基于邊緣值、方差以及脈沖性的偏微分方程圖像去噪算法

侯傳勇

（中北大學信息與通信工程學院，太原 030051）

1 引言

自20世紀80年代以來，計算機技術得到迅猛發(fā)展，性價比越來越高，從而為數字圖像處理和計算機視覺的迅速發(fā)展奠定的物質基礎，其應用也日趨擴展。圖像去噪[1]是數字圖像處理中的一個經典問題。偏微分方程（PDE）因為具有各向異性的特性，并且自適應性強，所以將其應用在圖像去噪過程中時能夠在平滑噪聲的同時更好的保持邊緣紋理等細節(jié)信息。在過去的二十幾年中，偏微分方程算法獲得了巨大的發(fā)展。

從理論上看，利用偏微分方程進行圖像去噪可以追溯到很早以前。1990年，學者Perona和Malik[2]在熱傳導方程的基礎上提出了著名的圖像去噪模型：P-M模型。但是，由于P-M方程在解的存在唯一性上缺乏相應的理論基礎，因此，F.Catt[3]等學者于1992年對P-M模型進行了改進，在數學理論上解決了解的存在唯一性，完善了這個模型。1994年，J.Weickert[4]利用擴散張量為擴散項，提出了基于張量的偏微分方程模型，克服了非線性擴散方程無法去除圖像邊緣處噪聲的缺點。隨后，Osher[5]和他的研究小組提出了基于全變分的圖像消噪模型。此外，偏微分方程去噪模型還實現了由低階向高階[6]等的發(fā)展。

現有的偏微分方程去噪模型因為在擴散的時候沒有考慮圖像本身的具體特征，所以去噪的同時不能特別清晰的保護圖像的具體細節(jié)信息。本文在原有偏微分方程模型的基礎上，結合圖像的邊緣值、方差以及脈沖性等特征，提出了一種改進的基于偏微分方程的圖像降噪算法。該算法利用邊緣值、方差跟脈沖性來確定擴散的程度，進而確定各項異性擴散的強度，從而起到很好的降低圖像噪聲的作用。

2 P-M模型原理

1990年，Perona和Malik提出了各向異性擴散模型（P-M模型），該模型用一個能保持邊緣的具有自適應的各向異性擴散替代高斯平滑。P-M模型根據具體區(qū)域來調節(jié)模型的擴散系數，使擴散主要發(fā)生在圖像的平滑區(qū)域，而在邊緣處則停止擴散。因此隨著擴散過程的進行，平滑區(qū)域的噪聲越來越少而非平滑區(qū)域的噪聲則得到較好的保持。

Perona和Malik提出了能夠保持邊界的各向異性擴散方程：

其中，It(x,y)是t時刻的圖像; div是散度算子；? It(x,y)是梯度算子；ct是依賴于圖像的擴散系數。通過適當的定義擴散函數，Perona-Malik模型既可以去噪，又可以很好的保護圖像的邊緣細節(jié)信息。

設想 It(x,y)是圖像在第t次迭代后坐標(x,y)處的灰度值；I0(x,y)是原始輸入圖像。各向異性擴散模型可以通過使用四個鄰域和拉普拉斯算子離散得到：

t也可以被認為是Perona-Malik各向異性擴散模型梯度(x ,y)的映射。即：

在Perona-Malik各向異性擴散模型中，擴散系數可由以下公式給出：

其中，參數k是一個常數，在擴散系數函數中是一個邊緣強度閾值,通常是一個正整數。

但是單純的用梯度信息來控制擴散強度并不能清晰的反映圖像的細節(jié)信息。因此本文在原有P-M模型的基礎上引入了圖像的邊緣值、方差以及脈沖性等特征。

3 算法改進

邊緣值體現了灰度圖像中突出變化的部分，我們使用sobel算子[7]來計算像素的邊緣值[8]。邊緣值的計算公式如下：

其中，1s為行邊緣算子，2s為列邊緣算子。

圖像的標準偏差[9]描述了圖像在3×3鄰域中的分布，可以用以下公式求得：

其中 iju為為3×3鄰域中灰度均值，d=3表示3×3鄰域。

圖像的脈沖性[10]：

結合圖像的特征和擴散過程中的梯度,擴散系數函數(公式5)可以寫為

將以上三種圖像的描述方法結合到一起即：

其中，k0為一個邊緣強度閾值，通常是一個正整數。

在修改后的擴散系數函數中，邊緣強度閾值k0與梯度和邊緣值、標準偏差以及脈沖性結合，即可得到修改后的擴散模型。在梯度變化大的地方，圖像的灰度值變化大，HO值大，為邊緣區(qū)，需要保留；在梯度變化小的地方，圖像的灰度值變化平緩，HO值小，為非邊緣區(qū)域，可以進行擴散平滑處理。

圖1 Lena圖像原圖

圖2 加噪聲結果

圖3 邊緣值降噪結果

圖4 標準偏差降噪結果

圖5 脈沖降噪結果

圖6 HO模型降噪結果

為了檢測本算法對圖像噪聲的抑制效果，本文以Lena圖像作為原始圖像。圖像加入以u取0，σ2取0.001的噪聲數據模型。然后，對噪聲圖像分別采用偏微分模型和本文算法進行降噪處理。

如圖1- 6所示，分別為原始圖像、加噪聲圖像、基于邊緣值的偏微分模型、基于標準偏差的偏微分模型、基于脈沖性的偏微分模型和基于HO的偏微分模型下的降噪結果。可以看出，每種方法都對噪聲有一定的抑制效果。其中邊緣值跟標準偏差方法可以很好的去除噪聲，但是容易造成過平滑，不能很好的保護圖像的細節(jié)信息；脈沖降噪方法在出去噪聲的同時，容易造成偽影；基于HO的偏微分模型的降噪效果是最佳的，這種算法不僅能夠很好的去除噪聲，并且可以保護圖像的邊緣細節(jié)信息。

除了主觀觀察方法外，為了對該算法的效果進行客觀、定性的評價，本文對重建的結果進行了定量的分析，采用均方誤差和信噪比兩種評價參數進行評價，定義如下：

均方誤差MSE

其中，ijI表示原始圖像的第i行，第j列的像素灰度值；ijs表示去噪后圖像的第i行，第j列的像素灰度值；MSE評價的是去噪圖像跟真實圖像的接近程度。MSE越小代表去噪圖像跟原始圖像越接近，去噪效果越好。

2)信噪比SNR

4 實驗結果與分析

信噪比是用于比較重建圖像與原圖像質量的參數，信噪比數值越大，說明圖像中的噪聲越少。

表1 各種算法的重建圖像質量評價參數

5 討論與結論

本文采用一種改進的基于偏微分方程理論，針對圖像的噪聲問題，利用圖像的3×3鄰域中的邊緣值、標準偏差和脈沖性等可以用來描述圖像一個區(qū)域內的分布變化的特點，在偏微分模型中引入圖像的邊緣之、標準偏差以及脈沖性，并用改進的偏微分模型進行降噪。實驗表明，改進的偏微分模型降噪后的重建圖像效果較好，其中HO模型去噪效果最好，而且可以在有效的抑制圖像的噪聲的同時，保留圖像的細節(jié)與邊緣。但是在降噪過程中，計算程序復雜，程序運行時間較長，如何有效的改進，是進行下一步研究的內容。

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