鏡頭孔徑光闌與透視中心關(guān)系分析

史艷瓊， 盧榮勝， 陳 琳

（合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

相機(jī)成像過程是把三維空間物體上的點(diǎn)通過鏡頭透視關(guān)系映射到傳感器像平面上的二維空間，這種映射常常用薄透鏡小孔模型近似，即把鏡頭簡(jiǎn)化抽象成一個(gè)薄透鏡，空間點(diǎn)與像平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于透鏡中心一點(diǎn)，該點(diǎn)即為透視中心［1］。這種簡(jiǎn)化透視變換模型能夠滿足大多數(shù)固定焦距成像的機(jī)器視覺應(yīng)用場(chǎng)合，因?yàn)樵谶@些場(chǎng)合并不需要知道鏡頭的透視中心在鏡頭上的真實(shí)物理位置，但是這種近似在有些場(chǎng)合是不可以的。如在全景成像時(shí)，需要知道相機(jī)透視中心的準(zhǔn)確位置，讓相機(jī)圍繞透視中心旋轉(zhuǎn)，拍攝多幅圖像，保證在不同轉(zhuǎn)角處獲得的序列圖像透視中心在同一個(gè)位置，才能比較容易地采用圖像拼接技術(shù)獲得更大畫幅的全景圖像。

在視覺跟蹤領(lǐng)域，為了獲得較高的影像分辨率以及保持跟蹤圖像大小不變，常常使用方位角、俯仰角和倍率的PTZ（Pan－Tilt－Zoom，簡(jiǎn) 稱PTZ）相機(jī)［2－3］。另外在大空間三維測(cè)量時(shí)，也用到多個(gè)PTZ相機(jī)進(jìn)行跟蹤［4－5］，該相機(jī)也需要繞著水平和垂直軸旋轉(zhuǎn)。在理想的情況下，水平軸和垂直軸的交點(diǎn)應(yīng)該與相機(jī)的透視中心重合，這樣會(huì)大大減小視覺建模的難度。但是，相機(jī)鏡頭是由多個(gè)鏡組組成，并非能夠用薄透鏡進(jìn)行精確等效。在利用PTZ相機(jī)成像時(shí)，當(dāng)鏡頭的倍率發(fā)生變化時(shí)，透視中心的位置也會(huì)發(fā)生變化。如何確定鏡頭的透視中心位置，一直是人們爭(zhēng)論的話題。有人認(rèn)為旋轉(zhuǎn)中心在鏡頭的節(jié)點(diǎn)附近，有人認(rèn)為在入瞳附近。

本文就這一問題展開分析，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，為了證明實(shí)際鏡頭的透視中心與鏡頭的孔徑光闌（入瞳）有關(guān)，首先從透鏡的光線追跡、成像規(guī)律及孔徑光闌對(duì)成像的影響入手，分析鏡頭的透視中心的位置。

1 透鏡成像規(guī)律與光線追跡

對(duì)于薄透鏡成像，高斯光學(xué)鏡頭光線追跡遵從以下3條規(guī)則［6－7］：

（1）平行于光軸的入射光線，經(jīng)過透鏡折射后，通過光軸上的一個(gè)唯一點(diǎn)（即焦點(diǎn)），該點(diǎn)與鏡面相距1個(gè)焦距的長(zhǎng)度。

（2）所有經(jīng)過鏡頭中心的入射光線，折射后不改變方向。

（3）從物體上一點(diǎn)發(fā)射的光線，不論它從鏡頭上什么位置入射，折射后都通過一個(gè)唯一的像點(diǎn)。

如圖1所示，用2個(gè)箭頭表示物體位置，鏡頭右邊的傳感器像平面用IP表示，右邊的箭頭表示像正好落在傳感器像平面上，左邊靠近鏡頭的箭頭表示物體的像離焦。

圖1a展現(xiàn)了符合規(guī)則1和規(guī)則2的一個(gè)最簡(jiǎn)單的光線傳播情況。

一旦水平和過中心的光線位置確定以后，任何其他光線的傳播路徑，根據(jù)規(guī)則3就很容易分析出來，如圖1b所示。

但是，真正的透鏡是有厚度的，當(dāng)透鏡厚度與透鏡焦距相比，對(duì)成像的影響不能忽略時(shí)，或者透鏡是由多片鏡組組成，就不能用薄透鏡模型進(jìn)行近似。如圖2所示，厚透鏡是指有2個(gè)折射面，且被分開一段距離的透鏡。厚透鏡在光軸上有6個(gè)基點(diǎn)，在基點(diǎn)處與軸垂直的平面叫基平面，這6個(gè)基點(diǎn)分別為物方焦距F、像方焦距F′、物方主點(diǎn)H、像方主點(diǎn)H′、物方節(jié)點(diǎn)N及像方節(jié)點(diǎn)N′［8］，這6個(gè)基點(diǎn)和基平面能夠清晰地表達(dá)厚透鏡的高斯成像特性。

