帶雙軸太陽帆板驅(qū)動(dòng)器的衛(wèi)星建模與姿態(tài)控制

甘克力， 周明瑋， 葛升民， 王磊， 沈毅

(1．哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，黑龍江哈爾濱 150001;2．中國空間技術(shù)研究院，北京 100094)

0 引言

為了充分利用太陽能電池產(chǎn)生的電能，衛(wèi)星上均附帶有太陽帆板。為使太陽能電池達(dá)到盡可能高的利用率，衛(wèi)星還安置了驅(qū)動(dòng)裝置，其主要使命是帶動(dòng)電池陣轉(zhuǎn)動(dòng)并使其法線與太陽光射束重合，以獲取盡可能多的電能。傳統(tǒng)衛(wèi)星太陽帆板驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度，目的是控制太陽帆板使其與太陽光線垂直，但對(duì)太陽帆板引起的撓性振動(dòng)卻沒有任何的抑制作用。到目前為止，僅僅在少數(shù)幾篇報(bào)道性文獻(xiàn)中提及雙自由度太陽帆板驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)［1］:在銥星的系統(tǒng)介紹中提及使用了雙自由度太陽帆板驅(qū)動(dòng)器;α國際空間站文章介紹的圖片中標(biāo)明了帆板可以分別繞α軸和β軸轉(zhuǎn)動(dòng)。除此之外，還沒有看到國外關(guān)于有關(guān)機(jī)構(gòu)控制律介紹的文章。

早期航天器姿態(tài)控制大都基于傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法:P W Likins和A H Gale的研究為撓性航天器動(dòng)力學(xué)與控制的研究奠定了理論基礎(chǔ)［2］;Hughes花費(fèi)了相當(dāng)多的精力研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析與控制問題［3］。現(xiàn)代控制理論中，文獻(xiàn)［4－5］提出了幾種柔性航天器的控制方法;滑模變結(jié)構(gòu)控制作為一種具有快速響應(yīng)、對(duì)模型不確定性和外界干擾同時(shí)具有良好魯棒性的設(shè)計(jì)工具，被廣泛應(yīng)用在航天器的姿態(tài)控制上［6－7］;文獻(xiàn)［8 －9］采用了自適應(yīng)控制方法來處理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性以及干擾力。

上述方法是在單自由度太陽帆板驅(qū)動(dòng)的情況下設(shè)計(jì)的，均受到帆板與衛(wèi)星本體動(dòng)力學(xué)耦合的影響。本文采用的雙自由度太陽帆板驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，可以控制帆板繞其橫軸和縱軸兩個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使太陽帆板振動(dòng)和衛(wèi)星本體的轉(zhuǎn)動(dòng)之間實(shí)現(xiàn)解耦，減小帆板振動(dòng)對(duì)衛(wèi)星本體的影響，提高衛(wèi)星的控制精度［10］。雙自由度太陽帆板驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)在兩個(gè)自由度的方向上都設(shè)置有檢測(cè)裝置和驅(qū)動(dòng)裝置，第二個(gè)自由度由獨(dú)立的電機(jī)控制，可以實(shí)現(xiàn)與衛(wèi)星本體分開機(jī)動(dòng)的功能。尤其是針對(duì)衛(wèi)星大角度機(jī)動(dòng)，可以采用衛(wèi)星本體和帆板分開機(jī)動(dòng)的策略，即衛(wèi)星本體由姿態(tài)控制單元執(zhí)行機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)，帆板由第二個(gè)自由度的電機(jī)驅(qū)動(dòng)。機(jī)動(dòng)方式也可以根據(jù)機(jī)動(dòng)要求選擇同時(shí)機(jī)動(dòng)或分步機(jī)動(dòng)。顧名思義，機(jī)動(dòng)即帆板和衛(wèi)星本體在同一時(shí)間開始機(jī)動(dòng);分步機(jī)動(dòng)則是先控制衛(wèi)星本體跟蹤期望姿態(tài)角，此時(shí)帆板不跟隨衛(wèi)星本體轉(zhuǎn)動(dòng)，衛(wèi)星本體到達(dá)期望位置后，再控制帆板轉(zhuǎn)到帆板與衛(wèi)星本體的連接支架平面內(nèi)。這種驅(qū)動(dòng)方式能夠使太陽帆板撓性振動(dòng)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)的影響大大減小，提高衛(wèi)星姿態(tài)控制精度。

