shù)據(jù)壓制多次波的方法，提高了矩陣求逆的穩(wěn)定性和計(jì)算有效性［14－15］.Van Borselen等［16］，Biersteker［17］在反演理論基礎(chǔ)上，通過最小能量約束研究了一次波的反演估計(jì)問題，從反演的角度避免了自適應(yīng)相減的過程.van Groenestijn和 Verschuur（2009）［18］提出了EPSI方法，在稀疏約束的基礎(chǔ)上，通過多維反演迭代求解估計(jì)一次波，該方法可以精確地估計(jì)一次波，不需要自適應(yīng)相減，且計(jì)算穩(wěn)定.

對(duì)于不同的地震觀測(cè)方式，采用SRME的方法略有不同.馬繼濤等［19］在SRME理論基礎(chǔ)上，研究了海底電纜地震數(shù)據(jù)中自由表面多次波的壓制問題，得到了較好的效果.反饋迭代法需要全波場(chǎng)的信息，如果地震數(shù)據(jù)有缺失，需要對(duì)地震數(shù)據(jù)做插值重建處理.然而對(duì)于OBS數(shù)據(jù)，檢波點(diǎn)非常稀疏，插值結(jié)果難以保真，因此僅僅采用OBS數(shù)據(jù)利用反饋迭代法預(yù)測(cè)多次波具有很大的局限性［3，5］.Verschuur和 Neumann（1999）［4］在 SRME 基礎(chǔ)上，利用拖纜數(shù)據(jù)和OBS數(shù)據(jù)聯(lián)合研究了OBS多次波壓制問題.本文將SRME方法拓展到EPSI方法，聯(lián)合海洋常規(guī)拖纜數(shù)據(jù)和OBS數(shù)據(jù)，研究OBS數(shù)據(jù)自由表面多次波壓制方法.首先，詳細(xì)介紹了反饋迭代自由表面多次波壓制理論；然后在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了聯(lián)合拖纜數(shù)據(jù)壓制OBS多次波的EPSI原理，給出了OBS多次波壓制的具體步驟；最后，利用模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文方法的有效性.

2 反饋迭代模型與多次波預(yù)測(cè)理論

地震數(shù)據(jù)是炮點(diǎn)坐標(biāo)xs＝ ［sx，sy，sz］、檢波點(diǎn)坐標(biāo)xr＝ ［rx，ry，rz］和時(shí)間t的函數(shù)，將地震數(shù)據(jù)表示為d（xs，xr，t），在頻率域地震數(shù)據(jù)變?yōu)閐（xs，xr，ω）.省略炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)坐標(biāo)，某一頻率切片的地震數(shù)據(jù)可以用矩陣D表示.地震數(shù)據(jù)可以表示為一次波（指除了自由表面多次波之外的波場(chǎng)信息，即包含層間多次波）和自由表面多次波的和

其中，P表示一次波，M表示多次波，X為一次波脈沖響應(yīng)，S為震源矩陣，R為表面反射系數(shù)矩陣.通過公式（1），可以推導(dǎo)出壓制多次波的三種反饋迭代方法.

（1）SRME方法.由公式M＝XRD，可以看出，表面相關(guān)多次波可以通過地震數(shù)據(jù)D作用算子XR預(yù)測(cè)得到.因此有M＝PS－1RD，S－1R是表層相關(guān)算子，通過迭代法就可以預(yù)測(cè)多次波模型，然后利用自適應(yīng)相減方法消除掉S－1R的影響，這就是經(jīng)典的SRME方法.

（2）反數(shù)據(jù)域方法.公式（1）可以寫成 （IXR）D＝XS，那么

由于表層相關(guān)算子RS－1不含有任何與時(shí)間相關(guān)的信息，在反數(shù)據(jù)域是一個(gè)位于零時(shí)間附近聚焦點(diǎn)，因此在反數(shù)據(jù)域地震數(shù)據(jù)變成一次波加上表面相關(guān)算子，在時(shí)間域可以通過切除零時(shí)間附近的表面相關(guān)算子，從而得到一次波的估計(jì).該方法需要做矩陣的逆運(yùn)算，因此需要采用穩(wěn)定的矩陣求逆方法.

