可變擺長的單擺運(yùn)動(dòng)的MATLAB仿真

王 亮，郭曉波

（西南科技大學(xué)，四川 綿陽 621010）

單擺運(yùn)動(dòng)是一個(gè)經(jīng)典的物理模型，在物理學(xué)中有著重要的作用。有文獻(xiàn)研究了雙釘子的小角度下理想單擺運(yùn)動(dòng)[1]，也有文獻(xiàn)通過研究雙絞線的大角度擺運(yùn)動(dòng)來研究混沌現(xiàn)象[2]，對(duì)于小擺角單擺問題的研究已經(jīng)很成熟[3]，但極少地考慮有釘子大角度下單擺運(yùn)動(dòng)的整個(gè)物理過程。

圖1 運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖

此外，MATLAB是一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，提供了計(jì)算、數(shù)值模擬、圖像處理、信號(hào)處理、圖像仿真等功能[4－6]，也提供了圖像與命令交互式的控制[7－8]。部分大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)也可以用 MATLAB仿真來實(shí)現(xiàn)[9]，對(duì)于不同的擺長L1、L2，可以將運(yùn)動(dòng)分成八種情形，并通過MATLAB實(shí)現(xiàn)所有運(yùn)動(dòng)過程交互式可視化仿真。這種方法可以加深對(duì)物理理論的直觀認(rèn)識(shí)。

1 擺球擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的理論分析

用長度為L1的細(xì)繩一端拴著質(zhì)量為m的擺球，另一端固定在點(diǎn)O1處。在點(diǎn)O1正下方距離D的點(diǎn)O2處有一釘子。θ0是初始位置時(shí)與O1O2豎直方向的夾角，在擺球自由下落的過程中，計(jì)算出任意角度時(shí)擺線的拉力T和擺球速度v的值。

建立如下坐標(biāo)：當(dāng)擺球繞著固定點(diǎn)O1轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的擺線與豎直方向的夾角為θ；當(dāng)擺球繞著釘子O2轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的擺線與豎直方向的夾角為φ，取O1點(diǎn)正下方初始角度為零，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，取值范圍是?180°，180°]如圖1所示。

對(duì)于普通的單擺，假設(shè)在擺動(dòng)過程中：擺動(dòng)半徑為R，繩子受到合力為Ftot，擺線與O1O2夾角為β，運(yùn)動(dòng)開始速度為vs。在擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)過程中根據(jù)能量關(guān)系、受力分析及幾何關(guān)系得：

各種情況運(yùn)動(dòng)的分類、滿足條件、參數(shù)變量取值及角度范圍如表1所示。

表1 運(yùn)動(dòng)情況分類表

2 單擺的MATLAB仿真

2.1 界面設(shè)計(jì)

MATLAB GUI界面，整體可以分成五個(gè)板塊：d與角度關(guān)系圖、按鈕與運(yùn)動(dòng)情況說明區(qū)、運(yùn)動(dòng)軌跡圖、參數(shù)設(shè)定區(qū)和狀態(tài)顯示區(qū)。

圖2 仿真總界面圖

通過改變參數(shù)，仿真可得到所有種情況的T-θ（φ）圖與v-θ（φ）圖，本文以運(yùn)動(dòng)最為復(fù)雜的情況Ⅲ作為例子分析，其物理過程為：先后做繞著O1與O2的擺動(dòng)，然后做斜拋運(yùn)動(dòng)，擺球斜拋之后，落到以O(shè)1為圓心，L1為半徑的圓上，然后再做擺動(dòng)。重復(fù)上述情形直到小球僅在O2下方做周期擺動(dòng)。

圖3是情況Ⅲ中三個(gè)條件下的T -θ（φ）和v-θ（φ）曲線：

圖3 三種情況的仿真結(jié)果

2.2 程序流程圖

圖4 程序流程圖

2.3 討 論

圖3中的a、b是 Ⅲ－1情況的結(jié)果，c、d是Ⅲ－3－a，e、f是 Ⅲ－3－b，通過圖形可以看出每次在最低點(diǎn)時(shí)拉力T都會(huì)突變，說明了在此時(shí)擺長的突變，每次斜拋之后都速度都會(huì)突變，繩子未拉直之前做斜拋運(yùn)動(dòng)，拉直之后做擺動(dòng)，說明了繩子拉直的瞬間有能量的損失，引起速度突變。從整個(gè)動(dòng)態(tài)的過程中可以看出來經(jīng)歷斜拋次數(shù)越多時(shí)，每次損失的能量越來越少，最后剩下的能量就比較少，直到小球在O2下方做周期擺動(dòng)。

3 結(jié) 論

對(duì)于擺長可變化的單擺運(yùn)動(dòng)，我們進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析和推導(dǎo)，通過各種臨界條件，將運(yùn)動(dòng)分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ－1、Ⅲ－2、Ⅲ－3－a、Ⅲ－3－b、Ⅳ和Ⅴ共八種情況，并且得到了單擺在各種情況下的計(jì)算公式和詳細(xì)分類，根據(jù)理論推導(dǎo)的公式，用MATLAB實(shí)現(xiàn)物理過程的可視化仿真，并建立了基于MATLAB GUI的可交互的仿真界面，同時(shí)給出三個(gè)可調(diào)參數(shù)，用戶可以通過調(diào)節(jié)不同的參數(shù)，觀察小球運(yùn)動(dòng)軌跡、力、速度等物理參數(shù)動(dòng)態(tài)變化曲線，我們得以完整的了解小球整個(gè)運(yùn)動(dòng)的物理過程。這種交互式的，接近真實(shí)的物理過程的仿真，可以提高物理理論及實(shí)驗(yàn)教學(xué)，使抽象的物理理論知識(shí)以更加直觀的方式展示出來，同時(shí)也可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理理論知識(shí)的理解。

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