周期分布缺陷對(duì)韌性材料高應(yīng)變率拉伸碎裂過(guò)程的影響＊

鄭宇軒，周風(fēng)華，胡時(shí)勝

（1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國(guó)科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230026；2.寧波大學(xué)教育部沖擊與安全工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 寧波 315211）

材料在沖擊載荷作用下常常會(huì)斷裂成多個(gè)碎片，對(duì)材料動(dòng)態(tài)碎裂機(jī)制的研究是應(yīng)用物理學(xué)、力學(xué)、航天和兵器工程等領(lǐng)域共同關(guān)心的課題。對(duì)于給定材料在給定載荷作用下碎裂時(shí)產(chǎn)生碎片的尺寸，D.E.Grady和M.E.Kipp［1－5］針對(duì)金屬、巖石等多種材料進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，并從物理機(jī)制上對(duì)碎裂現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析，提出了有關(guān)碎片尺寸的計(jì)算公式。

針對(duì)韌性金屬材料，M.E.Kipp等［3］將一個(gè)與斷裂能量相關(guān)的內(nèi)聚斷裂模型引入Mott的卸載波傳播分析，推導(dǎo)出一個(gè)預(yù)測(cè)韌性材料拉伸碎裂過(guò)程中產(chǎn)生碎片的平均尺度的公式。為檢驗(yàn)該公式的適用性，鄭宇軒等［6］利用ABAQUS／Explicit動(dòng)態(tài)有限元軟件模擬了一維應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性金屬（45鋼）桿在高應(yīng)變率拉伸變形過(guò)程中的碎裂現(xiàn)象，并研究了Grady－Kipp公式中的關(guān)鍵參數(shù)如材料密度、應(yīng)變率和材料斷裂能對(duì)碎裂過(guò)程的影響。研究結(jié)果表明：Grady－Kipp公式在廣泛的材料參數(shù)和應(yīng)變率范圍內(nèi)能較好地預(yù)測(cè)碎裂過(guò)程中產(chǎn)生的碎片的平均尺寸。

在數(shù)值模擬過(guò)程中，一個(gè)幾何尺寸和外載荷完全均勻的受拉伸桿，最終斷（碎）裂的發(fā)生位置取決于計(jì)算模型的非均勻性。文獻(xiàn)［6］中研究的是一個(gè)理想的、沒(méi)有任何缺陷的物理模型，導(dǎo)致碎裂發(fā)生的初始缺陷來(lái)自幅度極小的隨機(jī)單元網(wǎng)格差異。事實(shí)上，金屬材料在制造過(guò)程中引入的雜質(zhì)可能引起材料的制造缺陷，在機(jī)械加工過(guò)程中也可能導(dǎo)致表面的幾何缺陷，多晶金屬材料中較大的晶粒還會(huì)導(dǎo)致材料在微觀／介觀尺度上產(chǎn)生不均勻性等。這些不可避免的偏差或缺陷的幅度較大，且具有一定的空間分布特征。學(xué)者們［7－8］對(duì)這些自然產(chǎn)生的初始缺陷對(duì)材料的長(zhǎng)期疲勞壽命和在結(jié)構(gòu)中抗壓及屈曲特性的影響也進(jìn)行了一些研究，但有關(guān)缺陷對(duì)在沖擊載荷作用下材料的斷（碎）裂影響的研究卻并不多見(jiàn)。周風(fēng)華和段忠等［9－10］曾針對(duì)于脆性材料，利用特征線數(shù)值計(jì)算方法研究了具有不同周期特征初始缺陷的一維脆性桿在高應(yīng)變率變形下的碎裂問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于脆性材料，空間分布完全隨機(jī)的初始缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿碎裂中產(chǎn)生的碎片個(gè)數(shù)影響不大；而對(duì)于具有等間距初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿，碎片個(gè)數(shù)在一定的應(yīng)變率區(qū)域內(nèi)完全由初始缺陷個(gè)數(shù)控制。韌性金屬材料中初始缺陷對(duì)其斷（碎）裂過(guò)程的影響是否和脆性材料相似，需進(jìn)一步研究。

