群雙積成為群余代數(shù)的一個充要條件

姜秀燕，李 穎

(大慶師范學院 數(shù)學科學學院， 黑龍江 大慶 163712)

0 引言

由于Hopf代數(shù)在量子群和數(shù)學物理中的重要作用，越來越多的數(shù)學家對它進行了更深入的研究并提出了若干重要推廣，Hopf群余代數(shù)是由Turaev[1]引入的，粗略地說，一個Hopf群余代數(shù)就是整體上帶有余乘法，余單位和對極運算且滿足Hopf代數(shù)公理的一族代數(shù)，文獻[2]給出其代數(shù)性質(zhì)。

眾所周知來源于群論的Smash積代數(shù)和Smash余積余代數(shù)[3]在Hopf代數(shù)理論中很重要[4]。簡言之，雙積結(jié)構(gòu)是指既有Smash積代數(shù)結(jié)構(gòu)又有Smash余積余代數(shù)結(jié)構(gòu)。本文首先引入群雙積的概念并給出其成為Hopf群余代數(shù)的一個充要條件。

1 預(yù)備知識

定義1：H是Hopf群余代數(shù)，A既是左H-模又是一個代數(shù)，如果下列條件滿足，稱A 是左H-群模代數(shù)：

1)h·ab=∑(h1α·a)(h2β·b),h∈Hαβ,a,b∈A;

2)h.1=ε(h)1,h∈Hi。

定義2：H是Hopf群余代數(shù)，A既是左H-余模又是一個代數(shù)，如果下列條件滿足，稱A左 H-余模代數(shù)：

1)∑(ab)((-1),α)?(ab)(0)=∑a((-1),α)b((-1),α)?a(0)b(0),a,b∈A;

2)∑1((-1),α)?1(0)=1α?1。

定義3: H是Hopf群余代數(shù)，C既是左H-余模又是一個群余代數(shù)，如果下列條件滿足，稱C左 H-余模余代數(shù)：

1)∑c1((-1),α)c2((-1),α)?c1(0)?c2(0)=∑c((-1),α)?c(0)1?c(0)2,c∈C;

2)∑ε(c(0))c((-1),α)=ε(c)1α,c∈C。

定義4: 域k上的一個群H-余代數(shù)(或Hopf群余代數(shù))是指一族代數(shù){Hα,mα,lα}α∈π，同時也是群余代數(shù){Hα,Δ,ε}α,β∈π且對任意α,β∈π滿足下列條件:

(i) Δα和ε都是代數(shù)同態(tài);

(ii)存在一族k-線性映射 S={Sα:Hα-1→Hα}α∈π(稱為對極)滿足

∑xi1αSα(xi2α-1)=ε(x)1α,∑Sα-1(xi1α)xi2α-1=ε(x)1α-1

由直接計算我們可以得到以下結(jié)論。

引理1：H 是Hopf群余代數(shù) ， A是左H-模代數(shù)，作為空間對任意 α∈π,AΩHα=A?Hα，則AΩHα有單位元1Ω1α的結(jié)合代數(shù)，其乘法為

(aΩh)(bΩg)=∑a(h1i·b)Ωh2αg,a,b∈A,h, g∈Hα

引理2：H是Hopf群余代數(shù)，C左H-余模代數(shù)。則C▽H={C?Hα}α∈π是群余代數(shù)，其余乘法為Δ(c▽h)=∑c1▽c2((-1),α)h1α?c2(0)▽h2β,c∈C,h∈Hαβ。