（3）EPSI方法.SRME方法需要自適應(yīng)相減，反數(shù)據(jù)域方法在頻率域矩陣求逆存在不穩(wěn)定性問題，而EPSI方法很好地解決了這些問題，該方法直接從方程（1）入手，對(duì)時(shí)間域一次波脈沖響應(yīng)施加稀疏約束，采用迭代反演的方法估計(jì)一次波與多次波.假設(shè)自由表面反射系數(shù)為－1，那么方程（1）中的R＝－I.采用Claerbout對(duì)優(yōu)化問題的描述方式［20］，EPSI方法可以描述成下面的優(yōu)化問題：

其中‖A‖表示對(duì)矩陣A所有元素求平方和，｜A｜0表示A的L－0范數(shù).公式（3a）是由公式（1）得到的，采用L－2范數(shù)最小描述公式（1）兩端的能量差最小；公式（3b）表示時(shí)間域一次波脈沖響應(yīng)是稀疏的，采用零范數(shù)最小描述其稀疏性，R－1表示是對(duì)所有頻率切片的X做逆Fourier變換；公式（3c）表示滿足震源特性S的能量最小，采用L－2范數(shù)描述.由于Fourier變換滿足能量守恒性質(zhì)（Parseval定理），公式（3a）和（3c）中的L－2范數(shù)問題在頻率域求解與時(shí)間域求解是等同的，而公式（3b）中的L－0范數(shù)需要在時(shí)間域中求解.可以看出，公式（3）中需要求解的變量有兩個(gè)：一次波脈沖響應(yīng)X和震源特性S，其他均是已知量.由于存在零范數(shù)問題，該優(yōu)化問題是非線性問題，不能直接采用共軛梯度迭代法求解，van Groenestijn和 Verschuur（2009）［18］在迭代過程中結(jié)合零范數(shù)約束利用最速下降法求解上述問題.時(shí)間域X的稀疏約束問題還可以采用其他的稀疏約束方法，比如 Lin和 Herrmann等［21］提出的curvelet域稀疏約束的EPSI方法，就是利用curvelet變換的稀疏特性，假設(shè)一次波在curvelet域中具有稀疏的特性來估計(jì)一次波，但是curvelet變換稀疏約束估計(jì)一次波需要較大的計(jì)算量.

3 聯(lián)合拖纜數(shù)據(jù)壓制OBS多次波的EPSI方法

上述EPSI方法是針對(duì)常規(guī)觀測(cè)系統(tǒng)地震數(shù)據(jù)的方法，要求檢波點(diǎn)與炮點(diǎn)位于同一觀測(cè)平面上，且只用一個(gè)數(shù)據(jù)體.而OBS數(shù)據(jù)觀測(cè)方式不同于常規(guī)觀測(cè)方式，檢波點(diǎn)稀疏且放置于海底，炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)并不位于同一觀測(cè)平面上，因此本文研究聯(lián)合拖纜數(shù)據(jù)壓制OBS多次波.圖1顯示了OBS波場(chǎng)傳播示意圖，可以看出，OBS接收到的表面相關(guān)多次波（包括上行波場(chǎng)和下行波場(chǎng)）都可以看作是拖纜采集數(shù)據(jù)Dsur與OBS一次波脈沖響應(yīng)Xobs的多維褶積，因此我們將公式（1）改寫為

圖1 OBS波場(chǎng)傳播示意圖（a）OBS下行波場(chǎng)中的多次波示意圖；（b）OBS上行波場(chǎng)中的多次波示意圖.左：OBS多次波；中：拖纜采集數(shù)據(jù)Dsur；右：OBS一次波（包括直達(dá)波）脈沖響應(yīng)Xobs.Fig.1 The sketch map of OBS wavefields（a）OBS downgoing wavefield；（b）OBS upgoing wavefield.Left：OBS multiples；middle：streamer data Dsur；right：the primary（including direct wave）impulse response of OBS data Xobs.

其中，Dsur是常規(guī)拖纜數(shù)據(jù)，Dobs是OBS數(shù)據(jù)，Xobs是OBS一次波脈沖響應(yīng)，S是震源矩陣.在計(jì)算過程中，由于OBS數(shù)據(jù)檢波點(diǎn)非常稀疏，我們僅僅需要在共檢波點(diǎn)道集上壓制多次波，對(duì)某一共檢波點(diǎn)道集來說，Dobs和Xobs是一維向量，Dsur是拖纜數(shù)據(jù)的二維矩陣.在采集過程中，拖纜和OBS數(shù)據(jù)一般采用同樣類型的震源，因此這里假設(shè)震源特性S是不變的.公式 （4）與公式（1）的差別是公式（4）含有拖纜數(shù)據(jù)和OBS數(shù)據(jù)兩個(gè)數(shù)據(jù)體，但求解過程與公式（1）近似.類似于公式（3），我們將公式（4）寫成下面的優(yōu)化問題

類似于van Groenestijn和 Verschuur（2009）［18］給出的公式（3）的求解方法，這里我們給出公式（5）的詳細(xì)求解方法.

