線性代數(shù)教學(xué)的認(rèn)識與實(shí)踐

王書臣，張 友

(大連民族學(xué)院理學(xué)院遼寧大連116605)

線性代數(shù)是理工科的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，近年來許多文科專業(yè)也開設(shè)了這門課程，主要是因?yàn)榫€性問題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域以及人文科學(xué)的許多領(lǐng)域中。在快速發(fā)展的電子計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，線性代數(shù)又為算法的模式更新提供了技術(shù)手段和思維源泉。

線性代數(shù)概念多、定理多、結(jié)論也多。學(xué)生乍一接觸很難找到與過去知識之間的聯(lián)系，與實(shí)際生活也建立不起聯(lián)系。這就使一部分學(xué)生在最初接觸線性代數(shù)的時間里，心理受到很大的打擊，可能會一蹶不振，對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了畏懼心理，甚至是厭倦，學(xué)習(xí)消極，最后導(dǎo)致成績上不來。這方面的表現(xiàn)比較普遍，曾做過問卷調(diào)查，也曾訪談過學(xué)生，普遍認(rèn)為線性代數(shù)比微積分難學(xué)。另外，線性代數(shù)的許多技能、技巧需要實(shí)際演練，思想方法也是需要在長期教學(xué)中逐漸滲透與講解才能慢慢領(lǐng)悟，并通過習(xí)題演練逐漸到位。但由于時間短，習(xí)題課的課時比例少，這種先天不足就使目標(biāo)難以實(shí)現(xiàn)。

本文針對線性代數(shù)課程的難點(diǎn)和特點(diǎn)，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，討論了如何學(xué)好和教好線性代數(shù)。從激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知動因、幫助學(xué)生消除抽象感和注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透等方面總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出改進(jìn)的建議。在實(shí)踐中收到良好的效果。

1 激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知動因

認(rèn)知動因是指學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動所需的內(nèi)部驅(qū)動力，起著引發(fā)、指引、維持和增強(qiáng)數(shù)學(xué)活動的作用，是學(xué)生自主參與教學(xué)活動的基礎(chǔ)，真正的學(xué)習(xí)需要學(xué)生全部心理活動的參與，每個學(xué)生頭腦里的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和意向狀態(tài)互為前提，互相促進(jìn)。這將起到激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)，促進(jìn)個性發(fā)展的作用。喚起學(xué)生的求知欲，使學(xué)習(xí)的需求發(fā)自內(nèi)心，產(chǎn)生積極向上的情感，久而久之，學(xué)生將逐漸地養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。體驗(yàn)積極、愉快、進(jìn)取、融洽的情感，培養(yǎng)堅(jiān)強(qiáng)的意識，改變過去消極的學(xué)習(xí)態(tài)度。學(xué)習(xí)成績也自然就會提高上來。

激發(fā)學(xué)生認(rèn)知動因必須精心設(shè)計(jì)每一節(jié)課。例如，在講對線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換時，引進(jìn)《九章算術(shù)》中的一道古算題［1］，讓學(xué)生看到中國古人的解法(方程術(shù))實(shí)質(zhì)上就是線性代數(shù)中的基本方法。設(shè)計(jì)時一定要考慮到讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，尊重學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)組織學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生真正地參與到教學(xué)活動中來，用內(nèi)心的體驗(yàn)與創(chuàng)造去學(xué)習(xí)。在設(shè)計(jì)時，要發(fā)掘多種可能性，重視學(xué)生的非智力因素，以具體形象或問題情境作為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，喚起學(xué)生的求知欲望，使學(xué)習(xí)的需求發(fā)自內(nèi)心，產(chǎn)生積極向上的情感，即使面對學(xué)習(xí)上的困難，也可以進(jìn)行自我調(diào)節(jié)，朝著學(xué)習(xí)的結(jié)果前進(jìn)。