本文針對(duì)帶撓性太陽帆板的衛(wèi)星，采用雙自由度帆板驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，對(duì)其動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行建模，在此基礎(chǔ)上利用反饋線性化方法結(jié)合經(jīng)典PD控制設(shè)計(jì)衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)的控制律并進(jìn)行仿真。

1 帶雙軸帆板驅(qū)動(dòng)器衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型

雙軸太陽帆板驅(qū)動(dòng)模型如圖1所示，其中驅(qū)動(dòng)電機(jī)采用無刷直流電機(jī)，角度傳感器采用旋轉(zhuǎn)變壓器。

圖1 帶雙軸太陽帆板驅(qū)動(dòng)器的衛(wèi)星簡(jiǎn)化模型Fig．1 Model of satellite with dual axis solar array actuator

假設(shè)衛(wèi)星由一個(gè)中心剛體B和m個(gè)一端與其相連的撓性附件Bi構(gòu)成，其中i=(1，2…，m)，此處考慮的是安裝有一個(gè)太陽帆板的衛(wèi)星，故動(dòng)力學(xué)方程中取m=1。由文獻(xiàn)［11］可知，一般的帶有撓性附件衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)方程為

式中:Btrani為平動(dòng)耦合系數(shù)矩陣;Broti為轉(zhuǎn)動(dòng)耦合系數(shù)矩陣;mT為整星質(zhì)量;VT為質(zhì)心線速度;F為作用在衛(wèi)星上的外力;IT為未變形衛(wèi)星的慣量陣;ω為衛(wèi)星的絕對(duì)角速度;TSAT為系統(tǒng)相對(duì)于質(zhì)心的力矩;ζi為結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)角陣;Λi為振型頻率對(duì)角陣;qi為模態(tài)坐標(biāo)。

當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)行大角度機(jī)動(dòng)或與空間站對(duì)接時(shí)，一般忽略軌道推進(jìn)引起的撓性振動(dòng)，只考慮平移運(yùn)動(dòng)與姿態(tài)的耦合，故忽略平動(dòng)耦合系數(shù)的影響。假設(shè)已用有限元法求得在帆板坐標(biāo)系中的帆板轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合系數(shù)矩陣，下文中用Q來表示該耦合系數(shù)矩陣。由于第2節(jié)控制律設(shè)計(jì)過程中將用到四元數(shù)，為區(qū)別開來，改用η表示帆板振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)，則忽略平動(dòng)后的衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程為

由于帆板是雙自由度的電機(jī)控制，所以帆板的振動(dòng)只和帆板自身的轉(zhuǎn)動(dòng)耦合，可單獨(dú)列寫帆板的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

其中，α為帆板轉(zhuǎn)角，Is為太陽帆板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Tα為施加在帆板上的力矩。

當(dāng)?shù)诙€(gè)自由度電機(jī)對(duì)帆板施加力矩來驅(qū)動(dòng)帆板轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，對(duì)衛(wèi)星本體也施加了一個(gè)同樣大小的反作用力矩，因此，帶有太陽帆板雙軸驅(qū)動(dòng)器的衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)?/p>

其中，I為衛(wèi)星本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣。

2 控制律設(shè)計(jì)

下面進(jìn)行帶有雙軸太陽帆板驅(qū)動(dòng)器衛(wèi)星的姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)。本文提出帆板與衛(wèi)星本體分開機(jī)動(dòng)的新型方案，將帆板與衛(wèi)星本體分開控制，實(shí)現(xiàn)帆板和衛(wèi)星本體之間的振動(dòng)解耦，即帆板由第二個(gè)自由度電機(jī)控制驅(qū)動(dòng)，衛(wèi)星本體由中心剛體內(nèi)部的執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制，控制模型的方框圖如圖2所示。

由于所建立的動(dòng)力學(xué)模型中帶有一定的非線性，因此本文采用反饋線性化方法來設(shè)計(jì)衛(wèi)星姿態(tài)控制律［12］。這種方法的核心思想是把一個(gè)非線性系統(tǒng)代數(shù)地轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性系統(tǒng)，以便可以應(yīng)用線性化系統(tǒng)的技巧。

