旋輪線奇點特性及其在平面凸輪機構(gòu)中的應(yīng)用條件

程 金 石

(大連工業(yè)大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院, 遼寧 大連 116034)

0 引 言

與滾子嚙合的平面凸輪的理論廓線可以看做是滾子中心所生成的旋輪線[1]。當(dāng)滾子中心位于所在傳動軸瞬心線[2]上時,旋輪線上必然存在奇點。通常認為,旋輪線在奇點處的曲率為無窮大,對應(yīng)的凸輪實際廓線上會產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。所以,凸輪廓線設(shè)計中必須回避奇點[3-5]。

然而,旋輪線在奇點處的曲率并非一定為無窮大。通過控制瞬心線在奇點附近的形狀參數(shù),旋輪線在該點的曲率可能成為有限值,甚至零值。本文根據(jù)旋輪線在奇點處的切線方向和曲率大小等特性,論證只要設(shè)計特殊的速比函數(shù),就可以使旋輪線在奇點處曲率為零。此時,旋輪線其中一側(cè)的等距曲線不發(fā)生干涉,該等距曲線作為凸輪實際廓線是可行的。本文還進一步導(dǎo)出旋輪線奇點曲率為零的速比條件,為旋輪線應(yīng)用于凸輪機構(gòu)提供依據(jù)。

旋輪線在奇點處還具有一個重要的幾何特性:切線方向與瞬心線法線方向重合。在平面凸輪機構(gòu)中,可使凸輪滾子在奇點附近嚙合時壓力角很小,甚至為零。因此,這一特性對改善凸輪機構(gòu)傳動性能有獨特的應(yīng)用價值。

旋輪線奇點可應(yīng)用于平面間歇機構(gòu)。如外槽輪機構(gòu)中直槽對稱線的內(nèi)端點即為銷子中心所形成旋輪線上的奇點。槽輪機構(gòu)只能用于低速、低精度場合。對于更有普遍意義的平行分度凸輪機構(gòu)[6-8],受瞬心線形狀特性和機構(gòu)結(jié)構(gòu)形式限制,凸輪理論廓線上不允許存在奇點。因為若存在奇點則曲率必為無窮大。所以任意滾子運動到回轉(zhuǎn)中心連線上與凸輪嚙合時壓力角為90°[9]。雙作用式平行分度凸輪機構(gòu)[10]通過改變結(jié)構(gòu)形式利用奇點解決上述問題。根據(jù)本文所設(shè)計的特殊速比函數(shù),控制從動凸輪理論廓線在奇點處的曲率和嚙合的壓力角為零,可以使這種新型分度機構(gòu)獲得良好的傳動性能。

1 奇點存在條件

含有滾子的平面凸輪機構(gòu)中,傳動軸的相對運動可以用與之固聯(lián)的瞬心線的相對純滾動來表示[2],見圖1。圖中C1、C2分別為滾子和凸輪所在傳動軸的瞬心線；P為滾子中心；C1、C2的切點C為瞬心,對于平行軸傳動,C始終位于回轉(zhuǎn)中心連線上[2]。在瞬心線相對純滾動過程中,點P在平面C2上所成的旋輪線Γ即為凸輪理論廓線。

圖1 旋輪線示意圖

設(shè)點P相對于C1的位置用Frenet坐標(biāo)[1]u1=u1(s)、u2=u2(s)表示,s為弧長參數(shù),則Γ在平面C2上的方程R(s)可表示為

R(s)=r2(s)+u1ξ1+u2ξ2

(1)

式中:r2(s)為C2上對應(yīng)參數(shù)s的點,ξ1、ξ2為r2(s)處Frenet坐標(biāo)軸單位矢。對公式(1)求導(dǎo),并利用Cesàro不動條件[1]化簡,得Γ的切矢

R′(s)=kr(u2ξ1-u1ξ2)

(2)

式中:kr=k1-k2,稱為瞬心線的誘導(dǎo)曲率,k1、k2分別為C1、C2在點s處的曲率。由公式(2)可以得到以下結(jié)論:

(1)R′(s)垂直于矢量CP=u1ξ1+u2ξ2。這說明旋輪線的法線過對應(yīng)瞬時的瞬心。該結(jié)論為確定凸輪廓線法線方向提供了有利工具。

(2)當(dāng)u1=u2=0時,R′(s)=0。這說明瞬心產(chǎn)生的旋輪線在該瞬時為奇點。所以位于瞬心線上的點所成的旋輪線上必存在奇點。

結(jié)論(2)應(yīng)用于平面凸輪機構(gòu)即得凸輪理論廓線奇點存在條件:與凸輪嚙合的滾子的中心位于所在傳動軸的瞬心線上。根據(jù)奇點對應(yīng)的瞬時特點可以得出,凸輪理論廓線在奇點處與凸輪瞬心線相交。

2 奇點幾何特性

設(shè)旋輪線上存在奇點Q,為方便起見,將坐標(biāo)原點取在點Q并令此時參數(shù)s為零,則旋輪線在點Q附近的泰勒展開式為

(3)

式中:R′(0)、R″(0)、R(n)(0)為旋輪線在奇點處的一階、二階及n階導(dǎo)數(shù)。對公式(1)逐階求導(dǎo),并代入Frenet公式[1]、Cesàro不動條件以及奇點條件u1=u2=0,得R′(0)、R″(0)及以后各階導(dǎo)數(shù)為

(4)

上述各階導(dǎo)數(shù)的取值情況決定旋輪線在奇點處的幾何特性。

2.1 切線方向

令公式(3)對參數(shù)s求導(dǎo)并注意到R′(0)=0,得旋輪線在奇點附近的切矢為

(5)

對于相對純滾動的瞬心線,誘導(dǎo)曲率kr必不為零,即矢量R″(0)≠0。這樣,當(dāng)參數(shù)s趨近于零時,矢量R′(s)的方向即奇點處切線方向完全取決于R″(0)的方向。而由公式(4),R″(0)的方向始終沿凸輪瞬心線上對應(yīng)奇點處的法線方向ξ2。于是,凸輪理論廓線在奇點處的切線方向與凸輪瞬心線在對應(yīng)點的法線方向相同。

2.2 奇點性態(tài)

旋輪線在奇點處的各階導(dǎo)數(shù)中,設(shè)第1個不為零的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為p,第2個不為零且方向與R(p)(0)不平行的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為q,則奇點性態(tài)決定于p、q的取值。根據(jù)公式(4),必有p=2,所以旋輪線在奇點附近可表示為

(6)

過奇點Q在凸輪平面內(nèi)以矢量R″(0)、R(q)(0)為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系,則旋輪線在奇點附近的性態(tài)見圖2。由圖中可見,旋輪線的奇點性態(tài)為尖點。當(dāng)q為奇數(shù)時,奇點兩側(cè)分支位于R″(0)異側(cè),見圖2(a)；當(dāng)q為偶數(shù)時,奇點兩側(cè)分支位于R″(0)同側(cè),見圖2(b)。

圖2 旋輪線在奇點附近的性態(tài)

2.3 奇點曲率

嚴格地說,旋輪線在奇點處因切矢為零而使曲率失去意義。但是,可以用曲線上無限接近奇點的點的曲率的極限表示奇點處彎曲程度,并仍將其稱為“曲率”。為此,令公式(6)對參數(shù)s連續(xù)求導(dǎo)2次,分別得

(7)

(8)

代入到曲率計算公式

(9)

并令s趨近于零,所得k值即為旋輪線在奇點處的曲率。分析公式(9)中分子、分母無窮小s的次數(shù)可見,曲率k是無窮小s的(q-4)次函數(shù)。根據(jù)q的取值,旋輪線在奇點處的曲率可存在以下3種情況:

(1)q<4時,k→∞,即曲線在奇點處的曲率為無窮大。

(2)q=4時,k是無窮小s的0次冪,即曲率為有限量。

(3)q>4時,k=0,即曲線在奇點處的曲率為零。

可見,旋輪線在奇點處的曲率并非一定為無窮大。當(dāng)滿足條件q>4時,奇點處曲率為零。而由公式(4),q的取值完全取決于瞬心線在奇點處的曲率及其各階導(dǎo)數(shù)。若瞬心線在奇點處滿足條件

