近似時(shí)間最優(yōu)控制的離散域設(shè)計(jì)及其伺服應(yīng)用

（福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建福州 350108）

1 引言

永磁交流同步伺服系統(tǒng)在數(shù)控加工和制造產(chǎn)業(yè)升級(jí)中有著舉足輕重的作用，比如在服裝花樣縫制中，要求主軸縫紉轉(zhuǎn)速達(dá)2 400 r/min，每針完成一個(gè)可編程花樣長(zhǎng)度的X Y繡框移動(dòng)和定位，這類應(yīng)用中幾乎都要求20～30 ms的高效而快速的目標(biāo)位置移動(dòng)和定位，以提高加工的生產(chǎn)效率。通常采用的位置速度電流3閉環(huán)PI調(diào)節(jié)伺服系統(tǒng)卻很難滿足這個(gè)要求，特別在變花樣長(zhǎng)度同時(shí)需要變化主軸轉(zhuǎn)速時(shí)，實(shí)驗(yàn)反復(fù)證明容易出現(xiàn)限定時(shí)間內(nèi)的定位欠調(diào)或過(guò)沖。

為實(shí)現(xiàn)快速定位，考慮時(shí)間最優(yōu)控制（TOC）［1］，即在驅(qū)動(dòng)電機(jī)電流的允許極限約束下，通過(guò)正方向或反方向的最大允許幅值控制信號(hào)的施加以達(dá)到最大加速或減速的目標(biāo)跟蹤，這種乒乓控制由于在正負(fù)兩個(gè)極端值之間切換，當(dāng)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)存在模型差異或擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)就難免出現(xiàn)為克服偏差而產(chǎn)生顫震的現(xiàn)象，影響系統(tǒng)的應(yīng)用。鑒于理想時(shí)間最優(yōu)控制在這方面的缺陷，近似時(shí)間最優(yōu)控制（PTOC）［1］在TOC基礎(chǔ)上引入了一個(gè)可控的線性工作區(qū)（或稱作“偏差帶”），當(dāng)控制目標(biāo)進(jìn)入該偏差帶時(shí)把不易穩(wěn)定的最大允許幅值控制切換到線性的PD控制，線性控制算法依據(jù)系統(tǒng)特性選擇，并與非線性段平滑過(guò)渡銜接。由于引入小范圍的線性控制，PTOC在整體快速性方面有所損失，但卻獲得了更好的系統(tǒng)魯棒性，特別在定位完畢停車時(shí)有很好的穩(wěn)定性，噪音也大大減少。

本文依據(jù)PTOC的基本思想，面向?qū)嶋H系統(tǒng)應(yīng)用，尋找解決PTOC整體控制特性與系統(tǒng)參數(shù)之間的定量關(guān)系，進(jìn)一步分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的敏感性問題。傳統(tǒng)PTOC控制律中并未考慮系統(tǒng)擾動(dòng)的影響，如果系統(tǒng)中出現(xiàn)未知擾動(dòng)，有可能產(chǎn)生目標(biāo)定位的穩(wěn)態(tài)誤差。本文在離散時(shí)間PTOC控制基礎(chǔ)上，采用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器對(duì)未知擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)估計(jì)并用于實(shí)時(shí)補(bǔ)償。在增廣模型中設(shè)置一個(gè)新的綜合狀態(tài)變量，用來(lái)描述系統(tǒng)的不確定性和未知擾動(dòng)，隨后設(shè)計(jì)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的這個(gè)擾動(dòng)變量，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的準(zhǔn)確和魯棒的控制。這種基于觀測(cè)器的擾動(dòng)補(bǔ)償方案在電機(jī)伺服系統(tǒng)領(lǐng)域已得到廣泛的研究［2-12］，特別是自抗擾控制（ADRC）受到了較多關(guān)注［3-6］，但ADRC的可調(diào)參數(shù)眾多，在實(shí)際應(yīng)用中參數(shù)的整定非常麻煩。迄今，能同時(shí)兼顧穩(wěn)態(tài)準(zhǔn)確性和瞬態(tài)性能最優(yōu)化的研究成果尚少有報(bào)道。本文給出的這種基于觀測(cè)器的擾動(dòng)補(bǔ)償近似時(shí)間最優(yōu)控制方案，可以用于交流同步伺服系統(tǒng)上的快速且準(zhǔn)確的位置控制。通過(guò)Matlab/Simulink仿真和基于TI公司TMS320F2812的硬件伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了控制方案的有效性和性能魯棒性。