圖1 薄透鏡高斯光線傳播規(guī)律

圖2 厚透鏡的6個(gè)基點(diǎn)

對(duì)于多個(gè)鏡片組成的大多數(shù)鏡頭，都可以用厚透鏡模型很好地近似，用薄透鏡光束追蹤的原理追蹤厚透鏡的幾何光束，但是具有比薄透鏡更多的參數(shù)，薄透鏡只有1個(gè)參數(shù)焦距，但厚透鏡有6個(gè)參數(shù)。在有些情況下，有些參數(shù)可能是冗余的。如透鏡在均勻介質(zhì)空氣中，前后焦距相同，節(jié)點(diǎn)與主點(diǎn)重合，目前使用的傳統(tǒng)相機(jī)都是這種情況，但是對(duì)于油浸式顯微鏡物鏡，情況就不同了。對(duì)于在空氣中的厚透鏡有3個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即1個(gè)焦距和2個(gè)焦點(diǎn)。根據(jù)這個(gè)特性，鏡頭的2節(jié)點(diǎn)和主點(diǎn)很容易確定。在厚透鏡的光線追跡過程中，一般任意光線的追跡是比較復(fù)雜的。

（1）平行于光軸通過主平面的光線，將不改變方向穿過該主平面，到達(dá)另一個(gè)主平面，然后折射通過該主平面的焦點(diǎn)。

（2）所有射入節(jié)點(diǎn)的光線將從另一節(jié)點(diǎn)按原方向射出。

（3）從物體上一點(diǎn)發(fā)出的光線，不論從哪個(gè)方向射向透鏡，最終都折射通過像方一點(diǎn)（像點(diǎn)）［1，7］。

根據(jù)前面3條規(guī)則，鏡頭光線追跡如圖3所示。雖然在有些情況下使鏡頭的光學(xué)性能分析變得簡(jiǎn)單明了，但是也給人帶來錯(cuò)覺，感覺鏡頭的透視中心落在鏡頭的節(jié)點(diǎn)上，而產(chǎn)生這種錯(cuò)覺的原因是沒有考慮鏡頭光闌對(duì)成像規(guī)律的影響。

圖3 光學(xué)通過節(jié)點(diǎn)時(shí)的傳播規(guī)律

2 孔徑光闌對(duì)成像規(guī)律的影響

在圖1中，虛線表示的光束是能夠通過鏡頭的最大光束，但是如果在光路上插入孔徑光闌，則通過透鏡的光束大小與位置就要受到光闌的孔徑限制。對(duì)于物體上正好處于物方焦平面上的那些點(diǎn)，像正好落在傳感器像平面上，光束的大小與位置對(duì)成像點(diǎn)的位置影響并不大，只是影響光點(diǎn)的亮度。但是對(duì)于那些離焦不能正好成像在傳感器像平面的物點(diǎn)，光束的大小和位置將是非常重要的因素，它會(huì)在傳感器像平面上產(chǎn)生圖像模糊現(xiàn)象。當(dāng)光闌孔徑越大時(shí)，模糊現(xiàn)象越嚴(yán)重。當(dāng)有些光線被光闌阻擋掉時(shí)，模糊會(huì)減小。如果被阻擋后剩余的光線足夠小，離焦的光點(diǎn)可能變得非常銳利，但是點(diǎn)的位置可能隨著被阻擋的光線不同而變化。

2.1 小孔光闌在薄透鏡平面上變化的成像規(guī)律

首先討論小孔光闌在理想薄透鏡平面上的位置變化對(duì)成像規(guī)律的影響，如圖4所示，圖中白色圓圈表示小孔光闌的位置和大小，只有通過光闌孔徑的光線才能在圖像傳感器像平面上成像。左邊箭頭物體在右邊像面上像的位置由主光線與像面的交點(diǎn)確定，主光線是從物體上一點(diǎn)發(fā)出通過光闌中心點(diǎn)的光線，物點(diǎn)和像點(diǎn)對(duì)光闌孔徑的張角決定了像點(diǎn)彌散斑的形狀。由于圖4中的光闌是小孔光闌，離焦箭頭在像面上只產(chǎn)生輕微的模糊影像，圖中用灰色像表示。