(10)

則曲線在奇點處第2個不為零且與R″(0)不平行的導(dǎo)數(shù)為R(5)(0),此時q=5,奇點處曲率為零。公式(10)即為奇點曲率為零的瞬心線條件。

3 奇點的應(yīng)用條件

由于存在曲率為零情形,奇點在一定條件下可得到應(yīng)用,如圖3所示的雙作用式平行分度凸輪機構(gòu)。該機構(gòu)在輸入軸上布置單個輸入滾子1和輸入凸輪2,在輸出軸上布置輸出凸輪3和分度數(shù)個輸出滾子4。機構(gòu)存在輸入滾子和輸出凸輪、輸入凸輪和輸出滾子2對嚙合關(guān)系。其中輸入滾子和輸出凸輪的嚙合在分度運動的前半程起正驅(qū)動作用,后半程起負驅(qū)動作用。在以慣性負載為主的分度機構(gòu)中,這對嚙合副因始終承擔(dān)慣性負載而稱為主嚙合副,直接決定機構(gòu)傳動性能。

1,輸入滾子；2,輸入凸輪；3,輸出凸輪；4,輸出滾子

為實現(xiàn)良好的傳動性能,機構(gòu)在主嚙合副中有效利用了奇點。即將輸入滾子中心布置在對應(yīng)于分度中點的主動瞬心線上,并使機構(gòu)的瞬心線在分度中點滿足條件(10)以避免凸輪實際廓線產(chǎn)生干涉。這樣,當(dāng)輸入滾子中心運動到回轉(zhuǎn)中心連線上或連線附近時,凸輪滾子嚙合的壓力角為零或接近于零。加之嚙合點到輸出軸回轉(zhuǎn)中心的距離整體較大,使機構(gòu)的承載能力得到提高。此外,輸出軸上滾子總數(shù)較少也使停歇階段主動凸輪對輸出軸的鎖定作用加強。

然而,該機構(gòu)的速比函數(shù)必須滿足特殊條件,以使瞬心線在分度中點滿足公式(10)。在運動規(guī)律關(guān)于分度中點對稱條件下,速比及其一階導(dǎo)數(shù)在分度中點必有

(11)

(12)

式中:A為兩回轉(zhuǎn)軸的中心距,a為輸入滾子中心到輸入軸回轉(zhuǎn)中心的距離。此時,公式(10)中2k′1-3k′2=0自然滿足。所以速比函數(shù)只需使k1-2k2=0即可。為此,將分度中點處輸入和輸出瞬心線曲率

(13)

(14)

代入k1-2k2=0并化簡得

(15)

公式(11)、(12)、(15)即為雙作用式平行分度凸輪機構(gòu)的速比條件,亦為奇點在平面凸輪機構(gòu)中應(yīng)用的速比條件。由于現(xiàn)有運動規(guī)律不能滿足這組條件,相關(guān)速比函數(shù)必須經(jīng)過特殊設(shè)計。

上述理論和方法已用于雙作用式平行分度凸輪機構(gòu)原型機的研制,初步試驗結(jié)果證實了其有效性。

4 結(jié) 論

(1)旋輪線的奇點條件是發(fā)生點位于所在瞬心線上。奇點處切線方向與瞬心線在對應(yīng)點的法線方向相同。曲率則可能存在無窮大、有限值和零值3種情形,具體情形與瞬心線形狀有關(guān)。

(2)曲率為零的奇點可以在機構(gòu)中得到應(yīng)用。雙作用式平行分度凸輪機構(gòu)將主嚙合副中的滾子中心布置在主動瞬心線上,通過設(shè)計特殊的速比函數(shù),使凸輪理論廓線在奇點處曲率為零。該結(jié)構(gòu)形式有效克服了現(xiàn)有結(jié)構(gòu)形式的不足,改善了機構(gòu)的傳動性能。

(3)本文分析曲線奇點特性的方法對其他類型曲線奇點的研究具有借鑒作用。奇點對其他平面凸輪機構(gòu)也具有一定應(yīng)用價值。

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