有限反饋的MIMO系統(tǒng)容量分析

周 雯,王 軍

(汕頭大學電子工程系,廣東 汕頭 515063)

0 引言

多天線(Multiple-Input-Multiple-Output,MIMO)系統(tǒng)在接收機和發(fā)射機都采用了多根天線,可以有效地提高系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸速率,已經(jīng)成為下一代無線通信系統(tǒng)的物理層調(diào)制規(guī)范[1-2].不同環(huán)境下的MIMO系統(tǒng)的容量問題是研究的熱點問題之一[5-6].Telatar[3]和Foschini[4]在作出了收發(fā)天線間是獨立不相關(guān)的衰落的假設(shè)下,首先推導(dǎo)出了多天線系統(tǒng)在高斯信道下的開環(huán)和閉環(huán)容量表達式.在文獻[5]中,Li等人推導(dǎo)了多天線正交頻分復(fù)用多址接入系統(tǒng)容量最大化的充分和必要條件,并且給出了在低信噪比區(qū)域、高信噪比區(qū)域等多種情況下的容量近似表達式.在文獻[6]中,Qin等人研究了極化分集方式對于MIMO系統(tǒng)容量的影響.該研究發(fā)現(xiàn)在接收端和發(fā)送端采用不同的天線極化方式比采用單一的極化方式(即都采用圓極化或者都采用線極化方式),會顯著提高系統(tǒng)的容量.

信道狀態(tài)信息反饋對于發(fā)送端進行預(yù)編碼設(shè)計、閉環(huán)功率控制等具有非常重要的意義.早期的文獻一般假設(shè)發(fā)送端具有理想的信道信息,但是實際中反饋信道通常是有噪或者限速率的.在限速率的反饋信道下,有限反饋技術(shù)和多天線技術(shù)或者正交頻分復(fù)用技術(shù)相結(jié)合,近來得到了廣泛的關(guān)注[7-15].基于有限反饋的MIMO系統(tǒng)一般有兩個研究方向:一是研究如何利用有限反饋提高系統(tǒng)的容量,如協(xié)方差量化反饋方法[7-8]和線性預(yù)編碼方法[9-10,14],另一方向是側(cè)重于如何利用有限反饋技術(shù)提高空時編碼的誤碼率性能[11].文獻[7]提出了在限速率反饋信道下一種功率控制和波束賦型混合的系統(tǒng)結(jié)構(gòu),并且發(fā)現(xiàn)所提出的混合結(jié)構(gòu)逼近閉環(huán)的系統(tǒng)容量.天線選擇是線性預(yù)編碼方法的一種,基于天線選擇和有限反饋方法,文獻[10]提出了一種自適應(yīng)的閉環(huán)功率控制方案,并且發(fā)現(xiàn)提出的方法比多模天線選擇策略[12]有更高的吞吐率.

本文研究了單用戶有限反饋下的閉環(huán)MIMO系統(tǒng)的容量問題.假設(shè)發(fā)送端和接收端均儲存相同的碼本集合,接收機具有理想的信道估計.接收機搜索碼本集合的碼本求出與之最匹配的信道矩陣,并且將索引值通過限速率的信道反饋給發(fā)送端.而發(fā)送端根據(jù)收到的索引查找相應(yīng)的碼本集合從而找出相應(yīng)的矩陣,進行矩陣的奇異值分解和數(shù)據(jù)子流功率分配等操作,然后將處理后的數(shù)據(jù)發(fā)送出去.當反饋比特數(shù)較低時,反饋信道信息不準確可能不會產(chǎn)生相對于開環(huán)MIMO系統(tǒng)的容量增益,所以就存在反饋比特數(shù)的下限以確保閉環(huán)容量增益大于或者等于零.本文采用數(shù)值計算方法研究了反饋比特數(shù)對MIMO系統(tǒng)容量的影響,分別給出了在不同的系統(tǒng)配置下,采用RVQ[18]和LBG[13]碼本生成方法對應(yīng)的最小反饋比特數(shù).

