液壓管路中兩種分析方法的數學建模與比較①

單長吉

(昭通學院物理與電子信息工程學院，云南 昭通 657000)

0 引言

為進一步分析流體壓力和流量的變化及外界的干擾對管路振動的影響，需要對管路系統(tǒng)的動特性進行適當分析，以確定不同管路的振動頻率和及其特性，以便探明降低管路振動噪聲的途徑.

1 管路的動態(tài)特性方程

一般求解管路動態(tài)特性的方法常有:能量法、波動法和頻率法等.能量法不考慮系統(tǒng)的壓縮性，因而不能考慮波動現(xiàn)象，其使用范圍有限.波動法考慮流體的壓縮性，但通常不考慮流動的粘性阻力和系統(tǒng)的彈性耗損，因此得不到波動的衰減過程，故此方法適用于求液壓沖擊.而頻率法既考慮流體的壓縮性，又考慮流體的粘性，因此廣泛用于計算管路系統(tǒng)的動態(tài)特性.本文主要針對集中參數法和分布參數處理法兩種分析方法求解管路的動態(tài)特性.

1.1 集中參數法數學建模

集中參數法:當管路較短，變量的脈動頻率較低，管路內的液體可視為一個集中的質量，管路內的摩阻及液體的壓縮性、管道的彈性變形可集中在一處，作為集中參數處理.而當管路較長，變量的脈動頻率較高，其液體的質量，管路的摩阻及液體的壓縮性通常認為是沿程分布時，若按集中參數法處理就顯得過分粗略，而且計算誤差太大，則應作為分布參數法處理[1].

(1)流體的連續(xù)性方程

如圖1所示.根據流體的連續(xù)性方程，流入斷面1－1和流出斷面2－2的液體流量之差，應等于管路內液體的壓縮和管路膨脹體積之和，即

式中:V為管路的體積;A為管路的面積;Ke為表觀體積彈性模量;L為管路的長度;K為液體的體積彈性模量;d為管徑;δ為管壁厚度;E為管路的彈性模數

圖1 集中參數液壓管路

式中:ρ為液體密度;Rf為層流的管路摩擦阻力.Rf=RvρLQ2

(2)管路內液柱的運動微分方程

υ為油液的運動粘度，(Pa·s)

對(1)和(2)兩式進行拉氏變換得

(3)至(6)式即為按集中參數法求解的管路動態(tài)特性的基本方程，它表示了管路進、出口壓力和流量之間的相互關系[2].

其傳遞函數為:

式中:ωn管路無阻尼液壓固有頻率;

Rf為層流的管路摩擦阻力;Kh為液壓彈簧剛度;M為管中的液體質量;c為壓力波傳播速度;ζ為管路的阻尼比

圖2 分布參數液壓管路

1.2 分布參數法數學建模

如圖2所示，入口壓力和流量分別為P1，Q1，出口的壓力和流量分別為P2和Q2，距斷面1—1為x處的壓力和流量為P和Q.現(xiàn)列寫長度為的單元液體的微分方程為[3～4]:

(1)運動微分方程

x=0時:P(s)=P1(s)，Q(s)=Q1(s);

x=L時:P(s)=P2(s)，Q(s)=Q2(s)求得待定系數 K1，K2，并代入(12)，(13)式得

代入求得二階偏微分方程為

(14)和(15)兩式為按分布參數求解的管路動態(tài)特性基本方程，亦稱管路輸出基本方程.它表示了輸入端參數 P1(s)，Q1(s)和輸出端參數 P2(s)，Q2(s)之間的線性變換關系.

將(14)(15)和(16)寫稱矩陣形式為

2 兩種方法的比較與分析

從(7)式可以看出集中參數法的特點:對閉端管路按集中參數處理時，可以將其等效為單自由度二階系統(tǒng).二階系統(tǒng)的無阻尼自振頻率ωn與液壓彈性剛度Kn和液體質量M有關.ωn與壓力波(聲波)的傳播速度成正比，與管長成反比，管長愈短，則自振頻率愈高.

從(17)式可以看出分布參數法的特點:對于液壓管路按分布參數法處理時，可以將其等效為傳輸矩陣與初端—終端之間的壓力和流量的數學關系.且與管路的長度和管徑的大小有著密切的關系[5].

分布參數法對于任何長度，任何壓縮比的流體都是適用的.如果在可以忽略一定因素的情況下，用集中參數法來替代分布參數法也是可行的.將式(5)，(6)與式(16)聯(lián)立，采用近似方法，可得:

式(18)將分布參數法和集中參數法的參數之間聯(lián)系在一起，可以得到體積彈性模量與管路長度的表達式.對于一個液壓管路，影響的因素很多:油液的運動粘度，體積彈性模量，油液的密度，管路的長度，油中音速等.由于這些參數之間存在著復雜的數學關系，所以定量(例如管長的具體數值，管徑的面積具體數值)來限定集中參數法的應用范圍是不可行的.但可以采用K和L兩個參數指標來考量是否可以采用集中參數法來對管路進行分析.當時，采用集中參數法來分析;反之，采用分布參數法分析.

3 小結

本文將液壓管路中兩種分析方法進行了數學建模，得到其傳遞函數的表達式;并對兩種方法的特點作了充分分析，特別是集中參數法的應用范圍，作了討論.為進一步研究流體管路，作了理論分析，奠定了一定的數學基礎.

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