（1）首先，確定Xobs及其梯度 ΔXobs.將公式（5a）寫成目標(biāo)函數(shù)的形式

對(duì)上述目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)得到Xobs的梯度

其中 （·）H表示 （·）的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，Dobs－XobsS＋XobsDsur是殘差項(xiàng).（Dobs－XobsS＋XobsDsur）SH的作用是將殘差中的OBS一次波信息轉(zhuǎn)化為OBS一次波脈沖響應(yīng)，而 （Dobs－XobsS＋XobsDsur）DsurH的作用是將殘差中的OBS多次波信息轉(zhuǎn)化為OBS一次波脈沖響應(yīng).如果迭代初始值設(shè)為：X（0）obs＝0，S（0）＝0，那么經(jīng)過一次迭代的ΔXobs結(jié)果是OBS數(shù)據(jù)與拖纜數(shù)據(jù)的多維相關(guān)，即

（2）其次，滿足時(shí)間域Xobs的稀疏性.為了采用稀疏約束，van Groenestijn和 Verschuur（2008）［22］研究了直接對(duì)X加稀疏約束的方法，結(jié)果表明反演收斂速度非常慢.為了提高計(jì)算效率，van Groenestijn和 Verschuur（2009）［18］將稀疏約束加到X的更新項(xiàng)ΔX上.類似地，本文將約束加到OBS一次波脈沖響應(yīng)更新項(xiàng)ΔXobs上.具體做法是將ΔXobs變換到時(shí)間域，選擇一個(gè)時(shí)間窗口，在時(shí)間窗口內(nèi)保留一個(gè)或者幾個(gè)時(shí)間域ΔXobs的最大值，其他設(shè)為零，該最大值代表了時(shí)間域的同相軸，這樣保證了ΔXobs在時(shí)間域同相軸的個(gè)數(shù)比較少，從而滿足了稀疏性.隨著迭代次數(shù)的增加，選擇的時(shí)間窗口依次增大以保證迭代能夠收斂，然后將稀疏的ΔXobs加到一次波脈沖響應(yīng)上，得到一次波脈沖響應(yīng)下一次迭代的結(jié)果

其中i，j是矩陣坐標(biāo)，“·＊”表示矩陣元素對(duì)應(yīng)相乘.第一次迭代的時(shí)間窗口選取要適當(dāng)，不能將多次波同相軸包括進(jìn)來參與計(jì)算.隨著迭代次數(shù)的增加，殘差里面淺層一次波及其產(chǎn)生的多次波能量已經(jīng)被減掉了，這有助于估計(jì)深層的弱一次反射.

（3）最后求解震源特性S.震源特性可以在時(shí)間域通過匹配得到，也可以通過頻率域的除法得到.

至此，已經(jīng)得到迭代一次后的一次波脈沖響應(yīng)Xobs和震源特征S，通過多次迭代即可得到最終結(jié)果.估計(jì)的一次波可以直接通過Xobs和S的乘積得到

也可以采用保守的方法，即從原始數(shù)據(jù)中減去估計(jì)的多次波

通過少量的迭代計(jì)算淺層對(duì)應(yīng)的多次波就能夠估計(jì)出來，而深層產(chǎn)生的多次波能量非常弱，因此在精度要求不高的情況下，可以用較少的迭代運(yùn)算來估計(jì)多次波，然后采用保守方法計(jì)算一次波，從而提高計(jì)算效率.對(duì)于海底地震儀不同分量（壓力和X，Y，Z分量）的數(shù)據(jù)，可以分別利用EPSI估計(jì)各分量數(shù)據(jù)中的一次波.本文算例以壓力分量為例說明EPSI壓制OBS多次波的方法.