本文中，沿用前期工作［6］的計(jì)算模型和材料參數(shù)，分析一個(gè)直徑具有一定周期分布的一維圓桿在高速拉伸變形時(shí)的碎裂過(guò)程。圓桿的橫截面半徑沿軸向?yàn)橹芷谛哉仪€，以此代表外表面的正弦?guī)缀稳毕荨Ｍㄟ^(guò)改變正弦?guī)缀稳毕莸牟ㄩL(zhǎng)和幅值，分析周期性缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿碎裂過(guò)程、碎片個(gè)數(shù)的影響。進(jìn)一步簡(jiǎn)要分析雙幅值復(fù)合幾何缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿碎裂過(guò)程的影響。研究結(jié)果可以對(duì)爆炸與沖擊工程應(yīng)用，如刻槽式破片戰(zhàn)斗部設(shè)計(jì)、定向爆破等實(shí)際問(wèn)題提供參考。

1 有限元模型

圖1 處于一維應(yīng)力狀態(tài)，粗細(xì)不均勻的彈塑性細(xì)長(zhǎng)圓桿的剖面圖Fig.1 Cross section of thin bars in states of 1Dstress with the initial sinusoidal geometric defects

選取一維應(yīng)力狀態(tài)的45鋼彈塑性圓柱桿作為有限元模擬對(duì)象，桿長(zhǎng)L＝100mm，橫截面平均直徑D＝1mm（半徑為r）。采用幾何非均勻性模擬初始缺陷，將圓柱桿的原為直線的母線施加周期性擾動(dòng)，形成外表面具有等間距的正弦?guī)缀稳毕莸拇旨?xì)不均勻圓柱體，如圖1所示。在計(jì)算過(guò)程中，沿圓桿軸向方向施加線性分布的初始速度，可以避免突加載荷時(shí)產(chǎn)生應(yīng)力波干擾，使得圓桿在Mott卸載波產(chǎn)生前始終承受均勻的拉伸應(yīng)變率（速度梯度）。采用Johnson－Cook熱黏塑性本構(gòu)模型描述材料的動(dòng)態(tài)變形和熱軟化特性，采用包含內(nèi)聚力失穩(wěn)斷裂準(zhǔn)則的Johnson－Cook型損傷斷裂模型描述材料的破壞，分別處理?yè)p傷開(kāi)動(dòng)和演化過(guò)程。用一個(gè)等效塑性應(yīng)變作為損傷D的開(kāi)動(dòng)準(zhǔn)則，損傷開(kāi)動(dòng)的臨界應(yīng)變?chǔ)興與應(yīng)力三軸度、應(yīng)變率和溫度相關(guān)，一旦損傷開(kāi)動(dòng)，就可采用斷裂能量判據(jù)來(lái)判斷單元是否失效。一旦單元內(nèi)部損傷達(dá)到1，材料完全破壞，可采用單元消去技術(shù)將失效單元從整體結(jié)構(gòu)中消去。詳細(xì)材料模型和參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［6］。

2 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

2.1 周期性初始缺陷對(duì)一維應(yīng)力桿碎裂過(guò)程的影響

利用ABAQUS／Explicit有限元程序?qū)哂兄芷谛猿跏紟缀稳毕莸囊痪S圓桿拉伸碎裂過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，預(yù)設(shè)正弦分布的缺陷的波長(zhǎng)（即缺陷間距）l＝5mm（在L＝100mm的桿上相當(dāng)于有L／l＝20個(gè)周期）、幅值m＝0.005mm（m／r＝0.01，相當(dāng)于1%的初始擾動(dòng)）的初始缺陷。

計(jì)算表明，具有初始缺陷的韌性金屬桿在不同應(yīng)變率下表現(xiàn)出不同的變形和斷裂特性，圖2給出了具有周期性初始幾何缺陷的一維圓桿在3種不同的恒定拉伸速度下的碎裂情況。恒定拉伸速度v0＝800m／s時(shí)（初始應(yīng)變率8×103s－1），細(xì)長(zhǎng)桿的所有初始缺陷均發(fā)展成頸縮，其中的一部分頸縮最終斷裂，碎片尺寸通常為1個(gè)或2個(gè)被拉長(zhǎng)了的頸縮間距。并且初始缺陷會(huì)在一定程度上抑制細(xì)長(zhǎng)桿其他位置頸縮的生成（碎片中所含明顯頸縮區(qū)域均為初始缺陷位置）。恒定拉伸速度v0＝2km／s（初始應(yīng)變率2×104s－1）時(shí)，細(xì)長(zhǎng)桿的初始缺陷均發(fā)展成頸縮并最終全部斷裂，細(xì)長(zhǎng)桿斷裂位置完全由初始缺陷控制，碎片尺寸恰好為1個(gè)被拉長(zhǎng)了的頸縮間距。恒定拉伸速度v0＝8km／s（初始應(yīng)變率8×104s－1）時(shí)，不僅細(xì)長(zhǎng)桿的初始缺陷均發(fā)展成頸縮并最終全部斷裂，桿的其他位置也有若干頸縮生成，并部分發(fā)生斷裂，碎片尺寸小于或等于1個(gè)被拉長(zhǎng)了的頸縮間距。