2 魯棒近似時(shí)間最優(yōu)控制算法

在交流永磁同步伺服系統(tǒng)中，傳統(tǒng)位置控制系統(tǒng)是由“位置—轉(zhuǎn)速—電流”3閉環(huán)組成，本文直接采用雙環(huán)控制，其“位置—電流”環(huán)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the control system

考慮系統(tǒng)中，電流環(huán)的時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)比位置環(huán)小得多（實(shí)際系統(tǒng)電流環(huán)響應(yīng)時(shí)間0.5 ms左右），且其響應(yīng)受外部影響很小，先忽略其對(duì)外位置環(huán)的影響，則位置控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)化為一個(gè)雙積分傳遞函數(shù)b/s2，其中b為模型參數(shù)，主要與機(jī)電系統(tǒng)的慣量有關(guān)，是應(yīng)用系統(tǒng)常見參變量之一。

在控制輸入 ||u≤umax，輸出量y可測(cè)條件下，可把系統(tǒng)模型按采樣周期T進(jìn)行基于零階保持器的離散化，得到如下的離散狀態(tài)空間模型：

其中

式中，輸出位置y和速度v構(gòu)成了狀態(tài)量x；d∈R為系統(tǒng)中存在的慢變化未知擾動(dòng)（也含模型的不確定性）， ||d＜umax；飽和限幅函數(shù)sat(u)定義為

式中：sign(?)為符號(hào)函數(shù)。

在控制信號(hào)受限的條件下，若要使輸出y快速精確地跟蹤給定r，先考慮下面的時(shí)間最優(yōu)控制律（TOC）：

其中

式中：e為跟蹤誤差，e=r-y。

如前所述TOC控制律因缺乏對(duì)系統(tǒng)模型差異及擾動(dòng)的魯棒性而影響了實(shí)用性，文獻(xiàn)［1］在TOC控制律框架下引入一個(gè)線性工作區(qū)，即當(dāng)誤差較小時(shí)把TOC控制律切換為線性PD控制，并確保切換的平滑性。這種改進(jìn)的控制方法就是近似時(shí)間最優(yōu)控制（PTOC），其控制律可表述如下：

其中fp(e)函數(shù)定義為

式中：yl為線性區(qū)的寬度；α為加速度折扣系數(shù)，0＜α≤ 1；J為待定的偏置量；k1，k2分別為位置和速度反饋增益。

k1和k2值可通過(guò)極點(diǎn)配置來(lái)確定：假如選擇線性區(qū)的閉環(huán)極點(diǎn)阻尼系數(shù)為ζ，自然頻率為ω，其對(duì)應(yīng)的離散域特征方程為

其中

則可得到：

根據(jù)fp(e)函數(shù)在|e|=yl處的連續(xù)控制的平滑性要求可求得：

從式（4）～式（7）可知，在線性區(qū)小范圍內(nèi)可把極點(diǎn)自然頻率ω和阻尼ζ作為可調(diào)節(jié)參數(shù)，以完成系統(tǒng)快速的穩(wěn)定跟蹤，線性工作區(qū)寬度yl選取準(zhǔn)則應(yīng)與系統(tǒng)的負(fù)荷慣量成比例。

式（3）的控制律中需要使用到速度信號(hào)，由于實(shí)際定位控制中，速度往往工作于較低頻段（動(dòng)能釋放原因），考慮其傳感分辨率原因引起的測(cè)量難度，本文嘗試把速度和未知擾動(dòng)一起歸入到觀測(cè)器。根據(jù)系統(tǒng)模型式（1）的假設(shè)條件：d(k+1)=d(k)，即擾動(dòng)是常值或慢變化的，把它加入系統(tǒng)模型可得到一個(gè)增廣系統(tǒng)，并按照文獻(xiàn)［2］的方法設(shè)計(jì)一個(gè)降階觀測(cè)器來(lái)估計(jì)速度和擾動(dòng)信號(hào)。若觀測(cè)器極點(diǎn)為自然頻率ω0和阻尼ζ0，則對(duì)應(yīng)的離散域特征方程為

