求解在弱條件下帶不可微項的Broyden方法的收斂性

杜玉琴，孫超

(1.中國青年政治學院經(jīng)濟系，北京100089;2.中國傳媒大學理學院，北京100024)

1 預備知識

本文在文獻基礎上討論了求解非線性方程組

的Broyden方法在弱條件下的收斂性。

設f:D?RN→RN在凸區(qū)域D上二次可微，x0∈D記

我們有

Df(x0)-1存在，λ，β，γ 為給定正數(shù)，f滿足

單調(diào)遞增收斂于t*。

證明 依h(t)的定義有

即 φ(t)在［0，t*］上有意義。因

易知 φ(t)在［0，t*］上單調(diào)遞增，若0 ＜ tk＜ t*，則

用歸納法得由(3)式產(chǎn)生的迭代{tk}是一個單調(diào)遞增有界序列，令式中令 k→∞，得 φ(t-)=0，即 t-=t*，證畢。

引入記號

我們有

引理3 設0＜R ＜S＜T≤t＊＊，u，v，w∈D 滿足

如果f滿足(5)，則

2 主要結論

定理1 由于

的兩個零點。

證明 首先證明對于所有k，恒成立

用數(shù)學歸納法，依定理假設當k=0時(7)成立，先假設當時1≤k≤n，成立，有

當k=n+1時，由{Bk}的定義，易知

利用引理2，引理3及歸納法可證

又根據(jù)迭代(3)式

于是，根據(jù)φ'(t)的單調(diào)遞增性，

另一方面

根據(jù)(8)及引理3，

由Banach定理

從而

這說明，當k=n+1時，(7)式仍成立。依歸納法得證。由引理1知，{xn}是一個柯西序列，設其極限為x*，(9)式中令 n→∞，得

依(7)式，可推得

則由φ(t)在區(qū)間［0，t＊＊)中的單調(diào)及向下的凸性質，用歸納法可證:

仿照(9)式可得

進一步有

事實上，令w＞0，則函數(shù)φw(t)=wh0(t)+wblt-t+β的較小零點隨w的增加而增加，w最多增加到，使得φw-(t)恰有唯一零點，此時φw-(t)的駐點(t)也是φw-(t)的零點，即滿足φw-)=0及

若取

于是

歸納即得(14)式對一切k≥0恒成立，改寫(14)為如下形式

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