2 幫助學(xué)生消除抽象感

抽象性是困擾學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的最大障礙?，F(xiàn)行的線性代數(shù)教材普遍有一個缺點(diǎn)，就是缺少知識背景，編寫上完全采用邏輯演繹的形式，從定義到定理，從概念到結(jié)論，不是按問題解決的方式來展開知識內(nèi)容，而且，定理往往是成堆的集中出現(xiàn)，讓學(xué)生應(yīng)接不暇。這是所謂抽象的主要根源。這樣就導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)始終處于一種迷惘狀態(tài)，不知在干什么。在做教學(xué)設(shè)計(jì)時，必須充分地考慮到這一點(diǎn)，認(rèn)真對待每一個問題，任何的抽象都是來自具體的，每一種抽象又是可分層次的，由低向高逐級而來的。所以，要找到每一個問題的源頭，使所講內(nèi)容具體化、形象化，這就要求一方面充分利用學(xué)生的已有知識;另一方面要用類比的方法來處理這些內(nèi)容［2-3］。

2.1 抽象概念具體化

掌握概念一般認(rèn)為有兩種方式。一是概念形成方式，即通過若干具體例子，逐步歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程，這是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程。中小學(xué)中的大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念都是用這種方式來學(xué)習(xí)的。另一方式就是概念的同化，即學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來理解接納新概念的過程，這是一個接受學(xué)習(xí)的過程。后者在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用比較普遍。但由概念到概念很抽象，不易掌握。其實(shí)，無論通過哪種方式來獲得概念，其最終目標(biāo)都是掌握同類事物的關(guān)鍵屬性。剛剛?cè)雽W(xué)的大學(xué)生其實(shí)在思維水平上與高中生相差無幾，抽象思維能力是有限的，所以這兩種概念學(xué)習(xí)方式要相互結(jié)合，共同使用，才能使抽象的概念具體化、直觀化、形象化，使學(xué)生學(xué)得更容易、更順暢，達(dá)到掌握概念的目的。

(1)類比法。雖然線性代數(shù)的內(nèi)容很難找到生活實(shí)例，但和中學(xué)的代數(shù)還是有一定聯(lián)系的。在講解某些概念時，可以與初等代數(shù)中的概念進(jìn)行類比。

例如，講可逆矩陣時，可引入學(xué)生非常熟悉的非零實(shí)數(shù)的倒數(shù)的定義，將可逆矩陣與之對于實(shí)數(shù)a≠0若存在b，使ab=1，則稱b是a的倒數(shù)，即b=1/a…在實(shí)數(shù)中，只有0沒有倒數(shù)，它是特殊的，也就是奇異的，對比之下，對于矩陣A，若存在矩陣B，使AB=BA=E，則稱 A是可逆的，B叫A的逆矩陣，A可逆的充分必要條件是|A|≠0，對于|A|=0，A是特殊的，這也正是把不可逆矩陣稱為奇異陣的來由。從中還可看出，單位陣E的地位與作用就如同實(shí)數(shù)中的1。

(2)引導(dǎo)法。先給出一個簡單的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生將其逐漸復(fù)雜化，當(dāng)復(fù)雜到一定程度，用以往知道的概念已經(jīng)很難描述時，再給出新的概念。例如，講矩陣的秩的概念時，先讓學(xué)生觀察一個方程組，如

問學(xué)生這3個方程之間是否有聯(lián)系，是否可相互推出，有的同學(xué)就會發(fā)現(xiàn)第三個方程可以由前個方程推出。即3個方程中“有效方程只有2個”，然后再舉稍微復(fù)雜一些的方程組，讓學(xué)生繼續(xù)觀察，說明有效方程的個數(shù)其實(shí)就是階梯形矩陣中非零行的個數(shù)，這件事很重要。需要下個定義，最后再拋出矩陣的秩的概念［4］。