其中

相應(yīng)的觀測(cè)器方程如下：

式中：xc(k)為觀測(cè)器的內(nèi)部狀態(tài)量；分別為速度和擾動(dòng)的估計(jì)值。

如果把觀測(cè)器極點(diǎn)配置在z平面原點(diǎn)，即q1=q0=0，觀測(cè)器的系數(shù)矩陣可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。由于系統(tǒng)模型中把擾動(dòng)和控制信號(hào)都合并到系統(tǒng)輸入通道（對(duì)應(yīng)同一矩陣B），則上述觀測(cè)器估計(jì)出來(lái)的是一個(gè)綜合（等價(jià)的）擾動(dòng)信號(hào)，它既包括輸入擾動(dòng)，也包括可以被輸入擾動(dòng)等價(jià)相匹配的其他擾動(dòng)和模型偏差?；谟^測(cè)器式（8），在PTOC控制律中加入對(duì)擾動(dòng)的補(bǔ)償，最終的控制律可寫成：

3 PMSM伺服系統(tǒng)的仿真分析

將上節(jié)設(shè)計(jì)的控制器應(yīng)用于一個(gè)交流永磁同步伺服系統(tǒng)，其技術(shù)參數(shù)為：電機(jī)額定功率200 W，電機(jī)額定電流1.27 A，電機(jī)額定轉(zhuǎn)速3 000 r/min，電機(jī)額定轉(zhuǎn)矩0.64 N·m，電機(jī)極對(duì)數(shù)4，電機(jī)轉(zhuǎn)子慣量 0.17 kg·cm2，電氣時(shí)間常數(shù)2.45 ms，機(jī)械時(shí)間常數(shù)1.52 ms，反饋編碼器2 500 p/r。

經(jīng)測(cè)算，圖1系統(tǒng)模型對(duì)象參數(shù)b=950（含電機(jī)及實(shí)際負(fù)載慣量）。內(nèi)部電流環(huán)控制周期對(duì)應(yīng)20 kHz的IGBT開關(guān)頻率（周期50 μs），電流環(huán)1 ms的實(shí)際響應(yīng)時(shí)間以慣性環(huán)節(jié)1/（0.001s+1）替代，以使仿真盡可能地接近實(shí)際模型，其控制輸入限幅為-1.5～+1.5 A，即有：umax=1.5。

選取外部位置采樣控制周期T=2 ms，控制器其他可選擇參數(shù)為：α=0.7,ω=80π,ζ=0.7，ω0=20π,ζ0=0.7。其他一些關(guān)鍵參數(shù)由軟件計(jì)算生成如下：k1=46.75,k2=0.312 7,yl=0.022 3,J=3.335 7。

首先，在Matlab/Simulink中進(jìn)行仿真研究，不同目標(biāo)位置的仿真結(jié)果如圖2所示。圖2a輸入為30°階躍轉(zhuǎn)角，定位時(shí)間大約45 ms；圖2b輸入3圈（3×360°）階躍轉(zhuǎn)角，定位時(shí)間大約260ms；從上面可以看出系統(tǒng)對(duì)不同給定的目標(biāo)都能快速且準(zhǔn)確地跟蹤。

圖2 不同目標(biāo)輸入位置下的響應(yīng)Fig.2 Response to different target input positions

圖3的目標(biāo)位置輸入為360°轉(zhuǎn)角階躍，定位超調(diào)量＝0.009/3.14=0.03%，在鎖定目標(biāo)位置時(shí)幾乎不會(huì)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。圖4輸入都為360°轉(zhuǎn)角階躍，但在目標(biāo)定位過(guò)程中分別加進(jìn)與運(yùn)動(dòng)方向相反的不同負(fù)荷，分別加進(jìn)額定負(fù)載的0，40%，80%，不同負(fù)載除加減速時(shí)間有所差別外，在鎖定目標(biāo)位置時(shí)也幾乎都不會(huì)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。

