考慮列車容量的軌道交通客流分配模型

朱宇婷，毛保華*，李明高，甘恬甜，趙宇剛

(1.北京交通大學(xué)城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點實驗室，北京100044;2.鐵道部經(jīng)濟(jì)規(guī)劃研究院，北京100038)

1 引 言

客流不僅是規(guī)劃軌道交通網(wǎng)絡(luò)、安排工程項目建設(shè)順序、設(shè)計車站規(guī)模和選擇車站設(shè)備容量的依據(jù)，也是軌道交通系統(tǒng)合理安排行車組織的基礎(chǔ).目前，國內(nèi)外的專家學(xué)者在城市道路交通網(wǎng)絡(luò)流量分配方面取得了大量研究成果.然而，軌道交通網(wǎng)絡(luò)與道路交通網(wǎng)絡(luò)的流量分配有著明顯的不同，其不僅要考慮起訖點間的運行時間，還要考慮站臺等待時間(包括因車輛滿載而造成的滯留等待時間).部分學(xué)者采用罰函數(shù)近似替代列車容量，間接計算乘客等待時間［1，2］;部分學(xué)者采用有效服務(wù)頻率近似計算乘客等待時間［3，4］;還有部分學(xué)者采用未上車概率反映乘客滯留現(xiàn)象［5-7］.上述方法都是基于頻率的靜態(tài)客流分配方法，雖然能夠在一定程度上反映軌道交通擁擠現(xiàn)象，但依舊難以準(zhǔn)確描述每趟車的滿載情況.

面對這一問題，Tian［8］建立了多起點單訖點的高峰期公交均衡模型，并研究了不同站點地理位置的差異對高峰流量分布的影響;Hamdouch［9］采用改進(jìn)的時間擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)描述公共交通網(wǎng)絡(luò)，提出了考慮列車容量的客流分配模型.上述文獻(xiàn)雖然能夠嚴(yán)格控制每輛車的滿載情況，較為真實地重現(xiàn)乘客選擇行為，但一些關(guān)鍵問題還沒有得到很好地解決，如乘客站臺滯留過程，擁擠狀態(tài)下各站乘客到達(dá)規(guī)律，以及服務(wù)水平對客流分布的影響等.

本文對軌道交通網(wǎng)絡(luò)的客流分配問題進(jìn)行了理論建模，構(gòu)建了基于時刻表的擬動態(tài)分配模型，并設(shè)計了求解算法.最后，采用了一個多起點單訖點的軌道交通線路對模型及算法進(jìn)行了驗證.

2 網(wǎng)絡(luò)描述及基本假設(shè)

2.1 問題描述

考慮有一條軌道交通線路由始發(fā)站Oa出發(fā)，經(jīng)Ob…Ok等站開往工作區(qū)W，如圖1所示.每天早晨分別有qa、qb…qk個乘客從各站上車去W上班.

圖1 多起點單訖點城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.1 A route network with many-to-one mass transit system

根據(jù)國內(nèi)外軌道交通運營實踐，不失一般性，做出如下假設(shè):

(1)所有列車的編組輛數(shù)一致，即列車具有相同的載客能力，用N0表示列車最大載客量，當(dāng)某一班次列車達(dá)到最大容量，則該站剩余乘客將不能搭乘該班列車，需要排隊等待下一次列車，從而產(chǎn)生車站滯留時間.

(2)列車運行速度恒定，即所有列車在同一區(qū)間具有相同的運行時間.

(3)所有出行者具有相同屬性，即有相同的上班時間，相同的時間價值及相同的擁擠敏感度，且出行者對軌道交通的發(fā)車時間具有完全信息.

(4)軌道交通嚴(yán)格按照列車時刻表運行，根據(jù)到達(dá)工作地W的先后順序?qū)Ω靼啻芜M(jìn)行編號:Γ ={…，-2，-1，0，1，2，…}，其中 0 表示唯一能夠準(zhǔn)時到達(dá)的列車.

(5)不考慮乘客在起訖點發(fā)生的站外消耗時間.

2.2 時間拓展網(wǎng)絡(luò)

任何一條軌道交通都擁有既定的運行方案，為準(zhǔn)確描述這一信息，本文采用列車班次代替具體時間，對既有網(wǎng)絡(luò)圖進(jìn)行時間拓展，生成單線軌道交通時間拓展網(wǎng)絡(luò)，從而將乘客出行時間選擇問題轉(zhuǎn)化成為路徑選擇問題，如圖2所示.

