混沌系統(tǒng)的單變量微分狀態(tài)觀測器的同步控制

牟 俊, 初 冉, 崔 遠 慧

( 大連工業(yè)大學 信息科學與工程學院, 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

1990年,美國學者Pecora和Carroll[1]在電子學線路的專門設(shè)計的實驗中實現(xiàn)了兩個系統(tǒng)的混沌同步,立即引起了廣泛的關(guān)注?；煦缧袨榈淖畲筇攸c就是運動軌線對初始條件具有高度的敏感性,所以以前人們認為在實驗室內(nèi)要想重構(gòu)完全相同(同步)的混沌簡直是不可能的事情。混沌同步的發(fā)現(xiàn)打破了這個禁錮,從而在以保密通信為首的許多領(lǐng)域顯示出廣闊的應(yīng)用發(fā)展前景,成為研究的熱點[2]。到目前為止,關(guān)于混沌系統(tǒng)的同步研究已經(jīng)取得一定成就:孫克輝等實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)在噪聲干擾下的同步[3]及投影同步[4],劉杰等[5]實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的追蹤同步,陸君安等[6]實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)反饋同步。但這些同步方案由于同步時間長、計算量大而離實際應(yīng)用都還有一定差距?；跔顟B(tài)觀測器的同步方案[7]具有易于在工程上實現(xiàn)、不需要計算同步系統(tǒng)的條件Lyapunov指數(shù)等優(yōu)點,因而受到廣泛關(guān)注。本文通過設(shè)計合適的單變量狀態(tài)觀測器,實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步。

1 混沌系統(tǒng)同步研究

1.1 單變量微分狀態(tài)觀測器理論分析

混沌系統(tǒng)

(1)

(2)

定理2[9]設(shè)系統(tǒng)(1)的輸出為

(3)

1.2 基于Lorenz混沌系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器設(shè)計

Lorenz混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型為

(4)

其系數(shù)矩陣為

根據(jù)式(2)可得:

當上式成立時,驅(qū)動系統(tǒng)的驅(qū)動量為

其中

接收端系統(tǒng)可相應(yīng)表示為

(5)

2 混沌系統(tǒng)同步仿真與結(jié)果討論

對于Lorenz混沌系統(tǒng),從系統(tǒng)參數(shù)、初值、b22取值等方面,研究同步系統(tǒng)的同步性能。

2.1 各系統(tǒng)變量同步仿真

對于Lorenz系統(tǒng),取b22=29。系統(tǒng)初始值如上。同步Lorenz系統(tǒng)各參數(shù)同步曲線如圖1所示。可見,雖然發(fā)送端與接收端初值相差很遠,但經(jīng)過一段時間均能完全滿足同步要求。證明了上述狀態(tài)觀測器設(shè)計方法對于混沌系統(tǒng)有效。

圖1 Lorenz系統(tǒng)的同步收斂曲線

Fig.1 Curve of synchronous convergent in Lorenz system

2.2 b22取值對同步性能的影響

Lorenz系統(tǒng)其他參數(shù)取值不變,并設(shè)e=[(y1-x1)2+(y2-x2)2+(y3-x3)2]1/2。b22=50,b22=20,b22=0三種不同狀態(tài)系統(tǒng)的同步誤差信號如圖2所示。此處仿真取每秒系統(tǒng)迭代100次?？梢?只要滿足基本條件b22>-1,系統(tǒng)最終將實現(xiàn)精確同步,在所有其他條件均相同的情況下,b22越大,系統(tǒng)同步收斂越快。

圖2 b22不同取值時的同步誤差收斂曲線

Fig.2 Curve of synchronous error convergent with differentb22

2.3 系統(tǒng)初值對同步性能的影響

Lorenz系統(tǒng)其他參數(shù)取值不變,并取b22=29,同時設(shè)e=[(y1-x1)2+(y2-x2)2+(y3-x3)2]1/2,取b22=29,當取系統(tǒng)初值分別為

時,系統(tǒng)的同步誤差信號如圖3所示。

圖3 不同初值條件下的同步誤差收斂曲線

Fig.3 Curve of synchronous error convergent with different initial value

由圖3可見,在其他初始條件一定的情況下,達到同步所需的時間僅與初始條件下發(fā)送端的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)和接收端的狀態(tài)觀測器之間初值差的大小有關(guān)。初值差越大則實現(xiàn)同步所需時間越長。但總體來說,只要系統(tǒng)的初值位于混沌吸引子內(nèi)部,即使發(fā)送端與接收端初值相差很遠,也能在一定時間內(nèi)達到精確同步。

3 結(jié) 論

本文采用單變量微分狀態(tài)觀測器方法,設(shè)計了混沌系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器同步方案,并以Lorenz系統(tǒng)為目標系統(tǒng),對該同步方案的同步性能進行了分析。該方案實際上是基于狀態(tài)空間重構(gòu)技術(shù),由于采用了狀態(tài)觀測法,所以不需計算系統(tǒng)的條件Lyapunov指數(shù),且發(fā)送端系統(tǒng)與接收端狀態(tài)觀測器之間可取完全不同的初值。在同步過程中,采用單參數(shù)傳輸,大大提高了信道利用率。就同步性能來講,該方案同步時間短,同步性能良好。在實際應(yīng)用中,為使系統(tǒng)同步性能優(yōu)化,減少同步振蕩,縮短同步時間,系統(tǒng)參數(shù)的選擇比較關(guān)鍵。該方案在保密通信中應(yīng)用前景廣闊。

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