電弱磁單極子的存在唯一性

祖定利

(承德石油高等?？茖W(xué)校社科與數(shù)理部，河北承德 067000)

電弱磁單極子的存在唯一性

祖定利

(承德石油高等?？茖W(xué)校社科與數(shù)理部，河北承德 067000)

電弱磁單極子在電弱唯像論中有重要的應(yīng)用。采用動態(tài)打靶的方法證明了在電弱理論下這種磁單極子的存在唯一性，同時也得到了解在原點的漸近估計。

磁單極子;動態(tài)打靶;存在唯一性

1 問題提出

自從Dirac［1］提出了磁單極子的概念以來，磁單極子便一直被廣泛認(rèn)為是理論物理中引人入勝的話題。在文獻(xiàn)［2］中，Cho和Kim利用球?qū)ΨQ假設(shè)及正則化算子把標(biāo)準(zhǔn)Weinberg-Salam模型的拉格朗日算子:

轉(zhuǎn)化為下列的方程組:

這里sin2θw=0.232 5，θw為Weinberg角。同時，他們用數(shù)字模擬法證實這種電弱磁單極子的存在性。這篇文章的目的是用動態(tài)打靶法［3］證明了這種電弱磁單極子是確實存在且唯一的。

2 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分析

本文考慮方程組(1)在變換(f，eρ)→(f，ρ)情況下的一般情形，此時方程組變形為:

由常微分方程初值問題解的存在唯一性定理可知，對任何r，f(r)＞0，事實上，0＜f(r)＜1，這是因為由方程組(2)的第一個方程及初始條件可得f(r)=e-∫r0cρ(r)dr＞ 0 。又由方程組(2)的第二個方程可知，若f(r)≥1，則ρ'(r)≤0。當(dāng)ρ'(r)=0時，這和ρ(0)=0，ρ(∞)=eρ0矛盾;當(dāng)ρ'(r) ＜0時，由于ρ(0)=0，所以ρ(∞) ＜0，這也和邊值條件矛盾。因此0＜f(r)＜1。于是，令U(r)=lnf(r)由方程組(2)變?yōu)橄铝行问?

這個方程是一個半線形方程，而且較難處理，為此我們令r=et，則方程組(3)變?yōu)?

3 數(shù)學(xué)證明

利用動態(tài)打靶法解決問題時，首先要考慮如下初值問題:

因為要尋找一個負(fù)值解，所以我們自然可以合理地要求:

在此假設(shè)下，我們將要證明:當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)膎＞0時，我們可以得到(4)的一個解。從所討論的問題的結(jié)構(gòu)可以看出，邊界條件是U(-∞)=0是一個重要的部分。所以先討論t→-∞的情況.作變量替換:s=-t并將(5)式在 -∞ ＜t≤0改寫成如下形式:

其中U'表示可逆變量s的微分。同時，在不引起歧義的時候，在也用Us表示dU/ds。對于一個m＜0，用U(s;n)來標(biāo)記(6)在解的存在區(qū)間上的唯一解。

現(xiàn)在要對(6)式使用打靶分析法。首先構(gòu)造三個互不相交的集合B-、B0和B+:

引理1:R=B-∪B0∪B+。

證明:如果n?B-，于是對于所有的s＞0，Us(s;n)≥0。假設(shè)存在一個點s0＞0使得Us(s0;n)=0，那么，由U=0是(6)方程的一個平衡點且方程的平衡點不可能在有限點打到，知U(s0;n)≠0。對于(6)式中的方程，由U(s0;n)≠0但Us(s0;n)=0可知，在s=s0處，U″＞0與U″＜0中的必有一個成立。于是，存在一個s＜s0或s＞s0，使得Us(s;n)＜0。這顯然與假設(shè)n?B-相矛盾。于是，對于所有的s＞0成立Us(s;n)＞0并且n∈B0∪B+。所以有R=B-∪B0∪B+。

