巧用三角形的內(nèi)角和外角解題

周庭芬

一、知識透視

1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角之和等于180°.

證明三角形內(nèi)角和定理的幾種輔助線的作法：

（1）如圖1，過點A作DE∥BC；

（2）如圖2，過BC上任意一點D，作DE∥AC，DF∥AB；

（3）如圖3，過點C作射線CD∥AB.

2.外角及其性質(zhì)：

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

性質(zhì)1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.如圖4，∠ACD=∠ABC+∠BAC.

性質(zhì)2：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.如圖4，∠ACD>∠ABC，∠ACD>∠BAC.

二、問題透視

例1 （2012年廣東肇慶）如圖5，已知D、E在△ABC的邊上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED =40°，則∠A 的度數(shù)為（ ）.

A.100° B.90° C.80° D.70°

分析：結(jié)合“兩直線平行，同位角相等”及三角形內(nèi)角和定理，把已知角和未知角聯(lián)系起來，即可求出角的度數(shù).

解：因為DE∥BC，所以∠AED=∠C=40° .而∠B=60° ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有：∠A+∠B+∠C=180°，∠A=180°-∠B-∠C =180°-60°-40°=80°.故選C.

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì).

例2 （2012年四川廣安） 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=BC，則△ABC底角的度數(shù)為（ ）.

A.45° B.75° C.45°或75° D.60°

解析：結(jié)合題意畫出圖形有助于解題，并且注意分類討論.

①當(dāng)BC為底邊時，如圖6，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，而BD=DC=BC，所以AD=BD=DC.

又∠ADB=90°，所以△ABC底角∠ABC=45°；

圖6 圖7

②當(dāng)BC為腰時，如圖7，BC=AB， AD⊥BC，AD=BC， 所以AD=AB，所以∠ABC=30°，因此△ABC底角∠ACB=75°.故選C.

點評：對于等腰三角形邊、角的計算問題，如果題目中沒有圖形，注意畫圖，運用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，而且等腰三角形問題往往有兩種情況，應(yīng)當(dāng)分類討論.

例3 （2012年云南?。┤鐖D8，在△ABC中， ∠B=67°，∠C=33°， AD是△ABC的角平分線，則 ∠CAD的度數(shù)為（ ）.

A.40° B.45° C.50° D.55°

解析 ：三角形的內(nèi)角和是∠BAC+∠B+∠C=180°，所以∠BAC=80°；又因為AD是角平分線，所以 ∠CAD=40°. 故選 A.

例4 （2012年山東濱州）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2∶3∶7，這個三角形一定是（ ）.

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.銳角三角形 D.鈍角三角形

解析： 三角形的三個角依次為180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以這個三角形是鈍角三角形.故選D.

點評： 本題結(jié)合三角形內(nèi)角和定理以及三個角的大小之比可求出三個角的大小.

例5 已知一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)比是1∶5∶6，則其最大內(nèi)角的度數(shù)為（ ）.

A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°

分析： 由于題目中出現(xiàn)比例“1∶5∶6”，我們可設(shè)三角形三個內(nèi)角分別為x°、5x°、6x°.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三個內(nèi)角的和為180°，列方程求解即可.

解：設(shè)三角形三個內(nèi)角分別為x°、5x°、6x°. 根據(jù)題意，得

x°+5x°+6x°=180°，

解得x=15.

所以最大內(nèi)角的度數(shù)為6x°=90°.故選C.

點評： 出現(xiàn)與三角形的內(nèi)角有關(guān)的題目時，注意題目中隱含著一個相等關(guān)系——三角形三個內(nèi)角的和為180°.

例6 如圖9所示，∠C=48°，∠E=25°，∠BDF=140°，求∠A與∠EFD的度數(shù).

分析： ∠BDF是△BCD的外角，也是△DEF的外角，無論運用哪種關(guān)系都可以求解.

由∠BDF是△BCD的一個外角，且∠C已知，可求∠CBD的度數(shù).利用∠CBD是△ABE的外角可求∠A.利用∠EFD是△ACF的外角可求∠EFD.

解：因為∠BDF=∠C+∠CBD，∠C=48°，∠BDF=140°，所以∠CBD=92°.

因為∠CBD=∠A+∠E，∠E=25°，所以∠A=67°，∠EFD=∠A+∠C=115°.

點評：求一個角的度數(shù)，首先應(yīng)該弄清這個角在哪個三角形中，是外角還是內(nèi)角，跟已知角有什么聯(lián)系.

例7 （2012年山東濱州）如圖10，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，則∠C= .

圖10

解析：∵AB=AD，∠BAD=20°，

∴∠B===80°.

∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°.

∵AD=DC，∴∠C===40°.

點評： 本題考查三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

例8 如圖11所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分線，CE交BA的延長線于點E.求證：∠BAC>∠B.

分析：解答涉及角的不等關(guān)系的問題時，要想到利用“三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角”的性質(zhì).

要證∠BAC>∠B，由于∠BAC、∠B在同一個三角形中，沒有直接的定理可用，必須通過其他的角進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

證明 ：在△ACE中，∠BAC>∠1（三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角）.

同理，在△BCE中，∠2>∠B.

因為∠1=∠2，所以∠BAC>∠B.

點評：本題中∠1=∠2的作用非常關(guān)鍵，它把∠B和∠2的不等關(guān)系與∠BAC和∠1的不等關(guān)系聯(lián)系起來了.