1 系統(tǒng)模型

圖1描述了閉環(huán)MIMO系統(tǒng)模型,發(fā)送端和接收端的天線數(shù)目分別為NT和NR.發(fā)送端通過VBLAST編碼(Vertical-Bell Laboratories Layered Space-Time,垂直分層空時編碼)和數(shù)據(jù)子流功率分配操作,將用戶數(shù)據(jù)x發(fā)

送出去.假設(shè)接收機具有理想的信道信息,它通過MMSE-SIC(Minimum Mean Square Error-Successive Interference Cancellation,最小均方誤差-串行干擾抵消)數(shù)據(jù)檢測算法得到檢測的比特流.這種發(fā)射機和接收機的結(jié)構(gòu)可以達到多天線高斯信道的容量.假設(shè)信道是平坦衰落的,則接收信號可以寫為:

圖1 閉環(huán)MIMO系統(tǒng)模型

其中:H是維度為NRXNT的的信道響應(yīng)矩陣,y=[y1y2…yNR]T,(.)T代表轉(zhuǎn)置操作;發(fā)送信號x=[x1x2…xNT]T,噪聲w=[w1w2…wNT]T,并且其相關(guān)矩陣滿足

上式中E(.)代表數(shù)學期望,INR是NRXNR的單位矩陣.發(fā)送端和接收端均保存相同的量化碼本集合Ψ={φ1,φ2…φ2B},其中碼本φi是NRXNT的矩陣,2B是碼本總數(shù)目,而碼本集合Ψ可以通過LBG算法[13]或者RVQ方法[18]構(gòu)造.接收機得到理想的信道信息后將選擇與之最匹配的碼本矩陣,并且將索引通過有限反饋信道反饋給發(fā)送端,反饋的比特數(shù)是B.選擇準則如下式所示:

其中||.||代表矩陣的Frobenius范數(shù),這樣得到的i*是所選最優(yōu)集合φj的下標.最后,MIMO閉環(huán)系統(tǒng)的信噪比定義為

其中P是發(fā)送總功率,σ2w是高斯加性白噪聲的方差,由式(2)給出.

2 閉環(huán)MIMO系統(tǒng)容量和反饋比特數(shù)下限

2.1 MIMO系統(tǒng)的開環(huán)容量

假設(shè)發(fā)送端不知道信道信息(Channel State Information,CSI),即不存在反饋信道反饋信道信息,則最優(yōu)的功率分配是等功率分配方法.此時MIMO系統(tǒng)的開環(huán)容量為:

其中:SNR是MIMO系統(tǒng)的信噪比.當發(fā)送信號分布為復(fù)高斯分布并且發(fā)送端每個數(shù)據(jù)子流為等功率時系統(tǒng)可以達到上式(5)所示的開環(huán)容量.用矩陣的奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD),可以把開環(huán)容量進一步寫成:

其中:Nmin=min(NT,NR),{λi}Nmini=1是矩陣HHH的奇異值.

2.2 有限反饋下的MIMO系統(tǒng)的閉環(huán)容量

在圖1所示的閉環(huán)MIMO系統(tǒng)中,由于有限反饋的精度是有限的,量化誤差導(dǎo)致反饋的信道信息存在失真,因此系統(tǒng)的容量相比理想的信道信息反饋存在差距.當發(fā)送端收到接收機反饋的索引i*后,將從碼本集合Ψ選擇相應(yīng)的碼本φi*,記H'=φi*

以表示失真的信道信息,然后用奇異值分解方法把H'分解為:

注意為表達方便該文把上式中矩陣∧寫成對角陣的形式,即使它不是方陣(NR≠NT).接下來發(fā)送端采用特征模式傳輸方式,即對原始發(fā)送信號x采用如下線性變換:

其中V由表達式(7)獲得,D是一個對角陣,其對角線元素為:

其中u滿足

其中:λi是矩陣∧的第i個對角線元素,矩陣∧由式(7)給出并且可以進一步寫成∧=diag因此相應(yīng)的接收信號y由下式給出:

為求出閉環(huán)MIMO系統(tǒng)的容量,下面引入一個定理.