(3)幾何直觀法。先通過幾何法給學(xué)生一個直觀的印象，再歸納出抽象的概念。

例如，講解向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念時，盡管有中學(xué)的二維向量和三維向量的直觀模型，但四維以上的向量很難建立具體的模型了，n維的就更不用說了，學(xué)生會感到非常抽象。首先從幾何上直觀地給出向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的含義，得出“平面上任意一個向量都可由兩個不平行的向量的線性組合來表示”“空間上任意一個向量都可以由3個不共面的向量的線性組合來表示”的結(jié)論。這實(shí)際上就是向量的分解，蘊(yùn)含了基底的概念。然后再歸納抽象出向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。

2.2 抽象問題具體化

根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，將教材進(jìn)行再加工，找到知識發(fā)生的起點(diǎn)，同時還要指明知識的去向，引導(dǎo)探究，與學(xué)生一起歸納推導(dǎo)出新知識，并將新舊知識進(jìn)行類比，并說明它們之間的關(guān)系，這樣就使教學(xué)內(nèi)容具體而生動，學(xué)生知道目前所學(xué)的內(nèi)容是怎么來的，干什么用的，與其他知識是什么關(guān)系，因而知識就容易接受了。

例如講定理“方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣 P1，P2…，Pt，使 A=PaP2…Pt”時，要先講明這個定理的意義是什么，存在的價(jià)值是什么。為此，將其與小學(xué)的質(zhì)因數(shù)分解、中學(xué)的因式分解作類比，質(zhì)數(shù)是整數(shù)里不可再分解的，是整數(shù)構(gòu)成中的基本元素，質(zhì)因數(shù)分解的意義也就在于要搞清楚每一個整數(shù)的構(gòu)成。同樣的道理，因式分解的意義就在于要搞清楚每一個多項(xiàng)式的構(gòu)成，并為其計(jì)算和證明提供方便。初等矩陣是單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣，而初等變換是矩陣的一種最基本的運(yùn)算，可見，該定理的意義就在于揭示可逆矩陣的結(jié)構(gòu)，并為具體求可逆矩陣提供一個新的途徑。這樣的講解，學(xué)生的思維不再是抽象的，而是非常具體的。由具體到抽象，再又抽象到具體，這樣非常符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更有意義的是，這種學(xué)習(xí)方式避免了一言堂，填鴨式的老一套教學(xué)模式，教學(xué)目標(biāo)是師生共同達(dá)成的，因?yàn)閹熒餐瓿闪硕ɡ淼陌l(fā)現(xiàn)、陳述和證明。也正因?yàn)槿绱?，所學(xué)的內(nèi)容在理解上也較為深刻，大大地減少了“只見樹木，不見森林”的感覺。

3 重視數(shù)學(xué)思想的滲透

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并非只是學(xué)會一招一式的技能和技巧，重要的是掌握其中的精神、思想和方法，只有這樣才能把握它的真諦，才能將數(shù)學(xué)思維遷移到其他領(lǐng)域中。線性代數(shù)中充滿了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對這些思想方法進(jìn)行提煉，在教學(xué)中不斷地揭示、滲透與應(yīng)用，對學(xué)生深刻領(lǐng)悟線性代數(shù)的內(nèi)容，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維方式思考問題和解決問題都有很大幫助。