圖2 不同恒定拉伸速度下一維應(yīng)力桿碎裂后的形態(tài)Fig.2 Fragmentized 1Dstress bars with initial defects under different pulling velocities

從斷裂時(shí)間來(lái)看，與不施加初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿相比，具有周期性初始缺陷的桿在較低的同等拉伸速度下斷（碎）裂現(xiàn)象一般都提前發(fā)生，如圖3（a）所示。其原因在于：在拉伸過(guò)程中，人為施加的初始缺陷位置的橫截面積偏小而誘發(fā)應(yīng)力集中，造成桿提前進(jìn)入非均勻塑性變形階段（頸縮），使得細(xì)長(zhǎng)桿提前斷（碎）裂。然而隨著應(yīng)變率的提高，如當(dāng)初始應(yīng)變率達(dá)到8×104s－1時(shí)，由于桿的拉伸速度很快，初始缺陷對(duì)引發(fā)頸縮和斷裂來(lái)說(shuō)不起主導(dǎo)作用，細(xì)長(zhǎng)桿其他位置同樣也能發(fā)展出頸縮以及斷裂。此時(shí)具有初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿斷（碎）裂時(shí)間和無(wú)初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿基本一致，如圖3（b）所示。陳磊等［11］曾采用數(shù)值模擬方法分析了無(wú)氧銅圓環(huán)的爆炸膨脹碎裂過(guò)程，得到的圓環(huán)試件碎裂發(fā)生的臨界初始膨脹速度（150m／s）高于實(shí)驗(yàn)結(jié)果（110m／s），差異可能來(lái)自真實(shí)試件中的加工缺陷。

圖3 有無(wú)初始缺陷的一維應(yīng)力桿的平均應(yīng)力歷史曲線Fig.3 Average stress histories of thin bars in states of 1Dstress

圖4 不同應(yīng)變率下一維應(yīng)力桿碎片數(shù)Fig.4 Fragment numbers of thin bars in states of 1Dstress at different strain rates

可見(jiàn)，周期性初始缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿在高應(yīng)變率拉伸碎裂過(guò)程的影響表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率依賴性。為了研究周期性初始缺陷在一個(gè)更廣泛的應(yīng)變率范圍內(nèi)對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿碎裂過(guò)程的影響，分別進(jìn)行了初始應(yīng)變率為5×103～1.5×105s－1的數(shù)值計(jì)算（在發(fā)生碎裂時(shí)刻，由于桿已被拉長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的實(shí)際應(yīng)變率為4.1×103～6.6×104s－1）。圖4給出了不同應(yīng)變率下周期性初始缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿碎裂后碎片個(gè)數(shù)N的影響，橫坐標(biāo)為斷裂時(shí)刻實(shí)際應(yīng)變率（除特別注明外，下文各圖中的應(yīng)變率均采用斷裂時(shí)刻實(shí)際應(yīng)變率）。可以看出，初始缺陷將應(yīng)變率大致分為3個(gè)區(qū)域：

（2）在中間應(yīng)變率區(qū)域（斷裂時(shí)刻實(shí)際應(yīng)變率104≤≤3×104s－1），初始缺陷完全控制了細(xì)長(zhǎng)桿碎裂過(guò)程產(chǎn)生的碎片個(gè)數(shù)，在此區(qū)域，細(xì)長(zhǎng)桿碎片個(gè)數(shù)等于初始缺陷個(gè)數(shù)，與應(yīng)變率無(wú)關(guān)。我們稱在這個(gè)應(yīng)變率范圍，材料的碎裂過(guò)程為缺陷控制碎裂（defect controlled fragmentation）；