定理1[17]考慮如下MXN的多天線系統(tǒng):

其中:h是NXM的復(fù)信道矩陣,S是MX1發(fā)送信號向量,V是NX1的加性噪聲向量.假設(shè)發(fā)送信號和加性噪聲的功率分別為M和N,并且噪聲和發(fā)送信號不相關(guān).令發(fā)送信號S的自相關(guān)矩陣為RS,接收信號Y的自相關(guān)矩陣為RY,則下式成立:

其中:I(Y;S)表示發(fā)送信號S和接收信號Y之間的互信息量,x~CN(0,RX)表示隨機向量x服從均值為零、協(xié)方差矩陣為Rx的復(fù)高斯分布,而RV,opt和RS,opt是指滿足下式的最優(yōu)接收信號自相關(guān)矩陣和發(fā)送信號自相關(guān)矩陣:

式(13)表明:當發(fā)送信號分布確定,噪聲為高斯分布的系統(tǒng)的互信息量最小;而當噪聲信號分布確定時,發(fā)送信號為高斯分布時系統(tǒng)的互信息量最大.接下來繼續(xù)推導(dǎo)系統(tǒng)的閉環(huán)容量,令Y=HVD1/2,則采用特征傳輸模式下的MIMO系統(tǒng)閉環(huán)容量C∧滿足:

等號僅當噪聲為高斯分布時成立.考慮到整個系統(tǒng)的等效噪聲是w,與有限反饋信道無關(guān);并且w是是高斯白噪聲,所以式(15)的等號成立,于是我們就可以得到有限反饋下的閉環(huán)MIMO系統(tǒng)容量的表達式.系統(tǒng)的整個操作流程可以歸納為:

第一步:接收機通過信道估計得到理想的信道信息H,通過式(3)選擇與之最匹配的碼本矩陣,求出相應(yīng)的索引,通過有限反饋信道傳輸給發(fā)送端.

第二步:發(fā)射機得到索引值,從碼本集合Ψ選擇對應(yīng)的碼本,然后采用式(7)表述的奇異值分解得到矩陣的特征向量V,然后通過式(9)和(10)描述的注水法得到矩陣D.

第三步:發(fā)射機采用式(8)描述的線性變換,把轉(zhuǎn)換后的信號發(fā)送出去.

2.3 最小反饋比特數(shù)

當發(fā)送端具有理想的信道信息時,閉環(huán)MIMO系統(tǒng)容量大于開環(huán)系統(tǒng)的容量.但是當發(fā)送端獲得的信道信息有失真時,非理想的信道信息可能會導(dǎo)致發(fā)送端采用不匹配的特征模式傳輸信號,如式(8)所示.當量化誤差過大時,閉環(huán)系統(tǒng)的容量可能會小于對應(yīng)的開環(huán)系統(tǒng)容量,所以存在反饋比特數(shù)的下限以確保閉環(huán)系統(tǒng)容量不小于開環(huán)系統(tǒng)的容量.將有限反饋的閉環(huán)系統(tǒng)容量寫成C∧=C∧(NT,NR,SNR,B),其中SNR是系統(tǒng)的信噪比,B是反饋比特數(shù).同樣,將開環(huán)系統(tǒng)容量寫成Copen=Copen(NT,NR,SNR).則系統(tǒng)所需的最小反饋比特數(shù)由下式給出:

3 數(shù)值結(jié)果

此節(jié)采用數(shù)值仿真的方法研究了有限反饋下的MIMO系統(tǒng)容量.信道采用平坦瑞利衰落信道模型,因為工程中LBG[13]方法和RVQ方法[18]較為經(jīng)典和常用,所以碼本集合分別采用這兩種算法構(gòu)造,MIMO系統(tǒng)的開環(huán)容量采用式(5)計算,有限反饋的閉環(huán)容量采用式(15)計算.