圖2 雙軸太陽帆板衛(wèi)星控制方框圖Fig．2 Control block diagram of satellite with dual axis solar array actuator

根據(jù)反饋的方式和需要可分為輸入－狀態(tài)反饋線性化和輸入－輸出反饋線性化兩種形式。本文采用狀態(tài)反饋線性化，如圖3所示。

圖3 狀態(tài)反饋線性化方框圖Fig．3 Block diagram of feedback linearization

2．1 太陽帆板控制律設(shè)計(jì)

將式(3)中兩式組合，得

其中，ωT為帆板模態(tài)振動(dòng)頻率向量。式(5)經(jīng)整理后可得

設(shè)帆板轉(zhuǎn)角控制指令值為αc，則誤差角e=ααc，由式(3)得

由反饋線性化原理可得

其中，Kp＞0，Kd＞0，且有

2.2 衛(wèi)星本體控制律設(shè)計(jì)

由于常用的歐拉角姿態(tài)方程在大角度機(jī)動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)奇異問題，因此在姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，往往采用四元數(shù)表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。設(shè)ω為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的角速度矢量，它在本體坐標(biāo)系中的分量可以表示為:［ωxωyωz］T，設(shè)q·是軌道坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到本體坐標(biāo)系的四元數(shù)矢量，且q=q0+q1i+q2j+q3k，則應(yīng)用四元數(shù)表示法時(shí)，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程［13－14］可以表示為

其矩陣形式為

其矩陣形式為

分別用W和A表示Ω(ω)和A(q)運(yùn)算矩陣，假設(shè)qe為誤差四元數(shù)，qc為目標(biāo)四元數(shù)，則

由式(10)和式(11)可知

其中ωe為誤差角速度，于是有

根據(jù)反饋線性化原理

由于太陽帆板的安裝結(jié)構(gòu)和帆板分步機(jī)動(dòng)的原因，太陽帆板轉(zhuǎn)動(dòng)的角度和衛(wèi)星本體機(jī)動(dòng)的角度不同，如圖4所示a為太陽帆板連接軸的長(zhǎng)度，b為帆板實(shí)際長(zhǎng)度，衛(wèi)星開始機(jī)動(dòng)時(shí)刻帆板所在平面為OYZ平面。在分步機(jī)動(dòng)的情況下，定義衛(wèi)星本體轉(zhuǎn)動(dòng)角度為φ，則連接軸隨本體的轉(zhuǎn)動(dòng)角度也為φ，但太陽帆板并不隨其轉(zhuǎn)動(dòng)，定義帆板與連接軸之間的夾角為α。因此當(dāng)帆板再需轉(zhuǎn)到OYZ平面內(nèi)時(shí)，需轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為α，則α與φ有如下關(guān)系。

圖4 帆板連接結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig．4 Diagram of array connection mechanism

由正弦定理

其中，β=α－φ。

因此得出帆板轉(zhuǎn)動(dòng)角度和衛(wèi)星本體轉(zhuǎn)動(dòng)角度的關(guān)系為

根據(jù)所研究衛(wèi)星的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，經(jīng)過計(jì)算，得出a=2.1，b=18。

3 Matlab仿真

本文討論的某衛(wèi)星由一個(gè)中心剛體和一個(gè)太陽帆板組成。中心剛體的尺寸為1.6 m×2 m×2.5 m，質(zhì)量為400 kg。太陽帆板的安裝位置與剛體部分的質(zhì)量中心偏離40 cm。太陽帆板長(zhǎng)18 m，寬2 m。整個(gè)衛(wèi)星沿其星體主軸坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是:Ix=5 954 kg·m2;Iy=1 765 kg·m2，Iz=6 042 kg·m2。

其中涉及的參數(shù)帆板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Is=276 kg·m2，帆板前三階振型與轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合系數(shù)分別為6、－5.45、4.008。帆板和衛(wèi)星本體控制參數(shù)如下:滾動(dòng)軸帆板控制參數(shù)為Kpsx=17.18，Kdsx=91.62;衛(wèi)星本體控制參數(shù)為Kpax=535.86，Kdax=2857.9。俯仰軸衛(wèi)星本體控制參數(shù)Kpay=158.85，Kday=847.2。偏航軸衛(wèi)星本體控制參數(shù) Kpaz=543.78，Kdaz=2900.2。由于機(jī)構(gòu)的限制，帆板只能控制繞滾動(dòng)軸的轉(zhuǎn)向，故俯仰軸和偏航軸的控制參數(shù)為0。