由圖4a～圖4c可以看出，當(dāng)光闌在透鏡平面上移動(dòng)時(shí)，物方焦平面上的箭頭在像面上的位置不動(dòng)，離焦的箭頭在像面上的像隨著光闌的位置變化發(fā)生上、下移動(dòng)，但是在任何情況下，像面上的像與孔徑光闌的位置相對(duì)應(yīng)，同時(shí)也產(chǎn)生圖像的畸變像差。

圖4 小孔徑光闌的位置對(duì)成像的影響

2.2 軸向?qū)ΨQ孔徑光闌移動(dòng)時(shí)的成像規(guī)律

大多數(shù)相機(jī)鏡頭的孔徑光闌都是軸向?qū)ΨQ的，光闌的位置變化通常沿著光軸方向，尤其是變焦鏡頭，當(dāng)倍率改變時(shí)，光闌在軸上的位置也發(fā)生改變。光闌在軸向的位置變化不僅產(chǎn)生成像點(diǎn)位置的移動(dòng)，也產(chǎn)生鏡頭畸變像差，且這是鏡頭產(chǎn)生畸變的一個(gè)常見原因，光闌的位置決定了畸變的大小與正負(fù)（如桶形、枕形）。

由圖4d可見，對(duì)于對(duì)稱的小孔光闌向物方移動(dòng)，離焦箭頭的像變小，這證明了離焦的像與光闌的位置有關(guān)，因?yàn)楣怅@中心到鏡頭物方焦面上箭頭的距離比離焦箭頭相對(duì)更小。為了進(jìn)一步說明問題，采用圖5所示的有限孔徑光闌來進(jìn)行分析。在圖5中，當(dāng)孔徑光闌落在鏡頭上時(shí)，主光線通過透鏡后不改變方向，成像規(guī)律與圖4b相似。當(dāng)孔徑光闌放在鏡頭的前方或后方時(shí)，主光線發(fā)生折射，孔徑光闌中心沿著主光線到像和物點(diǎn)的距離比例決定了像的放大倍數(shù)h／y。當(dāng)孔徑光闌在鏡頭前方時(shí)，放大倍數(shù)減??；在鏡頭后方時(shí)，放大倍數(shù)增大。當(dāng)物像的放大倍數(shù)是離軸距離y的函數(shù)時(shí)，空間直線在像面上的像將發(fā)生畸變。圖5a所示為孔徑光闌配置，系統(tǒng)的放大倍數(shù)h／y朝著像面拐角方向越來越小，產(chǎn)生桶形畸變；而圖5b所示為光學(xué)配置，系統(tǒng)的放大倍數(shù)h／y朝著像面拐角方向越來越大，產(chǎn)生枕形畸變。

圖5 孔徑光闌的位置對(duì)成像的影響

光闌孔徑的大小對(duì)畸變沒有影響，因?yàn)橹鞴饩€傳播的路徑并不隨著孔徑大小的改變而改變，但可以改善像差。在圖5中，如果沒有孔徑光闌，成像系統(tǒng)將產(chǎn)生球差、慧差和像散等像差，這主要是物體上各點(diǎn)像的彌散斑綜合效應(yīng)產(chǎn)生的。對(duì)于復(fù)雜鏡頭（如retrofocus廣角鏡頭）主要呈現(xiàn)桶形畸變，這是因?yàn)殓R頭前面鏡片組相對(duì)于后部正鏡組形成孔徑光闌。攝遠(yuǎn)鏡頭后鏡組是一組負(fù)鏡組，會(huì)產(chǎn)生枕形畸變。在變焦鏡頭里畸變很難修正，因?yàn)殓R頭的畸變隨著倍率的變化發(fā)生較大變化，在廣角時(shí)呈現(xiàn)桶形畸變，隨著倍率調(diào)整到攝遠(yuǎn)狀態(tài)時(shí)，畸變變成了枕形畸變。對(duì)稱鏡頭畸變最小，接近orthoscopic狀態(tài)。通過改變光闌的孔徑大小不能改變畸變的大小，但是可以控制其他像差。同其他光學(xué)像差一樣，畸變大小與物體的距離有關(guān)，相同的鏡頭在遠(yuǎn)焦與近影時(shí)畸變是不同的。

