基于Box－Cox變換的城市火災(zāi)起數(shù)的模型研究

譚常春， 張 誠， 周嘉章

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.安徽省氣象局 培訓(xùn)中心，安徽 合肥 230031）

火災(zāi)預(yù)測是火災(zāi)系統(tǒng)領(lǐng)域中一個關(guān)鍵的研究課題［1］，而社會經(jīng)濟、技術(shù)、政治等因素都是影響城市火災(zāi)發(fā)生的重要外界因素，其中關(guān)于經(jīng)濟因素與火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的關(guān)系研究比較多。

文獻［2］研究得出經(jīng)濟水平的落后會導(dǎo)致火災(zāi)次數(shù)上升的結(jié)論；文獻［3］認(rèn)為收入與火災(zāi)起數(shù)之間有強烈的負(fù)向關(guān)系；文獻［4］認(rèn)為隨著經(jīng)濟的發(fā)展，火災(zāi)形勢是先嚴(yán)重后趨于緩和。

目前主要把火災(zāi)當(dāng)作一門自然科學(xué)研究，偏重對客觀環(huán)境、微觀方面的研究［5］。氣象因素對火災(zāi)發(fā)生、防治和損失控制方面有重要的影響［6］。文獻［7］建立了氣象因素與日本林火發(fā)生的廣義線性預(yù)測模型［7］；文獻［8］從 Logistic和零膨脹Poisson（ZIP）回歸模型方向，研究森林火災(zāi)與氣象因素的關(guān)系。

統(tǒng)計分析，最常用的一般線性模型假定為：

其中，Y 為n×1的列向量；X＝（xij）n×p為n×p的設(shè)計矩陣；β為p×1的未知參數(shù)向量；ε為隨機誤差。當(dāng)ε服從正態(tài)分布時候，模型是最優(yōu)的，但在實際應(yīng)用中，常會遇到因變量分布不滿足正態(tài)分布的情況，不能直接應(yīng)用一般線性模型進行數(shù)據(jù)分析［9］。Box－Cox變換就是一種常用的非線性變換，通過確定一個最優(yōu)的λ，將非正態(tài)數(shù)據(jù)變換成近似正態(tài)的數(shù)據(jù)［10］，使變換后的數(shù)據(jù)比原有數(shù)據(jù)具有更好的線性性，再對變換后的數(shù)據(jù)進行回歸分析［11］。

文獻［6］直接對某市11a間的月度火災(zāi)發(fā)生起數(shù)與各氣象因子建立線性回歸模型，其擬合優(yōu)度并不高。文獻［12］通過對原始?xì)庀?、火?zāi)數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換后建模，擬合優(yōu)度雖然有所提高，但是并不特別理想。

本文應(yīng)用Box－Cox非線性變換方法，先對原始數(shù)據(jù)進行適當(dāng)Box－Cox變換，基于變換后的數(shù)據(jù)建立了回歸模型，進行統(tǒng)計分析比較，并用于預(yù)測火災(zāi)發(fā)生趨勢和起數(shù)。

1 方 法

1.1 Box－Cox變換

Box－Cox變換［10，13］是對變量y（y＞0）進行變換，即

其中，y為原始數(shù)據(jù)。對于不同的λ，所作的變換也不同，常用變換有對數(shù)變換（λ＝0）、平方根變換（λ＝1／2）及倒數(shù)變換（λ＝－1）等。

當(dāng)誤差分布呈現(xiàn)正偏態(tài)時，常對因變量進行對數(shù)變換；當(dāng)誤差分布呈現(xiàn)負(fù)偏態(tài)分布時，常采用平方根變換。為避免變量y≤0時無法進行變換的情形，可應(yīng)用擴展的Box－Cox變換，即

此時的a是為了使y＋a＞0。

1.2 參數(shù)λ的估計方法

無論是基本式還是擴展式，真正需要估計的只有一個參數(shù)λ，為了確定一個最優(yōu)的λ，將非正態(tài)的數(shù)據(jù)變換為近似正態(tài)的數(shù)據(jù)。