衛(wèi)星初始姿態(tài)角為［10°－13°15°］，穩(wěn)定到0°后，滾動(dòng)角機(jī)動(dòng)60°，其他兩軸姿態(tài)角度保持0°。衛(wèi)星本體于50 s機(jī)動(dòng)，帆板于80 s機(jī)動(dòng)。分步機(jī)動(dòng)情況下的姿態(tài)角響應(yīng)、四元數(shù)變化曲線和帆板振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)曲線分別如圖5～圖7所示。

圖5 分步機(jī)動(dòng)情況下的姿態(tài)角響應(yīng)曲線Fig．5 Attitude angles response of synchronized maneuver strategy

圖6 分步機(jī)動(dòng)情況下的四元數(shù)響應(yīng)曲線Fig．6 Attitude quaternion curves of synchronized maneuver strategy

為了與單軸太陽帆板衛(wèi)星進(jìn)行對(duì)比，本文采用實(shí)際工程中應(yīng)用的PD控制律對(duì)單軸驅(qū)動(dòng)情況下的控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。其中俯仰軸采用極點(diǎn)配置法，經(jīng)過仿真調(diào)試，最終確定的控制參數(shù)為Kp=158，Kd=748，其控制律取為

式中:Tcy為俯仰通道控制力矩，θe為俯仰角誤差。

由于滾動(dòng)軸和偏航軸的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)是耦合的，所以先對(duì)兩軸的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行解耦，然后分別進(jìn)行控制。為了達(dá)到姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的解耦，設(shè)計(jì)控制律為

式中:Tcx、Tcx為兩軸控制力矩，ψ、φ為滾轉(zhuǎn)角和偏航角，ITx、ITy、ITz為 IT的三軸分量，控制參數(shù)如下:滾動(dòng)軸控制參數(shù)為Kpx=535.86，Kdx=2679.3;俯仰軸控制參數(shù)為 Kpz=543.78，Kdz=2718.9。

圖7 分步機(jī)動(dòng)情況下的帆板模態(tài)坐標(biāo)Fig．7 Solar array modal coordinate of synchronized maneuver strategy

本節(jié)驗(yàn)證雙軸太陽帆板在抑制撓性振動(dòng)和提高姿態(tài)穩(wěn)定精度方面的可行性與優(yōu)勢(shì)。下面僅給出單軸太陽帆板衛(wèi)星三軸姿態(tài)角仿真曲線即可說明問題。圖8～圖10分別為單軸驅(qū)動(dòng)情況下衛(wèi)星俯仰軸、滾轉(zhuǎn)軸和偏航軸的響應(yīng)曲線。仿真條件為:衛(wèi)星初始姿態(tài)角為［10°－13°15°］，三軸初始角速度均為0。此處對(duì)X軸進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制，其它兩軸進(jìn)行姿態(tài)穩(wěn)定控制這種典型情況進(jìn)行仿真。

由圖5～圖7可以看出，在雙軸驅(qū)動(dòng)情況下，初始狀態(tài)下三軸姿態(tài)角經(jīng)過約15 s達(dá)到穩(wěn)定。滾動(dòng)角機(jī)動(dòng)后經(jīng)過約30 s達(dá)到目標(biāo)姿態(tài)。滾動(dòng)角的超調(diào)量控制在10% ～15%內(nèi)，穩(wěn)定精度優(yōu)于 ±0.001°，俯仰角和偏航角穩(wěn)定時(shí)間為20 s。帆板于機(jī)動(dòng)后經(jīng)過約25 s重新轉(zhuǎn)到OYZ平面內(nèi)。由圖8中帆板前三階模態(tài)坐標(biāo)曲線可知，帆板的撓性振動(dòng)得到了較好的抑制。而單太陽帆板衛(wèi)星仿真中，滾動(dòng)角的超調(diào)量達(dá)到20%，穩(wěn)定精度由于帆板振動(dòng)的影響為±0.1°，俯仰和偏航角穩(wěn)定時(shí)間為25 s。

圖8 單軸太陽帆板衛(wèi)星俯仰角響應(yīng)曲線Fig．8 Pitch angle response of satellite with single axis solar array actuator