引理2:集合B-和B+均為非空開集。

證明:首先證明B+是非空的集合。

由(6)式方程可知:

在［0，s］上積分，于是有:

對任意固定的s0＞0，選取n＞0足夠大，必然成立以下兩式:

根據(jù)(7)-(10)，利用達(dá)布定理可得:

?s1∈ (0，s0)，s.t對 ? ∈［0，s1］，均有 Us(s;n) ＞ 0和 U(s;n) ＜ 0且 U(s1;n)=0。

所以，對任何s＞s1，都有:

故，B+是非空的集合。

下證:B+是開集。

假設(shè) s0∈B+，則?s0＞ 0，s.tU(s0，n0) ＞0。于是當(dāng)n1→n0時，對?s∈［0，s0］，均有U(s0;n1)＞0和Us(s;n1)＞0。由(11)式知，對?s＞s0，均有:Us(s;n1)＞0。故B+是開集。

同理可證集合B-均為非空開集。

引理3:B0為非空閉集。而且如果n∈B0，那么對于所有的s＞0成立U(s;n)＜0。

證明:由引理2及連通性定理可知B0為非空b閉集。為證明第二部分，我們假設(shè)成立有一個s0＞0使得U(s;n)=0。由于對于所有的s＞0成立U(s;n)≤0，于是，U在s0＞0處達(dá)到局部最大值。并且成立Us(s;n)=0這顯然與B0的定義矛盾。證畢。

引理4:集合B0事實上是一個單點集。換句話說，正確的打靶值實際上是唯一的。

證明:假設(shè)在B0中存在兩個不同的點n1和n2，于是，U(s;n1)和U(s;n2)分別是相應(yīng)的(7)式的解。

構(gòu)造函數(shù)W(s)=U(s;n1)-U(s;n2)，則此函數(shù)滿足邊界條件W(0)=W(∞)=0和方程:

其中 ξ(t) 在 U(s;n1) 和 U(s;n2) 之間，R'(ξ(s))=2ce2ξ(s).對 W″(s)+3W'(s)=R'(ξ(s))W(s)應(yīng)用最大值原理可知:W(t)≡0這顯然和假設(shè)n1≠n2相互矛盾。證畢。

4 漸進(jìn)估計

若假設(shè)n∈B0，則當(dāng)s→∞ 時，必有U(s;n)→0。故在U(s)=0附近，U″(s)+U'(s)=c(e2U(s)-1)≈2cU(s)，所以該方程可線性化為:

于是有:

把上式帶入(4)式，并注意到在U(s)=0附近，則有:

所以有:

注意到變換s=-t，因此有當(dāng)t→-∞ 時有:

因r=et，所以當(dāng)r→0時有:

［1］P.A.M.Dirac.The Theory of Magnetic Poles［J］.Phys.Rev.74(1948)817.

［2］Y.M.Cho，Kyoungtae Kimm.Electroweak monopoles［J］.hep-th/9705213.

［3］Yisong Yang.Solitons in Field Theory and Nonlinear Analysis［M］.America:Springer Monographs in mathematics，2001.

Existence and Uniqueness of Electroweak Monopole

ZU Ding-li

(Department of Social Sciences，Mathematics and Physics，Chengde Petroleum College，Chengde 067000，Hebei China)

Electroweak monopole has an important application value in the phenomenology of the electroweak theory.This paper mainly proves the existence and uniqueness of the electroweak monopole by dynamical shooting method，and obtains asymptotic estimates for the solutions at original point.

electroweak monopole;dynamical shooting;existence and uniqueness

O44

B

1008-9446(2013)04-0038-04

河北省高等學(xué)?？茖W(xué)研究計劃項目(磁單極子的存在性問題):Z2010208

2013-04-16

祖定利(1977-)，男，陜西渭南人，承德石油高等?？茖W(xué)校社科與數(shù)理部講師，主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)和偏方程方面研究工作。