3 鏡頭入瞳與透視中心的關(guān)系

鏡頭成像的大小、位置對(duì)畸變的影響與孔徑光闌的位置有關(guān)，這表明鏡頭的透視中心與孔徑光闌的位置有關(guān)。如圖6所示，如果孔徑光闌放置在鏡頭的后方，從物方透過透鏡看孔徑光闌的像，光闌的像的大小與位置會(huì)發(fā)生變化，這個(gè)孔徑光闌在物方成的像稱為透鏡的入瞳。

圖6 孔徑光闌與入瞳

圖6中，“A”表示由于透鏡折射通過孔徑光闌的極限光束；“B”表示孔徑光闌從物方看去所成的像；“C”表示被光圈阻擋的光束；入瞳是指透鏡不存在情況下，極限光束對(duì)應(yīng)的孔徑光闌尺寸。

如果孔徑光闌位于透鏡的物方，從像方觀看光闌的像，該像的位置與大小稱為透鏡的出瞳。根據(jù)入瞳和出瞳的定義，圖6中的出瞳就是孔徑光闌。對(duì)于一個(gè)實(shí)際鏡頭，入瞳和出瞳的位置同鏡頭的前節(jié)點(diǎn)位置并沒有特殊的關(guān)系，直接射入前節(jié)點(diǎn)的光線并不一定能通過鏡頭，但直接射入入瞳的光線，將折射后通過孔徑光闌，然后通過出瞳，在像面上成像，前節(jié)點(diǎn)同入瞳（透視中心）之間在位置上有時(shí)差別非常大。圖7所示是一個(gè)鏡頭的光線追跡圖［6］，從圖中可以看出物理孔徑光闌、入瞳及出瞳，前后主點(diǎn)位置之間的差別。從物方上面邊緣的點(diǎn)直接射入到前節(jié)點(diǎn)的光線，沒有通過入瞳，在通過鏡頭的過程中必將被孔徑光闌阻擋，只有通過入瞳的光線才能穿透整個(gè)鏡頭，在像面上成像。

圖7中，“A′”表示直接射向前節(jié)點(diǎn)的光束；“B′”表示直接射向入瞳的光扇；“C′”表示直接射向節(jié)點(diǎn)沒有通過入瞳的光束不能穿透整個(gè)鏡頭；“D′”表示物理孔徑光闌。

根據(jù)分析可知，鏡頭的透視中心確實(shí)在鏡頭的入瞳處，而不是在節(jié)點(diǎn)位置，即入瞳與光軸的焦點(diǎn)就是鏡頭的透視中心。厚透鏡的透視模型及各基點(diǎn)之間的關(guān)系，如圖8所示。

圖7 鏡頭基點(diǎn)之間的關(guān)系

圖8 透視中心與光學(xué)基點(diǎn)的關(guān)系

4 厚透鏡視覺建模方法

對(duì)于大多數(shù)機(jī)器視覺鏡頭，都可以用一個(gè)厚透鏡精確等效，如圖9所示［9］。

圖9 相機(jī)鏡頭的厚透鏡視覺透視投影模型

來自物體上Q點(diǎn)的主光線以入射角τ射入入瞳（ENP）中心，并以出射角τ′射出，與像平面相交形成Q點(diǎn)的像，但是入射角τ同出射角τ′并不相等。根據(jù)分析可知，入瞳中心是該鏡頭的透視中心，為了建立該厚透鏡的視覺模型，從數(shù)學(xué)的角度上必須將像平面移動(dòng)到一個(gè)新的位置，以得到一個(gè)虛擬的數(shù)學(xué)像平面（MIP），使Q點(diǎn)的像為Q點(diǎn)主光線的延長(zhǎng)線與該MIP的交點(diǎn)，并且保持該像點(diǎn)位置與實(shí)際像平面的像點(diǎn)位置一致，MIP到入瞳平面的距離就是小孔視覺模型中等效焦距f，即

在變焦視覺測(cè)量中，尤其在PTZ測(cè)量系統(tǒng)中，上述模型非常有用，因?yàn)榘宴R頭的入瞳中心調(diào)整到PTZ轉(zhuǎn)臺(tái)垂直軸與水平軸的交點(diǎn)（回轉(zhuǎn)中心）位置，會(huì)使PTZ系統(tǒng)的視覺模型大為簡(jiǎn)化，使物體的極角計(jì)算獨(dú)立于物距。如果透視中心與該回轉(zhuǎn)中心不重合，物體上的點(diǎn)到回轉(zhuǎn)中心的距離必須根據(jù)視覺模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，因?yàn)橄鄼C(jī)小孔視覺模型的坐標(biāo)原點(diǎn)通常建立在透視中心位置，圖10所示說明了2種之間的差異，其二維情況下的修正關(guān)系為：