2.2 不同波長(zhǎng)的周期性缺陷對(duì)一維應(yīng)力桿碎裂過(guò)程的影響

圖5 具有不同間距的缺陷的一維應(yīng)力桿碎片個(gè)數(shù)與應(yīng)變率的關(guān)系Fig.5 Fragment number of thin bars in states of 1Dstress with different cycles vs.strain rate

在周期性缺陷結(jié)構(gòu)下，缺陷間距由正弦波波長(zhǎng)l決定。為了探討周期性初始缺陷的波長(zhǎng)對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿碎裂過(guò)程的影響，選取初始缺陷幅值相同（m／r＝1%的初始擾動(dòng)）而波長(zhǎng)不同（分別為10、20、30個(gè)周期；l＝10，5，3.33mm）的3種模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如圖5所示，可以看出，不同波長(zhǎng)的周期性初始缺陷對(duì)一維應(yīng)力桿碎裂過(guò)程均表現(xiàn)出相似的作用，均存在一個(gè)由初始缺陷完全控制碎片個(gè)數(shù)，即發(fā)生缺陷控制碎裂的應(yīng)變率區(qū)域（窗口），寬度近似為半個(gè)數(shù)量級(jí)（實(shí)際應(yīng)變率相差約3倍）。隨著初始缺陷個(gè)數(shù)的增多（等間距缺陷間距變?。跏既毕萃耆刂埔痪S應(yīng)力桿碎裂的應(yīng)變率區(qū)域整體往高應(yīng)變率方向平移。

圖6給出了不同波長(zhǎng)下的初始缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿平均應(yīng)力歷史的影響。在初始應(yīng)變率為2×104s－1時(shí)（對(duì)應(yīng)實(shí)際應(yīng)變率約1.5×104s－1），20周期和30周期初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿較無(wú)初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿碎裂時(shí)間明顯提前，而10周期初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿和無(wú)初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿碎裂時(shí)間相近。造成此現(xiàn)象的主要原因是2×104s－1的應(yīng)變率恰巧落于20周期和30周期初始缺陷的“缺陷控制碎裂”窗口的應(yīng)變率范圍以內(nèi)，而大于10周期初始缺陷的“缺陷控制碎裂”窗口的應(yīng)變率（從圖5可以看出）。從圖3的結(jié)果可以知道，如果施加應(yīng)變率落在初始缺陷不起主導(dǎo)作用的區(qū)域時(shí)，初始缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿的碎裂發(fā)生的時(shí)間的影響效果很有限。

圖6 具有不同缺陷間距缺陷的一維應(yīng)力桿應(yīng)力歷史Fig.6 Histories of the average stress in thin bars in states of 1Dstress with different defect spacings

圖7 具有不同缺陷間距缺陷的一維應(yīng)力桿表觀斷裂應(yīng)變和應(yīng)變率的關(guān)系Fig.7 Strain of thin bars in states of 1Dstress with different cycles vs.strain rate

細(xì)長(zhǎng)桿中存在初始幾何缺陷的位置由于應(yīng)力集中使得頸縮優(yōu)先在此形成并發(fā)展，從而細(xì)長(zhǎng)桿整體經(jīng)歷的均勻變形階段提早結(jié)束，最終圓桿的表觀斷裂應(yīng)變變小。如圖7所示，所有缺陷間距的周期性初始缺陷細(xì)長(zhǎng)桿的表觀斷裂應(yīng)變均比無(wú)缺陷的小，但隨著應(yīng)變率的持續(xù)提高，周期性初始缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿的表觀斷裂應(yīng)變的影響逐漸減小，最終與無(wú)初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿表觀斷裂應(yīng)變一致。并且初始幾何缺陷間距越小，細(xì)長(zhǎng)桿表觀斷裂應(yīng)變趨同所需的應(yīng)變率越高。

2.3 不同幅值的周期性缺陷對(duì)一維應(yīng)力桿碎裂過(guò)程的影響

固定缺陷個(gè)數(shù)為20個(gè)，分別對(duì)初始缺陷幅值為0.002 5、0.005、0.02mm（m／r ＝ 0.5%，1%，4%的初始擾動(dòng)）的3種模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如圖8所示，在發(fā)生“缺陷控制碎裂”時(shí)，碎片個(gè)數(shù)均為21。但隨著初始擾動(dòng)的加大，“缺陷控制碎裂”窗口的應(yīng)變率區(qū)域也相應(yīng)變寬，這表明缺陷的影響程度越來(lái)越大。