本文利用文獻［13］提出的最大似然估計方法確定參數(shù)λ值，在規(guī)定范圍內(nèi)給出一系列的λ值。對固定的λ，令

為了求ln Lmax（λ）的最大值，只需求殘差平方和RSS（λ，Z（λ））的最小值。雖然很難找出RSS（λ，Z（λ））最小值點λ的顯式解析式，但對一系列給定的λ值，通過線性回歸模型的最小二乘估計，很容易計算出相應(yīng)的 RSS（λ，Z（λ））值。畫出 RSS（λ，Z（λ））關(guān)于λ的曲線，從圖上可以近似地找出使RSS（λ，Z（λ））達到最小值的＾λ。

1.3 Box－Cox變換步驟

（2）計算殘差平方和 RSS（λ，Z（λ））。

（3）對一系列λ的值，以λ為橫軸，RSS（λ，Z（λ））為縱軸，作出相應(yīng)的曲線，用直觀的方法，找出使 RSS（λ，Z（λ））達到最小值的點

1.4 數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文僅對1997年及其以后的數(shù)據(jù)進行處理，其中1997—2003年某市火災(zāi)起數(shù)來自文獻［14］，2004—2006年某市火災(zāi)起數(shù)來自文獻［15］，按照當(dāng)時的統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)，火災(zāi)起數(shù)即為消防隊出火警次數(shù)。2007年統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)改變，僅將造成損失的火警數(shù)統(tǒng)計為火災(zāi)數(shù)據(jù)，為保持?jǐn)?shù)據(jù)統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)性，本文選擇某市消防局記錄的月出火警次數(shù)作為2007年的火災(zāi)起數(shù)［14－15］。

首先對某市月火災(zāi)起數(shù)與各氣象因子的原始數(shù)據(jù)進行Box－Cox變換，使變換后的數(shù)據(jù)具有更好的線性性，然后再進行相關(guān)分析和回歸分析，其原始數(shù)據(jù)見表1所列。

表1 月火災(zāi)起數(shù)與各氣象因子的原始數(shù)據(jù)

原始數(shù)據(jù)的火災(zāi)起數(shù)、風(fēng)速、降雨量、溫度、濕度依次記為freq、wind、rain、tempt、humi，原始數(shù)據(jù)攝氏溫度常為負(fù)數(shù)，降雨量有部分值為0。選取Box－Cox變換的擴展公式，溫度a1＝273，降雨量a2＝1。對火災(zāi)起數(shù)、風(fēng)速、降雨量Box－Cox變換過程中λ值的選取，是根據(jù)最大似然估計方法確定的，火災(zāi)起數(shù)、風(fēng)速、降雨量的λ值依次為－0.6334、0.286、0.1025。Box－Cox變換后的火災(zāi)起數(shù)、風(fēng)速、降雨量依次記為bcfreq、bcwind、bcrain。但對溫度和濕度，若繼續(xù)采用最大似然估計方法選取λ，則發(fā)現(xiàn)Box－Cox變換后，溫度數(shù)據(jù)非常大，濕度數(shù)據(jù)也偏大，故需要重新確定λ。為了使變換后的數(shù)據(jù)與其他氣象因子變換后的數(shù)據(jù)在數(shù)值大小上相接近，多次選取λ對數(shù)據(jù)進行變換，最終確定溫度和濕度的λ值為－0.5。記Box－Cox變換后的溫度和濕度為bctemp、bchumi，各數(shù)據(jù)值計算如下：

此時變換后的溫度和濕度因子數(shù)據(jù)與其他氣象因子數(shù)據(jù)大小相接近，見表2所列。

表2 Box－Cox變換后的火災(zāi)起數(shù)與各氣象因子數(shù)據(jù)

2 回歸模型建立

2.1 散點圖分析

為了尋找火災(zāi)起數(shù)bcfreq與各要素之間的相關(guān)關(guān)系，研究火災(zāi)起數(shù)與各氣象因子間是否存在線性趨勢，通過繪制散點圖來進行觀察，如圖1～圖4所示。

從圖1中的散點看出，bcfreq與bchumi具有明顯的負(fù)相關(guān)關(guān)系?？諝庵兴趾枯^大時，火災(zāi)發(fā)生的次數(shù)相對較少。