圖9 單軸太陽帆板衛(wèi)星滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線Fig．9 Roll angle response of satellite with single axis solar array actuator

圖10 單軸太陽帆板衛(wèi)星偏航角響應(yīng)曲線Fig．10 Yaw angle response of satellite with single axis solar array actuator

4 結(jié)語

由仿真結(jié)果可見，采用雙自由度太陽帆板驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)明顯減少了太陽帆板撓性振動(dòng)的次數(shù)和振幅，并極大的縮短了穩(wěn)定時(shí)間;實(shí)現(xiàn)了帆板振動(dòng)和衛(wèi)星本體之間的解耦，有效的抑制了帆板振動(dòng)對(duì)姿態(tài)角穩(wěn)定精度的影響，將姿態(tài)穩(wěn)定精度提高了2個(gè)數(shù)量級(jí)。

［1］高星，王友平．太陽帆板驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的現(xiàn)狀和近期發(fā)展方向［J］．控制工程，2006，5:54－56．

GAO Xing，WANG Youping．Current situation and development tendency of solar array drive mechanism［J］．Control Engineering of China，2006，5:54 －56．

［2］LIKINS P W，GALE A H．The analysis of interaction between attitude control systems and flexible appendages［C］//Proceedings of the 19th International Astronautical Congress，October 13 －19，1968，New York，USA．1968，2:67－90．

［3］HUGHES P C．Attitude dynamics of a three-axis stabilized satellite with a large flexible solar array［J］．Journal of the Astronautical Sciences，1972，10(3):166 －189．

［4］BEN A J，BURNS J A，CLIFF E M．Time-optimal slewing of flexible spacecraft［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1992，15(2):360－367．

［5］KELLKAR A G，JOSHI S M．Global stabilization of flexible multibody spacecraft using quaternion-based nonlinear control law［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1996，19(5):1186－1188．

［6］靳永強(qiáng)，劉向東，候朝楨．含有參數(shù)不確定性的撓性航天器姿態(tài)跟蹤滑模控制［J］．控制理論與應(yīng)用，2009，26(3):299－304．

JIN Yongqiang，LIU Xiangdong，HOU Chaozhen．Sliding-mode attitude tracking control for a flexible spacecraft with parametric uncertainty［J］．Control Theory and Applications，2009，26(3):299－304．

［7］管萍，劉小河，劉向杰．撓性衛(wèi)星的變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制［J］．控制理論與應(yīng)用，2007，24(3):480－484．

GUAN Ping，LIU Xiaohe，LIU Xiangjie．Variable structure attitude control of flexible satellite［J］．Control Theory and Applications，2007，24(3):480 －484．

［8］GENNARO S D．Adaptive robust tracking of flexible spacecraft in presence of disturbance［J］．Journal of Optimization Theory and Applications，1998，98(3):545 －568．

［9］焦曉紅，張立堯．撓性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)和振動(dòng)抑制的自適應(yīng)控制［J］．電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2011，15(7):94－100．

JIAO Xiaohong，ZHANG Liyao．Adaptive output feedback control of attitude maneuver and vibration suppression for flexible spacecraft［J］．Electric Machines and Control，2011，15(7):94－100．

［10］周明瑋．帶雙軸太陽帆板驅(qū)動(dòng)器的衛(wèi)星建模與控制［D］．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，2010:11－56．

［11］屠善澄．衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制(4)［M］．北京:宇航出版社，2006:420－424．

［12］HASSAN K Khalil．Nonlinear Systems［M］．Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2007:505 －544．

［13］王淑一，魏春嶺，劉其瑞．敏捷衛(wèi)星快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)方法研究［J］．空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2011，37(4):36－40．

WANG Shuyi，WEI Chunling，LIU Qirui．A quick attitude maneuver algorithm for agile satellites［J］．Aerospace Control and Application，2011，37(4):36 －40．

［14］陳萬春，肖業(yè)倫，趙麗紅，等．四元數(shù)的核心矩陣及其在航天器姿態(tài)控制中的應(yīng)用［J］．航空學(xué)報(bào)，2002，21(5):389－392

CHEN Wanchun，XIAO yelun，ZHAO Lihong，et al．Kernel matrix of quaternion and its application in spacecraft attitude control［J］．ACTA Aeronautica et Astronautica Sinica，2002，21(5):389－392．