4 模型算例

用一個(gè)模擬的OBS數(shù)據(jù)壓力分量和拖纜數(shù)據(jù)說明本文提出算法的有效性.圖2a是速度模型，圖2b是模擬的OBS共檢波點(diǎn)道集，由于炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)不在同一平面上，因此直達(dá)波具有雙曲線形態(tài).為便于比較，這里也給出了吸收邊界條件下模擬的不含表面相關(guān)多次波的記錄（圖2c）.圖3是模擬的拖纜數(shù)據(jù).比較圖2b和圖2c可以看出OBS數(shù)據(jù)多次波干擾非常嚴(yán)重，尤其在深層部分，一次波能量幾乎被多次波淹沒，例如箭頭所指的第四個(gè)反射界面，一次波和多次波幾乎完全重合，對(duì)于這樣的同相軸SRME自適應(yīng)相減會(huì)有很大的局限性.

圖2 （a）速度模型；（b）自由表面模擬的OBS數(shù)據(jù)；（c）吸收邊界條件模擬的OBS數(shù)據(jù)Fig.2 （a）Velocity model；（b）Synthetic OBS data with free－surface boundary conditions；（c）Synthetic OBS data with absorbing boundary conditions

圖3 模擬的拖纜數(shù)據(jù)（前5炮數(shù)據(jù)）Fig.3 Synthetic streamer data（first five shot gathers）

圖4—圖7顯示了EPSI方法迭代的結(jié)果.隨著迭代次數(shù)的增加，淺層的梯度逐漸衰減，說明在迭代過程中選擇時(shí)間窗口應(yīng)逐漸變大，這樣才能把新的一次波能量包含進(jìn)來（圖4）.從圖5可以看出，一次波脈沖響應(yīng)隨著迭代次數(shù)的增加，逐漸地被反演出來，當(dāng)?shù)?0次時(shí)，淺層的一次波脈沖響應(yīng)已經(jīng)被反演出來，由于時(shí)間窗口還沒有達(dá)到深層對(duì)應(yīng)的時(shí)間，因此深層的一次波脈沖響應(yīng)沒有被反演出來.正是由于迭代過程是從淺層到深層逐步地估計(jì)一次波，所以保證了一次波和多次波能夠很好的預(yù)測(cè)和分離.從EPSI估計(jì)得到的一次波數(shù)據(jù)（圖6c）可以看出EPSI得到的一次波非常清晰，很好地保持了有效信號(hào).圖7給出了估計(jì)的多次波隨著迭代次數(shù)的變化情況，隨著迭代次數(shù)的增加，與深層有關(guān)的多次波逐漸被反演出來，由于深層有關(guān)的多次波能量非常弱，第一次迭代的結(jié)果（圖7a）就能夠反映主要的多次波能量.注意箭頭所指的深層有關(guān)的多次波能量，在第一次迭代結(jié)果中并沒有被估計(jì)出來，隨著迭代次數(shù)的增加它被很好地估計(jì)出來了.由于深層有關(guān)的多次反射波能量很弱，利用EPSI方法時(shí)，可以選用較少的迭代次數(shù)得到多次波，然后根據(jù)公式（12）得到一次波，這樣可以提高計(jì)算效率，當(dāng)然也會(huì)降低計(jì)算精度.最后比較EPSI、SRME自適應(yīng)相減和吸收邊界條件模擬得到的一次波記錄（圖8）.這里SRME自適應(yīng)相減采用的是非穩(wěn)態(tài)自回歸自適應(yīng)相減方法［23］，該方法充分考慮了子波的時(shí)變性.從圖8可以看出SRME方法由于深層多次波和一次波相交比較嚴(yán)重，效果較差，第四個(gè)反射軸與多次波幾乎完全重合，SRME自適應(yīng)相減將其當(dāng)作多次波能量直接減掉了，第五個(gè)反射軸處多次波同相軸非常復(fù)雜，SRME自適應(yīng)相減結(jié)果也不理想.而EPSI方法可以很好地估計(jì)一次波，與吸收邊界條件模擬得到的一次波記錄非常相近，充分說明EPSI方法可以很好地壓制OBS數(shù)據(jù)中的多次波.

圖4 不同迭代次數(shù)的梯度ΔXobs（a）迭代1次；（b）迭代10次；（c）迭代20次.Fig.4 The gradientΔXobsduring different iterations（a）Iterations i＝1；（b）Iterations i＝10；（c）Iterations i＝20.

圖5 不同迭代次數(shù)的一次波脈沖響應(yīng)Xobs（a）迭代1次；（b）迭代10次；（c）迭代20次.Fig.5 The primary impulse response Xobsduring different iterations（a）Iterations i＝1；（b）Iterations i＝10；（c）Iterations i＝20.