3.1有限反饋下的閉環(huán)容量

圖2繪制了采用不同精度碼本的系統(tǒng)閉環(huán)容量與信噪比的關(guān)系.分別考慮了發(fā)送和接收天線對為(2,2)和(4,2)的兩種情況,而碼本采用LBG方法構(gòu)造.可以看到,在某個固定的信噪比下系統(tǒng)容量隨著碼本比特數(shù)的增加而增加.采用較低精度碼本的閉環(huán)容量可能小于開環(huán)容量.例如:對于2X2系統(tǒng),當MIMO系統(tǒng)信噪比為8 dB并且碼本比特數(shù)B=3或者5時,系統(tǒng)閉環(huán)容量小于開環(huán)容量.為保證有限反饋的閉環(huán)容量大于等于開環(huán)容量,在8 dB時,2X2的MIMO系統(tǒng)應(yīng)該采用不小于7位的碼本.

圖2 采用不同精度碼本的MIMO系統(tǒng)閉環(huán)容量與信噪比的關(guān)系

3.2 不同碼本生成方式的性能對比

圖3 對比了分別采用LBG碼本和RVQ碼本的系統(tǒng)閉環(huán)容量,分別考慮了發(fā)送和接收天線對為(2,2)和(3,3)的兩種情況.可以看到,對于(2,2)系統(tǒng),在信噪比為0 dB、4 dB、8 dB的時候,采用兩種方法的系統(tǒng)性能無顯著差別,而且對于碼本比特數(shù)B∈[3,8]時,系統(tǒng)容量隨著碼本比特的增加幾乎沒有顯著變化.但是對于(3,3)系統(tǒng),情況發(fā)生了明顯變化,采用RVQ碼本要優(yōu)于LBG碼本.例如:在信噪比為4 dB并且均采用3比特碼本時,采用RVQ碼本會產(chǎn)生相對于LBG碼本約0.33 bit/s/Hz的增益.另外,在碼本比特數(shù)B∈[2,7]時,可以發(fā)現(xiàn)采用RVQ碼本時系統(tǒng)容量無顯著變化.而采用LBG碼本時,當B從2增加到3時系統(tǒng)容量增加較顯著,但是隨著B的進一步增加系統(tǒng)容量逐漸達到某個漸進水平.總之,RVQ碼本要優(yōu)于LBG碼本.

[J

圖3 LBG碼本和RVQ碼本性能對比

3.3 最小反饋比特數(shù)

為了保證系統(tǒng)的閉環(huán)容量不小于對應(yīng)的開環(huán)容量,表1列出了在不同天線對下,采用RVQ方法和LBG方法分別所需的最小反饋比特數(shù).表中的數(shù)據(jù)按公式(16)計算得到.可以看到,對于LBG方法,在固定的天線配置下最小反饋比特數(shù)隨著信噪比的增加而增加;當發(fā)送天線小于接收天線數(shù)時,與收發(fā)天線數(shù)相同的情況相比,所需最小反饋比特數(shù)較大;采用RVQ方法比LBG方法所需的最小反饋比特要少,特別是對于(2,4)系統(tǒng)更為明顯.

表1 采用RVQ方法和LBG方法分別所需的最小反饋比特數(shù)Bfeed

4 結(jié) 論

本文提供了不同系統(tǒng)參數(shù)配置下的閉環(huán)容量隨著反饋比特數(shù)的變化曲線,并且給出了所需的最小反饋比特數(shù)與信噪比、天線對的關(guān)系.數(shù)值仿真結(jié)果表明:較低的反饋比特數(shù)將會產(chǎn)生相對開環(huán)系統(tǒng)的負容量增益,當反饋比特數(shù)大于等于某個門限值,系統(tǒng)將會產(chǎn)生正容量增益;對于LBG方法,所需最小反饋比特數(shù)隨著系統(tǒng)信噪比的增加而增加,而RVQ方法所需的最小反饋比特數(shù)總體上差異不大;采用RVQ方法比LBG方法所需的最小反饋比特數(shù)總體上要小.

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