圖2 圖1的時間拓展網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.2 The time-expanded network of the route network in Fig.1

用賦權(quán)有向圖G=(O，W，N，A)表示該拓展網(wǎng)絡(luò)圖.O為乘客居住地集合;W為工作區(qū);N為帶時間屬性的車站節(jié)點集，即每個車站i被拓展成為多個分節(jié)點iτ(τ∈Γ);A為弧集合.

為方便描述，首先定義數(shù)學(xué)符號如下:

cij—— 節(jié)點i和j的時間差，當(dāng)i≠j，i∈N 時，cij表示列車運行，當(dāng)i=j，i∈N時，cij表示乘客滯留等待時間，當(dāng)i∈O或j∈W時，cij表示起、終點站乘客站外消耗時間，根據(jù)假設(shè)5，取其值為0;

s——乘客出發(fā)時刻，其與列車班次相對應(yīng)，即選擇乘坐該班次列車出發(fā)的乘客，其出發(fā)時刻s=τ;

S——乘客出發(fā)時刻集合(?s=S)，用“出發(fā)時刻數(shù)”表示該集合元素的個數(shù);

fij(X)—— 進(jìn)入弧(i，j)的乘客數(shù);

gij(fij(X))——弧(i，j)上產(chǎn)生的擁擠費用，令gij(fij(X))=0.05fij(X);

Δτ——第τ次列車與第0次列車的發(fā)車時間差;

pij——到達(dá)終點時乘客所承擔(dān)的遲到/早到懲罰，當(dāng)且僅當(dāng)j∈W時，該費用發(fā)生，假設(shè)節(jié)點i所帶時間屬性值為 τ，則有 pij=

β——早到時間懲罰;

γ——遲到時間懲罰;

α——時間價值系數(shù).

3 軌道交通客流分配模型

乘客選擇路徑ρ的出行成本主要包含:路徑出行時間、站臺滯留等待時間、票價及出行懲罰(遲到/早到懲罰、擁擠懲罰等).其表達(dá)式為

由于列車最大載客量的存在，各出發(fā)時刻將對應(yīng)多個可能的徑路，即s時刻從起點O出發(fā)的乘客進(jìn)入路徑ρ的概率為［10］

則s時刻從起點O出發(fā)乘客的出行總成本為

軌道交通網(wǎng)絡(luò)的客流分布是一種相互反饋的動態(tài)平衡機制.根據(jù)Wardrop第一原理，軌道交通網(wǎng)絡(luò)客流分布的平衡狀態(tài)可描述為:在OD之間所有可供選擇的路徑中，乘客所選擇的各條路徑上的廣義費用期望值全都相等，且不大于未被選擇路徑的廣義費用期望值.即尋找X*滿足以下變分不等式［11，12］:

式中 C(X)表示流量分配向量X對應(yīng)的費用向量.

本文采用MSA算法求解城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)客流分配問題.具體步驟如下:

Step 1 令 X［0］=0，計算 C(X［0］)，得到每個OD 對 (q，r)的初始出發(fā)時刻s*［1］，令k=k+1，賦值=d(q，r)，得到向量X［1］.

Step 2 計算C(X［k］).重新選擇各OD對的最優(yōu)出發(fā)時刻s*［k］，并賦值

4 數(shù)值試驗

4.1 算例

我們選用一個擁有7站點的簡單網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行實驗，如圖3所示，橫線上的數(shù)字為運營時間(單位:h).輸入?yún)?shù)如下:α=20元/h，β=10元/h，γ=30元/h，列車均勻發(fā)車，發(fā)車間隔H=0.1h，各站出行需求均為900人，列車最大容量為330人.圖4為各站乘客到達(dá)分布情況.

圖3 單線網(wǎng)絡(luò)及收斂結(jié)果圖Fig.3 Single line network and convergence result

圖4 各站乘客到達(dá)分布圖Fig.4 The distribution of passenge in each station

從圖4可以發(fā)現(xiàn)，單線軌道交通客流到達(dá)分布規(guī)律主要可分為三種類型:

①雙峰型.該類客流到達(dá)規(guī)律出現(xiàn)在O3、O4、O5、O6四個車站，受列車容量的限制，這些車站上的乘客乘坐準(zhǔn)點列車的機會較小，他們必須在早到與晚到中做出選擇，從而在分布規(guī)律上呈現(xiàn)出2個明顯的波峰，且隨著車站與終點距離的縮短，波峰間的距離增大.