從圖2中的散點看出，bcfreq與bctemp成負(fù)相關(guān)，隨著bctemp的增大，bcfreq反而減小，即隨著溫度升高，火災(zāi)發(fā)生起數(shù)下降。

從圖3中的散點看出，bctemp與bcrain成負(fù)相關(guān)，隨著降雨量的增大，火災(zāi)發(fā)生起數(shù)逐漸減少。

從圖4中的散點看出，bcfreq與bcwind成一定的正相關(guān)，但相關(guān)性不大，即降雨量的變化對火災(zāi)發(fā)生起數(shù)的影響不大。

圖1 bcfreq與bchumi的散點圖

圖2 bcfreq與bctemp的散點圖

圖3 bctemp與bcrain的散點圖

圖4 bcfreq與bcwind的散點圖

2.2 相關(guān)分析

從散點圖大體了解氣象各要素與bcfreq之間的相關(guān)程度，但需要知道各要素與bcfreq具體的相關(guān)性大小，因此需要計算bcfreq與各要素間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見表3所列。

表3 線性相關(guān)系數(shù)

從表3可以看出，對月火災(zāi)發(fā)生起數(shù)的影響大小依次是bcfreq1、bcrain、bctemp、bcfreq2、bchumi、bcwind。

bcfreq1是最主要的影響因素，表明火災(zāi)上月發(fā)生起數(shù)對火災(zāi)發(fā)生起數(shù)影響最大，如果某月的火災(zāi)發(fā)生起數(shù)偏高，必然會引起相關(guān)部門的重視，從而采取相應(yīng)措施。bcrain、bctemp、bcfreq2是次于bcfreq1的影響因素，bchumi對月火災(zāi)發(fā)生起數(shù)也有一定的影響，而bcwind與火災(zāi)發(fā)生起數(shù)的相關(guān)性不強，說明bcwind對火災(zāi)發(fā)生起數(shù)的直接影響不大，兩者之間的相關(guān)性不強。bcrain、bctemp、bchumi均與bcfreq負(fù)相關(guān)，說明隨著bcrain、bctemp、bchumi增大，bcfreq下降，即火災(zāi)發(fā)生起數(shù)下降；反之，bcrain、bctemp、bchumi越低，越容易發(fā)生火災(zāi)。

隨著降雨量和空氣濕度的增加，火災(zāi)發(fā)生起數(shù)會有所降低，這符合常識，但隨著溫度變高，月火災(zāi)發(fā)生起數(shù)不但沒有增加反而減少，這似乎與常識不大符合，但注意到溫度高的時節(jié)一般都伴隨著強降雨，使空氣濕度增加，反而降低了火災(zāi)發(fā)生的可能性。

2.3 回歸模型建立

從各要素與火災(zāi)發(fā)生起數(shù)的相關(guān)性分析可知，bctemp、bchumi、bcwind、bcrain、bcfreq1對火災(zāi)發(fā)生起數(shù)都有一定的影響，以bcfreq為因變量，以bctemp、bchumi、bcwind、bcrain、bcfreq1為自變量，選擇逐步回歸法得到如下回歸模型：

經(jīng)Box－Cox變換后得到的回歸分析模型（1）式的擬合度R2為0.730，比文獻［6］未做變換時的擬合度0.543和文獻［12］做對數(shù)變換的擬合度0.7053有較大的提高。

但發(fā)現(xiàn)建立逐步回歸模型（1）式時，系統(tǒng)自動將bchumi、bcwind剔除，而從上述分析可知bchumi、bcwind對火災(zāi)起數(shù)有一定的影響，故將bchumi、bcwind強制加入模型中。

文獻［12］未考慮到上月火災(zāi)起數(shù)對火災(zāi)起數(shù)的影響，通過火災(zāi)發(fā)生次數(shù)與氣象因子的相關(guān)性分析，火災(zāi)發(fā)生起數(shù)與上月火災(zāi)發(fā)生起數(shù)也有較大的相關(guān)性，因此也嘗試著將上月火災(zāi)發(fā)生起數(shù)放入到因變量中，進行回歸分析。