圖8 具有不同幅值缺陷的一維應(yīng)力桿碎片個(gè)數(shù)和應(yīng)變率的關(guān)系Fig.8 Fragment number of thin bars in states of 1Dstress with different disturbance vs.strain rate

圖9給出了不同幅值下的初始缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿的平均應(yīng)力歷史的影響。初始擾動(dòng)越大，桿引發(fā)頸縮并快速發(fā)展導(dǎo)致斷裂的時(shí)間越早，最終斷（碎）裂時(shí)間越提前。

圖10給出了不同幅值下的初始缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿表觀斷裂應(yīng)變的影響。可以看出，在模擬的應(yīng)變率范圍內(nèi)，具有較大初始擾動(dòng)的細(xì)長(zhǎng)桿的表觀斷裂應(yīng)變始終比具有較小的初始擾動(dòng)的細(xì)長(zhǎng)桿表觀斷裂應(yīng)變小，并沒(méi)有表現(xiàn)出類似于研究不同波長(zhǎng)的初始缺陷時(shí)出現(xiàn)的趨同現(xiàn)象。

圖9 具有不同幅值缺陷的一維桿平均應(yīng)力歷史曲線Fig.9 Histories of the average stress in thin bars in states of 1Dstress with different disturbance

圖10 具有不同幅值缺陷的一維桿表觀斷裂應(yīng)變和應(yīng)變率的關(guān)系Fig.10 Strain of thin bars in states of 1Dstress with different disturbance vs.strain rate

2.4 復(fù)合缺陷對(duì)一維應(yīng)力桿碎裂過(guò)程的影響

上述研究是對(duì)簡(jiǎn)單的、單周期等幅值幾何缺陷進(jìn)行的。事實(shí)上，材料的初始缺陷未必是一個(gè)簡(jiǎn)單的等幅值分布，現(xiàn)簡(jiǎn)單討論具有2種不同幅值的復(fù)合缺陷對(duì)細(xì)長(zhǎng)桿碎裂過(guò)程的影響。初始缺陷仍然是等間距分布（20周期），但是幅值不一致，間隔地分別賦予不同幅值的初始擾動(dòng)（m／r分別為0.5%和1%），如圖11所示。

圖12給出了具有圖11所示的復(fù)合初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿產(chǎn)生碎片的個(gè)數(shù)隨施加應(yīng)變率的變化曲線。與圖4所示的單個(gè)幅值的正弦初始缺陷相比，復(fù)合初始缺陷并不單純地將應(yīng)變率分成“低應(yīng)變率區(qū)域”、“缺陷控制碎裂窗口”和“高應(yīng)變率區(qū)域”等3個(gè)區(qū)域。在原有的缺陷控制碎裂窗口的應(yīng)變率區(qū)域出現(xiàn)了一個(gè)躍階，將原有的缺陷完全控制窗口一分為二。在窗口的前部分區(qū)域，幅值較大的初始缺陷（1%的初始擾動(dòng)）起主導(dǎo)作用，而后部分區(qū)域?yàn)閮烧撸?%的初始缺陷和0.5%初始缺陷）共同控制區(qū)域。

圖11 復(fù)合缺陷的一維應(yīng)力桿的剖面圖Fig.11 Cross section of thin bars in states of 1Dstress with combined defects

圖12 具有復(fù)合缺陷的一維桿碎片個(gè)數(shù)與應(yīng)變率的關(guān)系Fig.12 Fragment number of thin bars in states of 1Dstress with the combined defects vs.strain rate

3 結(jié) 論

（1）具有周期性初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿與無(wú)初始缺陷的細(xì)長(zhǎng)桿相比，在同等拉伸速度下斷（碎）裂現(xiàn)象一般提前發(fā)生。缺陷對(duì)碎裂過(guò)程產(chǎn)生的碎片個(gè)數(shù)和尺寸有明顯影響。在一定應(yīng)變率窗口內(nèi)，周期性初始缺陷完全控制了細(xì)長(zhǎng)桿的碎裂過(guò)程和碎片個(gè)數(shù)，此時(shí)稱材料發(fā)生“缺陷控制碎裂”。