2 主要結(jié)論

定理1：H是Hopf群余代數(shù)，A既是左H-余模余代數(shù)又是左H-模代數(shù)。

則下列結(jié)論等價：

(I)AΩH是類Hopf群余代數(shù)；

(II)A是左H余模代數(shù)，且是左Hi-模余代數(shù)；εA是代數(shù)映射；

1)Δ(1A)=1A?1A；

2)Δ(ab)=∑a1(a2((-1,i))·b1)?a2(0)b2,a,b∈A；

3)∑(h1i·a)((-1),α)h2α?(h1i·a)(0)=∑h1αa((-1),α)?h2i·a(0),a∈A,h∈Hα。

證明：首先我們斷言εAΩH是代數(shù)映射當且僅當εA是代數(shù)映射及對任意 a∈A,h∈Hi有εA(h·a)=εHi(h)εA(a) 。

實際上如果εAΩH是代數(shù)映射，則對任意a,b∈A,h,g∈Hi,

∑εAΩH((aΩh)(bΩg))=∑εAΩH(a(h1i·b)Ωh2ig)=εA(a)εA(b)εH(h)εH(g)。

令h=g=1i則有εA(ab)=εA(a)εA(b)；

令a=1A，g=1i。則有εA(h·a)=εA(a)εHi(h)， 反之易證。

其次，我們證明Δα,β(1Ω1αβ)=1Ω1α?1Ω1β當且僅當ρ(1A)=1α?1A和Δ(1A)=1A?1A，事實上，如果Δα,β(1Ω1αβ)=1Ω1α?1Ω1β, 則∑11Ω12((-1),α)?12(0)Ω1i=1Ω1α?1Ω1i, 于是有ρ(1A)=1α?1A和Δ(1A)=1A?1A。

最后，我們證明ΔAΩH是交換的當且僅當對任意a,b∈A,h,g∈Hαβ,∑(a(h1i·b))1Ω(a(h1i·b))2((-1),α)h2αβ1α?(a(h1i·b))2(0)Ωh2αβ2β=∑a1((a2((-1),α)h1α)1i· b)Ω(a2((-1),α)h1α)2αb2((-1),α)?a2(0)(h2β1i·b(0))Ωh2β2β。

則有Δα,β((aΩh)(bΩg))=∑(a(h1i·b))1Ω(a(h1i·b))2((-1),α)h2αβ1α?(a(h1i·b))2(0)Ωh2αβ2β;

另有Δα,β(aΩh)Δα,β(bΩg)=∑a1((a2((-1),α)h1α)1i·b1)Ω(a2((-1),α)h1α)2α

b2((-1),α)?a2(0)(h2αβ1i·b2(0))Ωh2αβ2β.，故ρ(ab)=ρ(a)ρ(b)。

令β=i,a=1,h=1α可得(9)得證；

兩邊作用εA?idHα?idA?εHi可得∑(h·b)1?(h·b)2=∑h1i·b1?h2i·b2；

令α=β=i(8)得證. 充分性顯然。

定理2：H是 Hopf群余代數(shù)，A既是左H余模余代數(shù)又是左模代數(shù)，則

(I)如果AΩH是Hopf群余代數(shù),則idA在對合代數(shù)Homk(A,A)中可逆；

=∑(εA?idHα-1)(1Ωh)1α-1Sα((1Ωh)2α)

=(εA?idHα-1)ε(1Ω1)=εH(1)1α-1

定義ω:A→A,a(idA?εHi)((1Ωa((-1),i))Si(a(0)Ω1)), 則斷言ω是idA的逆。

因為

idA*ω(a)=∑(idA?εHi)((a1Ω1)(1Ωa2((-1),i)Si(a2(0)Ω1))

=∑(idA?εHi)((a1Ωa2((-1),i))Si(a2(0)Ω1))

=∑(idA?εHi)((aΩ1)1iSi((aΩ1)2i))

=εA(a)1 and (ω*idA)(a)

=∑(idA?εHi)((1Ωa1((-1),i))Si(a1(0)Ω1))a2

=∑(idA?εHi)(Si(a1(0)Ωa1((-1),i))(a2(0)Ω1))

=∑(idA?εHi)(Si(aΩ1)1i)((aΩ1)2i)

=εA(a)1

(II)對任意a∈A,h∈Hi，有∑Sα-1(a1Ωa2((-1),α-1)h1α-1)(a2(0)Ωh2α)=

a2)Ω1)=εA(a)εHi(h)(1Ω1)

這樣我們就得到了群雙積成為Hopf群余代數(shù)的充分必要條件。

[參考文獻]

[1] Vladimir Turaev. Homotopy Field Theory In Dimension 3 and Crossed Group-categories[J].Preprint GT/0005291S.

[2] Alexis Virelizier.Hopf Group-Coalgebras[J].Journal Of Pure And Applied Algebra, 2002,171:75-122.

[3] R. K. Molnar.Semidirect Products of Hopf Algebras[J]. J. Algebra,1977,47: 29-51.

[4] S. Montgonery.Hopf Algebras And Their Actions On Rings[C].CBMS AMS,1993：82.