建立以bcfreq為因變量，以bctemp、bchumi、bcwind、bcrain、bcfreq1、bcfreq2為自變量的強制回歸模型如下：

本文發(fā)現(xiàn)，將bchumi、bcwind、bcfreq2強制加入模型中，模型的擬合度R2有一定提高，達到0.741，但可以看出Box－Cox變換后濕度的t檢驗P－value為0.361＞0.05，未通過回歸系數(shù)檢驗，因此嘗試將bchumi剔除模型后，進行強制回歸分析，再觀察回歸結(jié)果。

建立以bcfreq為因變量，以bctemp、bcrain、bcwind、bcfreq1、bcfreq2為自變量的強制回歸模型如下：

剔除bchumi后發(fā)現(xiàn)，模型的擬合度基本保持不變，但降雨量的回歸系數(shù)也沒有通過t檢驗，其P－value為0.064，但在0.1的顯著性水平下，模型就全部通過了系數(shù)檢驗，因而確定模型3為最終預(yù)測模型。

3 模型評估

3.1 模型擬合圖

采用最終選定的預(yù)測模型，對原始數(shù)據(jù)作擬合圖，如圖5所示，其中選定每年1月數(shù)據(jù)。

圖5 預(yù)測模型擬合圖

從圖5可以看出，預(yù)測模型對原始數(shù)據(jù)的擬合效果較好，同時計算得到預(yù)測模型的相對均方誤差為0.0537，說明預(yù)測模型比較理想。

3.2 交叉驗證

交叉驗證方法中常用的有K次交叉驗證（K－flod Cross Validation），基本方法是將原始數(shù)據(jù)分成K組（一般是均分），將每個子集數(shù)據(jù)分別做一次驗證集，其余的K－1組子集數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，交叉驗證K次，每組數(shù)據(jù)都被驗證一次，然后計算預(yù)測均方誤差，比較各個模型的預(yù)測均方誤差，選擇預(yù)測均方誤差最小的擬合模型為選擇模型。本文中K取13，得到預(yù)測模型交叉驗證的均方誤差為2.86×10－5，均方誤差相對較小，預(yù)測模型比較理想。

3.3 模型預(yù)測與比較

采用2008年前7個月的火災(zāi)數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)檢驗集，將數(shù)據(jù)代入選定的預(yù)測模型中，得到月火災(zāi)起數(shù)的預(yù)測值，見表4所列，同時可以得到2008年前7個月火災(zāi)起數(shù)的預(yù)測值和實際值的對比，如圖6所示。從圖6可以看出，預(yù)測模型較準(zhǔn)確地預(yù)測了2008年前7個月的火災(zāi)發(fā)生趨勢，這7個月的火災(zāi)發(fā)生起數(shù)整體呈下降趨勢，與實際值基本相符合，其中3月和5月預(yù)測值比實際值高，這可能是因為火災(zāi)起數(shù)的預(yù)測是一項較復(fù)雜的系統(tǒng)，受多重因素影響，而氣象并非是影響火災(zāi)發(fā)生的唯一原因，僅采用氣象因素預(yù)測火災(zāi)發(fā)生起數(shù)有一定的局限性。

表4 2008年1—7月火災(zāi)起數(shù)對比

圖6 2008年1—7月火災(zāi)發(fā)生起數(shù)對比

4 結(jié)束語

本文首先對火災(zāi)氣象數(shù)據(jù)進行Box－Cox變換，然后對變換后的火災(zāi)氣象數(shù)據(jù)進行回歸分析，構(gòu)造了3種基于Box－Cox變換后火災(zāi)起數(shù)與氣象因子之間的回歸模型，并通過分析比較，選定最終模型為預(yù)測模型，且所選定的回歸預(yù)測模型能較好地反應(yīng)和預(yù)測火災(zāi)發(fā)生的趨勢和起數(shù)。結(jié)果表明，火災(zāi)氣象因子中平均溫度、平均相對濕度以及平均降雨量對火災(zāi)起數(shù)影響顯著，而風(fēng)速對火災(zāi)起數(shù)的影響不大。Box－Cox變換是將非線性的數(shù)據(jù)變換成線性數(shù)據(jù)的有效方法，Box－Cox變換后所建立的回歸方程能更好地預(yù)測火災(zāi)發(fā)生次數(shù)，從而達到對城市火災(zāi)控制的目的。

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