圖3 定位過(guò)程中的響應(yīng)超調(diào)Fig.3 Overshoot in the positioning process

圖4 不同負(fù)荷下的正反定位特性Fig.4 Position inversion under different loads

圖5在定位后突然加進(jìn)較大的主動(dòng)負(fù)荷，圖5a從0.2～1.2A（+80%），圖5b從0.5～-0.77A（-100%），可以看出，最大位差＜0.05（＜1.5%），最后穩(wěn)態(tài)誤差為0，整個(gè)調(diào)整時(shí)間＜50 ms。顯然在擾動(dòng)發(fā)生跳變后輸出量幾乎不受影響，即擾動(dòng)的影響通過(guò)觀測(cè)器補(bǔ)償?shù)玫搅擞行б种啤?/p>

圖5 抗負(fù)荷擾動(dòng)的位置響應(yīng)Fig.5 Anti-load disturbance position response

圖6中，將含正弦變化的0.4+0.3sin(10πt)負(fù)載施加于電機(jī)上，可以看出對(duì)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的快速跟蹤幾乎沒有影響，穩(wěn)定的位置目標(biāo)波動(dòng)率小于0.005/3.14=0.16%，說(shuō)明了擾動(dòng)補(bǔ)償對(duì)消除穩(wěn)態(tài)誤差的顯著作用，擾動(dòng)變化信號(hào)也能得到有效的抑制，控制系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)具有較好的魯棒性。

圖6 抗周期性負(fù)荷擾動(dòng)的位置響應(yīng)Fig.6 Response to periodic load disturbance

從上面各種情況分析可知，不管輸入指令大或小，負(fù)載的各種變化，控制算法對(duì)之均有較強(qiáng)適應(yīng)能力，表現(xiàn)出相應(yīng)的響應(yīng)能力和抗擾動(dòng)性能。

最后，分析系統(tǒng)對(duì)關(guān)鍵參數(shù)的敏感性，定義：Berr＝（實(shí)際）對(duì)象b值/（理論）PTOC計(jì)算b值。

仿真結(jié)果如圖7所示。隨著參數(shù)b的真實(shí)值的增大，系統(tǒng)響應(yīng)性能趨于加快；而當(dāng)b值減小時(shí)，輸出響應(yīng)減慢（當(dāng)定位距離較遠(yuǎn)，控制信號(hào)可能多次飽和，且產(chǎn)生大超調(diào)）。其原因是b值的變化引起閉環(huán)阻尼發(fā)生相應(yīng)的偏移。

從仿真結(jié)果看，系統(tǒng)在參數(shù)b值變化的較大范圍（50%～100%）內(nèi)仍保持較好的控制性能，具有一定的魯棒性。

由于參數(shù)b在伺服系統(tǒng)中主要取決于負(fù)載慣量，如果系統(tǒng)需要適應(yīng)更大的慣量變化時(shí)仍保持良好的瞬態(tài)性能，則應(yīng)在線辨識(shí)參數(shù)b的值，一個(gè)簡(jiǎn)易的方案是在每一次定位任務(wù)結(jié)束后根據(jù)控制量u首次脫離飽和狀態(tài)的時(shí)刻t1、對(duì)應(yīng)的控制量u1、擾動(dòng)估計(jì)量d?1和輸出位移y1來(lái)估算參數(shù)b：

圖7 系統(tǒng)模型參數(shù)b偏離的影響Fig.7 The influence of system model parameter

若控制開始時(shí)的控制量u不飽和，則表明其處于線性工作區(qū)，這時(shí)按線性二階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的超調(diào)量σ可推出當(dāng)前閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)際阻尼系數(shù)為

若系統(tǒng)無(wú)超調(diào)，則可粗略地按ζ1=1來(lái)處理。接著根據(jù)特征方程可得出受控對(duì)象的參數(shù)b1為

式中：b0，ζ分別為當(dāng)前控制律所用的參數(shù)值。把計(jì)算得到的新值b1作為標(biāo)稱值用于下次控制任務(wù)。這種參數(shù)自整定方案適用于往復(fù)式位置伺服系統(tǒng)。