圖6 不同迭代次數(shù)估計(jì)的一次波數(shù)據(jù)obs＝XobsS（a）迭代1次；（b）迭代10次；（c）迭代20次.Fig.6 The estimated primaries XobsSduring different iterations（a）Iterations i＝1；（b）Iterations i＝10；（c）Iterations i＝20.

圖7 不同迭代次數(shù)估計(jì)的自由表面多次波數(shù)據(jù)XobsDsur（a）迭代1次；（b）迭代10次；（c）迭代20次.Fig.7 The estimated multiples XobsDsurduring different iterations（a）Iterations i＝1；（b）Iterations i＝10；（c）Iterations i＝20.

在OBS偏移成像過程，由于檢波點(diǎn)鬼波數(shù)據(jù)有較大的照明范圍，常常用來做鏡像偏移［5］，這時(shí)需要用到檢波點(diǎn)鬼波信息，在圖8得到的一次波記錄中不含有檢波點(diǎn)鬼波信息.為了得到含有檢波點(diǎn)鬼波信息的一次波記錄，首先需要將OBS數(shù)據(jù)中的直達(dá)波（圖9a中虛線以上的部分）切除作為EPSI的輸入數(shù)據(jù).圖9c顯示的多次波是不含有檢波點(diǎn)鬼波的記錄，通過上下行波的分離可以用于OBS數(shù)據(jù)鏡像偏移.

5 結(jié)論與討論

圖8 不同方法得到的一次波結(jié)果比較（a）SRME自適應(yīng)相減；（b）EPSI方法由公式（11）得到的一次波；（c）EPSI方法由公式（12）得到的一次波.Fig.8 The comparison of obtained primaries between different methods（a）SRME；（b）EPSI by Eq.（11）；（c）EPSI by Eq.（12）.

文中介紹了壓制多次波的反饋迭代模型及其衍生的三種方法：經(jīng)典SRME方法、反數(shù)據(jù)域方法和EPSI方法.EPSI方法與其他反饋迭代法一樣是一種完全數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，不需要地下介質(zhì)的任何信息.但EPSI與SRME不同，EPSI方法不需要自適應(yīng)相減步驟，在稀疏約束基礎(chǔ)上直接反演估計(jì)一次波信息，從而保護(hù)了一次有效波反射信息；EPSI與反數(shù)據(jù)域方法不同，EPSI方法不需要考慮矩陣求逆的穩(wěn)定性問題，采用矩陣乘法的迭代計(jì)算估計(jì)一次波.OBS數(shù)據(jù)采集具有自己的特點(diǎn)，與海底電纜數(shù)據(jù)不同，海底電纜數(shù)據(jù)一般檢波點(diǎn)較多，可以只用海底電纜數(shù)據(jù)本身預(yù)測(cè)和估計(jì)一次波，而OBS數(shù)據(jù)檢波點(diǎn)非常稀疏，本文充分考慮了OBS采集的特點(diǎn)，以EPSI方法為理論基礎(chǔ)，提出了聯(lián)合拖纜數(shù)據(jù)壓制OBS多次波方法，利用拖纜數(shù)據(jù)的信息克服了稀疏檢波點(diǎn)OBS多次波預(yù)測(cè)的困難.模擬算例驗(yàn)證了本文方法的有效性.

EPSI方法需要大量的矩陣乘法運(yùn)算，計(jì)算量較大，但由于OBS數(shù)據(jù)量相對(duì)較少，計(jì)算量可以接受.另外，為了提高計(jì)算效率可以采用較少的迭代次數(shù)，利用公式（12）保守方法估計(jì)一次波，這樣，在滿足精度的要求下可以提高計(jì)算效率.本文采用時(shí)間域L－0范數(shù)稀疏約束的EPSI方法估計(jì)OBS一次波，還可以將其擴(kuò)展到利用其他稀疏變換（如curvelet變換，seislet變換等）稀疏約束的EPSI方法，發(fā)展利用其他稀疏變換的EPSI方法壓制OBS多次波是下一步的研究方向.

致 謝 感謝馬繼濤博士對(duì)SRME和反數(shù)據(jù)域壓制多次波方法的有關(guān)討論，感謝荷蘭Delft理工大學(xué)的Verschuur博士的指導(dǎo)和國家留學(xué)基金委的資助.

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