（2）隨著初始缺陷的個(gè)數(shù)增多（缺陷間距減?。l(fā)生“缺陷控制碎裂”的應(yīng)變率窗口整體往高應(yīng)變率方向移動(dòng)，表觀斷裂應(yīng)變趨同所需要的應(yīng)變率幅值也相應(yīng)提高。隨著初始擾動(dòng)的增加（缺陷增大），“缺陷控制碎裂”窗口的應(yīng)變率范圍加寬，細(xì)長(zhǎng)桿斷（碎）裂時(shí)間提前，碎裂時(shí)刻桿的表觀應(yīng)變也變小。

（3）如果存在2類大小不同的初始缺陷，則隨著應(yīng)變率的提高，高幅值缺陷首先起作用，低幅值缺陷在更高的應(yīng)變率下才發(fā)揮作用。在極高的應(yīng)變率下，材料的初始缺陷的影響都被削弱?？梢灶A(yù)計(jì)，更復(fù)雜的空間分布缺陷將打亂“缺陷控制碎裂”的窗口，導(dǎo)致碎片個(gè)數(shù)與施加應(yīng)變率之間呈單調(diào)增加的關(guān)系。

在涉及強(qiáng)動(dòng)載荷作用的實(shí)際工程中，有時(shí)會(huì)主動(dòng)在結(jié)構(gòu)元件中引入規(guī)則缺陷，造成結(jié)構(gòu)的特定破碎模式。本文中辨識(shí)“缺陷控制碎裂”現(xiàn)象以及發(fā)生這種現(xiàn)象的應(yīng)變率窗口，對(duì)工程設(shè)計(jì)有指導(dǎo)作用。

［1］Grady D E.Fragmentation of solids under impulsive stress loading［J］.Journal of Geophysics Research，1981，86（B2）：1047－1054.

［2］Grady D E.Local inertial effects in dynamic fragmentation［J］.Joural of Applied Physics，1982，53（1）：322－325.

［3］Kipp M E，Grady D E.Dynamic fracture growth and interaction in one－dimension［J］.Journal of Mechanics and Physics of Solids，1985，33（4）：399－415.

［4］Grady D E，Kipp M E.Experimental measurement of dynamic failure and fragmentation properties of metals［J］.International Journal of Solids and Structures，1995，32（17／18）：2779－2991.

［5］Grady D E，Olsen M L.A statistics and energy based theory of dynamic fragmentation［J］.International Journal of Impact Engineering，2003，29（1／2／3／4／5／6／7／8／9／10）：293－306.

［6］鄭宇軒，胡時(shí)勝，陳磊，等.材料參數(shù)對(duì)韌性材料高應(yīng)變率拉伸碎裂過(guò)程的影響［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2012，43（5）：861－870.Zheng Yu－xuan，Hu Shi－sheng，Chen Lei，et al.Effect of material properties on the fragmentation of ductile materials under high strainrate tension［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2012，43（5）：861－870.

［7］Kudish Ilya I.Fatigue modeling for elastic materials with statistically distributed defects［J］.Journal of Applied Mechanics，2007，74（6）：1125－1133.

［8］向紅，傅衣銘.損傷對(duì)具初始缺陷壓桿蠕變后屈曲路徑的影響［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25（2）：229－232.Xiang Hong，F(xiàn)u Yi－ming.Effect of damage on postbuckling of a compressed column with initial imperfection［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2004，25（2）：229－232.

［9］Zhou F，Molinari J F，Ramesh K T.A cohesive－model based fragmentation analysis：Effects of strain rate and initial defects distribution［J］.International Journal of Solids and Structures，2005，42（18／19）：5181－5207.

［10］段忠，周風(fēng)華.缺陷對(duì)脆性材料碎裂過(guò)程的影響［J］.爆炸與沖擊，2013，33（1）：11－20.Duan Zhong，Zhou Feng－h(huán)ua.Effects of defects on the fragmentation process of brittle materials［J］.Explosion and Shock Waves，2013，33（1）：11－20.

［11］陳磊，周風(fēng)華，湯鐵鋼.韌性金屬圓環(huán)高速膨脹碎裂過(guò)程的有限元模擬［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，43（5）：861－870.Chen Lei，Zhou Feng－h(huán)ua，Tang Tie－gang.Finite element simulations of the high velocity expansion and fragmentation of ductile metallic rings［J］.Acta Mechanica Sinica，2011，43（5）：861－870.