4 伺服系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的主處理器為TMS320F2812，功率單元采用IPM智能模塊IRAM06UP60B，以磁粉制動(dòng)器作為負(fù)載，在DSP集成開發(fā)環(huán)境CCS中采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并轉(zhuǎn)換到Matlab繪制波形圖，由于在仿真時(shí)考慮了實(shí)際系統(tǒng)電流環(huán)響應(yīng)和控制采樣濾波等影響，實(shí)驗(yàn)波形圖在參數(shù)適當(dāng)調(diào)整后與仿真波形圖基本一致。圖8和圖9分別是目標(biāo)轉(zhuǎn)角為π空載（但系統(tǒng)存在其他擾動(dòng)）和半載（負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0.3 N·m）時(shí)的往復(fù)定位實(shí)驗(yàn)波形，可見系統(tǒng)在PTOC控制下具有快速、低超調(diào)且準(zhǔn)確的定位性能，明顯優(yōu)于使用傳統(tǒng)PID性能。

圖8 目標(biāo)轉(zhuǎn)角為π空載時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Experimental results for target angleπand zero load

圖9 目標(biāo)轉(zhuǎn)角為π負(fù)載0.3 N·m時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Experimental results for target angleπand load 0.3 N·m

對(duì)位置電流雙環(huán)系統(tǒng)，由于對(duì)象具有雙積分環(huán)節(jié)（參見圖1），傳統(tǒng)PID參數(shù)較難整定，通常以PD調(diào)節(jié)為主，仿真和實(shí)驗(yàn)表明積分很容易引起該系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，但若無(wú)積分則又造成系統(tǒng)在不同負(fù)荷下的不同穩(wěn)態(tài)誤差；微分分量雖然有助于鎮(zhèn)定該閉環(huán)系統(tǒng)，但過(guò)強(qiáng)的微分對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)和噪聲較為敏感。常規(guī)的做法是加入一個(gè)轉(zhuǎn)速環(huán)形成3環(huán)系統(tǒng)，通過(guò)轉(zhuǎn)速內(nèi)環(huán)改善對(duì)象特性（成為單積分環(huán)節(jié)），這是現(xiàn)在普遍采用的結(jié)構(gòu)，但也同樣面臨PID參數(shù)的整定和系統(tǒng)超調(diào)問題。圖10給出了對(duì)各種輸入指令（目標(biāo)轉(zhuǎn)角）、負(fù)載為0.2 N·m的PTOC控制性能比較（轉(zhuǎn)角標(biāo)幺化為1進(jìn)行對(duì)比），顯然，在各種情況下系統(tǒng)都保持原先的優(yōu)越性能，具有很好的一致性?？傊?，伺服系統(tǒng)具備了近似時(shí)間最優(yōu)控制（PTOC）的響應(yīng)特性，其中觀測(cè)器對(duì)完成時(shí)間最優(yōu)控制律和廣義擾動(dòng)補(bǔ)償起了重要作用。

圖10 3種目標(biāo)轉(zhuǎn)角（π,2π,4π）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.10 Experimental results for three target angles（π，2π，4π）

5 結(jié)論

本文給出一種位置伺服系統(tǒng)的魯棒近似時(shí)間最優(yōu)控制的離散域設(shè)計(jì)方案，其在時(shí)間最優(yōu)控制的基礎(chǔ)上引入一個(gè)線性工作區(qū)，當(dāng)誤差較小時(shí)平滑轉(zhuǎn)換為PD控制律；通過(guò)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)速度信號(hào)和各種廣義擾動(dòng)值，并對(duì)擾動(dòng)加以補(bǔ)償。在Matlab/Simulink上進(jìn)行仿真研究，分析了其控制特性與系統(tǒng)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，并基于DSP做了永磁同步電機(jī)位置控制實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明：提出的控制方案對(duì)各種目標(biāo)位置都能實(shí)現(xiàn)快速平穩(wěn)且準(zhǔn)確的跟蹤控制，且對(duì)負(fù)載擾動(dòng)和參數(shù)變化具有一定的魯棒性?？刂破鞑捎秒x散時(shí)間域上的全參數(shù)化設(shè)計(jì)，方便了編程實(shí)現(xiàn)和實(shí)驗(yàn)調(diào)試，可推廣應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床之類需要快速位置伺服控制的工程領(lǐng)域。

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