②單峰型.該類客流到達(dá)規(guī)律出現(xiàn)在O2站，該站乘客雖未直接面對滿員列車，但受后續(xù)4個車站的影響，非正點列車的擁擠度產(chǎn)生了不同程度的提高，對乘客的吸引力減弱，從而在第0時刻周圍形成客流高峰.

③均峰型.該類客流到達(dá)規(guī)律出現(xiàn)在O1站，該站乘客不僅不受列車容量的影響，且在O2站乘客的調(diào)節(jié)下，所能感知到的列車擁擠度也沒有產(chǎn)生明顯變化，因此，其在時間上沒有明顯的高峰時段，客流到達(dá)滿足Tian［8］中提到的均衡現(xiàn)象.

4.2 靈敏度分析

由于模型和算法中涉及變量較多，這些數(shù)據(jù)作為已知條件，對乘客出行選擇行為會產(chǎn)生影響.為了更好地把握乘客出行選擇行為的變化規(guī)律，本節(jié)將針對服務(wù)水平(列車發(fā)車間隔及列車容量兩部分)進(jìn)行靈敏度分析.不同服務(wù)水平下的客流分配結(jié)果如圖5、圖6所示.

從圖5、圖6可以得到以下結(jié)論:

(1)隨著服務(wù)水平的提高，客流分布由雙峰型向單峰型，最后再向均峰型過渡，且越靠近始發(fā)站起點的車站越早進(jìn)入均峰期，越靠近終到站的車站越晚離開雙峰期，這說明越靠近終到站的車站越先擺脫列車容量的干擾.

(2)隨著列車容量的提高，各站乘客的出發(fā)時刻數(shù)逐步脫離雙峰期的穩(wěn)定狀態(tài)，并在單峰期呈現(xiàn)逐步上升的趨勢，最后在均峰期再次出行穩(wěn)定值.這說明乘客的擁擠感知與遭遇滿載列車的概率呈反比，當(dāng)在站乘客確實遭遇滿載列車時，擁擠成本對乘客出行選擇行為的影響幾乎沒有，出行行為集中在較為準(zhǔn)時的幾趟車上.

(3)隨著發(fā)車間隔的減小，均峰期乘客出發(fā)時刻數(shù)增大，這說明乘客的擁擠感知強度與服務(wù)水平成正比，服務(wù)水平越高，乘客對擁擠成本越敏感.

圖5 各站客流到達(dá)規(guī)律變化Fig.5 Thevariation of flow distribution in each station

圖6 各站乘客出發(fā)時刻數(shù)變化Fig.6 The variation of the number passengers’departure time in each station

(4)隨著車站與終點距離的縮小，均峰期乘客出發(fā)時刻數(shù)減小，即各站均峰期出發(fā)時刻數(shù)由多至少依次為:O1、O2、O3、O4、O5、O6.這說明隨著旅行時間的增加，乘客對擁擠越發(fā)敏感，這一結(jié)果與Alfa和Tian相一致.

5 研究結(jié)論

本文提出了一種基于時間拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)的軌道交通擬動態(tài)客流分配模型，將乘客出行時間選擇問題轉(zhuǎn)化成路徑選擇問題.該模型假設(shè)所有乘客具有相同的屬性，且按照先到先服務(wù)的原則進(jìn)入軌道交通網(wǎng)絡(luò);通過設(shè)定連接弧的通過能力，對各次列車的滿載率進(jìn)行控制;能夠較好地反映各站乘客間序貫博弈的特性.

為驗證模型的有效性，本文選用了一個7個站點的城市軌道交通線網(wǎng)進(jìn)行數(shù)值試驗.實驗結(jié)果表明，單線軌道交通客流到達(dá)規(guī)律主要呈現(xiàn)出雙峰型、單峰型和均峰型三種類型，且隨著服務(wù)水平的提高，乘客對擁擠成本越發(fā)敏感，出發(fā)時刻數(shù)逐漸增加，客流到達(dá)分布規(guī)律向均峰型變化.本研究并未考慮彈性需求方面的問題，這也是作者下一步研究的重點.

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