3.1 抽象概括思想的滲透

抽象在數(shù)學(xué)中是指從研究對象或問題中抽象出數(shù)量關(guān)系或空間形式，而舍棄其他屬性對其進(jìn)行考察的思想方法。高度的抽象性是線性代數(shù)的一大特點(diǎn)，也是一大難點(diǎn)。抽象概括是數(shù)學(xué)中的基本方法，而在線性代數(shù)中則表現(xiàn)的淋漓盡致。線性代數(shù)中的定義、定理、公式及符號等都是抽象再抽象的結(jié)果，如教材中首先從解二元一次方程組和三元一次方程組引出二階行列式和三階行列式的定義，在此基礎(chǔ)上結(jié)合反序數(shù)的概念進(jìn)一步抽象概括出階行列式的定義。n維向量空間的概念也是在已經(jīng)熟知的二維和三維空間的基礎(chǔ)上抽象概括出的，逆矩陣、矩陣的秩、初等矩陣、二次型等概念的得出都體現(xiàn)著這種思想方法。不僅定義如此，在解決問題的方式上也是一樣的，例如，通過線性方程組解的研究，進(jìn)一步升級到對向量空間的線性相關(guān)、線性無關(guān)和極大線性無關(guān)組的研究，反過來，向量空間的極大線性無關(guān)組的研究又為線性方程組解的結(jié)構(gòu)的研究提供更高一層的概括的基礎(chǔ)。實(shí)際上，數(shù)學(xué)中的推廣、一般化也就是數(shù)學(xué)抽象化的一種具體表現(xiàn)［5］。

3.2 求簡精神的滲透

全部的數(shù)學(xué)可以概括為兩件事情，一是如何使描述與刻畫自然或社會現(xiàn)象的語言變得更簡練、更準(zhǔn)確、更形式化;二是如何使改造自然或社會的方法變得更簡潔。這就是數(shù)學(xué)的求簡精神，之所以把它放在精神層面，是因?yàn)樗哂谄胀〝?shù)學(xué)思想方法，具有統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)意識的作用，在線性代數(shù)中，求簡精神貫穿全書始終。從最初的行列式的引入就可以看出，它的引入是為了把解線性方程組算法化，使其通過有限個步驟就可實(shí)現(xiàn)，這對計(jì)算機(jī)高度發(fā)展的今天尤其有重要的意義。當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)解方程組其實(shí)與未知數(shù)的表示無關(guān)，僅與未知數(shù)的系數(shù)有關(guān)，于是，將同解變形簡化為只是對一數(shù)表進(jìn)行變形，于是矩陣的概念產(chǎn)生了(當(dāng)然還有其他因素)，由此，所有的線性變換都可以表示為矩陣的運(yùn)算。在概括了三種初等變換為矩陣的基本變換后，仍感對一矩陣進(jìn)行變形時非常麻煩，尤其是在理論表述和證明中多有不便。于是又創(chuàng)造了三種初等矩陣，使其與三種初等變換相對應(yīng)，這樣在理論表述上就大大簡潔了。再如，研究向量空間時，受平面向量中基底概念的影響，從而抽象出極大無關(guān)組的概念，其基本思路就是在一個向量空間中能用最少的“骨干”向量表示出所有向量，這就是求簡。線性方程組解的結(jié)構(gòu)的研究也體現(xiàn)了這一思路，“能否找到有代表性的一組解，使所有的解都可用它們表示?”“所有的解是否有統(tǒng)一的形式?”“齊次與非齊次方程組的解之間是否有一定的關(guān)系?”正是有了這樣的求簡的“追問”，才得出一系列的研究結(jié)果。

線性代數(shù)中還有許多思想方法，如化歸、歸納、遞推、分類、類比、變換、構(gòu)造等等，應(yīng)在每一節(jié)課中都注意滲透和講解這些思想方法，在做教學(xué)設(shè)計(jì)時，要注意到長期行為與短期行為的關(guān)系，形成系統(tǒng)培養(yǎng)的計(jì)劃，就會把數(shù)學(xué)思想方法教育做的更好［6］。

［1］史炳星.算法初步［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［2］孫小禮.數(shù)學(xué)與文化［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1980.

［3］黃秦安.數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)文化［M］.西安:陜西師大出版社，1999.

［4］同濟(jì)大學(xué).線性代數(shù)［M］.4版.北京:高等教育出版社，2006.

［5］張友，王書臣.高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革和考試改革［J］.黑龍江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(5):62-63.

［6］蕭樹鐵.面向21世紀(jì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探討(續(xù)二)［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2001(3):4-5.