圖10 回轉(zhuǎn)中心與入瞳中心不重合帶來的計(jì)算誤差

5 透視中心位置實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

如圖11所示，為了驗(yàn)證透視中心與鏡頭出瞳之間的關(guān)系，由相機(jī)、鏡頭、外加光闌和細(xì)線繃緊裝置組成實(shí)驗(yàn)裝置，鏡頭為Fujian GDS－35，F(xiàn)1.7 Lens，焦距為35mm，孔徑為1.7mm。實(shí)驗(yàn)按照2種方式進(jìn)行。

（1）光路中插入附加光闌和沒有插入附加光闌2種情況下像的變化。在鏡頭前方放置2根相互平行、非常細(xì)的白色縫紉線A和B，2根線在光軸方向上前后放置，但盡可能離開光軸。在沒有附加光闌的情況下，調(diào)整2根線的位置，使在計(jì)算機(jī)屏幕上看到2個(gè)稍微分開的像，然后調(diào)整鏡頭的焦距和鏡頭的光闌，使對(duì)焦面落在2根線的中間，2根線的像都比較清晰，且光闌的孔徑盡可能敞開。再轉(zhuǎn)動(dòng)細(xì)線繃緊裝置，輕微調(diào)整2根線的位置，使2根線以鏡頭本身的入瞳為透視中心，前后排列在一條透視投影線上，2根線的視場(chǎng)角相同，這樣2根線在屏幕上的透視投影重疊，如圖12a所示。在鏡頭的前方50mm左右插入附件孔徑光闌，孔徑大小約1mm，這時(shí)2根線的像分開，如圖12b所示。該實(shí)驗(yàn)表明插入附加光闌后，成像系統(tǒng)的孔徑光闌發(fā)生變化，透鏡的入瞳變動(dòng)到附加光闌的位置，透視中心發(fā)生了變化，變到新的入瞳處，導(dǎo)致2根線對(duì)入瞳的視場(chǎng)角大小不一樣，因此A和B像相互分開。另外，從A和B像分開后的位置也可以看出，透視中心已經(jīng)移到了鏡頭的前方。

（2）光路中插入附加光闌，且使光闌在垂直于光軸的平面內(nèi)移動(dòng)，觀看像的變化，主要驗(yàn)證圖4的成像效果。在鏡頭前方50mm左右處放置光闌，并把2根白色縫紉線A和B放置在附加光闌前方，按照前述的調(diào)整方式，使前后放置的線A和B在屏幕上的像重合。

然后在光軸垂直的平面內(nèi)分別向左和向右移動(dòng)附加光闌，這樣可以看到2個(gè)重合的細(xì)線像，現(xiàn)在相互分開了，并且當(dāng)光闌移到左邊時(shí)，像A移動(dòng)到左邊，像B移動(dòng)到右邊。相反，當(dāng)光闌移到右邊時(shí)，像A也移動(dòng)到右邊，像B則移動(dòng)到左邊，如圖13所示。

圖11 實(shí)驗(yàn)裝置與鏡頭

圖12 孔徑光闌位置變化對(duì)透視中心的影響

圖13 光闌在垂直于光軸的方向上左右移動(dòng)后的細(xì)線左右分開的圖像

6 結(jié)束語

本文分析與研究了相機(jī)鏡頭孔徑光闌與透視中心之間的關(guān)系，通過鏡頭的光線追跡和實(shí)驗(yàn)分析得到了鏡頭的透視中心在鏡頭的入瞳位置，這個(gè)結(jié)論在視覺變焦精密測(cè)量與跟蹤定位及全景成像領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。因?yàn)樵谕ǔ５墓潭ń咕嘁曈X建模中，人們很少關(guān)注小孔視覺模型透視中心的真正物理位置，但在類似于PZT變焦視覺測(cè)量與跟蹤系統(tǒng)及全景成像系統(tǒng)中，準(zhǔn)確地把相機(jī)的回轉(zhuǎn)中心調(diào)整到鏡頭的透視中心非常重要，這對(duì)提高模型的精度與減小后續(xù)圖像處理的難度具有決定性的作用。通過本文分析，可知孔徑光闌的位置不僅決定了鏡頭透視中心的位置，也是產(chǎn)生圖像畸變的一個(gè)重要因素，但孔徑光闌大小的變化對(duì)透視中心的位置沒有影響，只能改變像點(diǎn)的光照度與模糊度。

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