基于時(shí)延預(yù)測(cè)的空間遙操作系統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制

楊艷華 ，陽(yáng)方平 ，李洪誼 ，化建寧，張 峰，余 飛

（1中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所機(jī)器人學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧沈陽(yáng)110016；2泉州師范學(xué)院應(yīng)用科技學(xué)院，福建泉州362000；3中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049；4東北大學(xué),遼寧沈陽(yáng)110014）

1 引言

空間遙操作系統(tǒng)為人類(lèi)探索空間環(huán)境和完成復(fù)雜的空間任務(wù)提供了便利。然而，由于信號(hào)的長(zhǎng)距離傳輸，空間遙操作系統(tǒng)的回路時(shí)延通?？蛇_(dá)幾秒甚至幾十分鐘[1]。對(duì)于空間遙操作，這種大時(shí)延將嚴(yán)重影響操作控制反饋的實(shí)時(shí)性和透明性，從而影響空間遙操作的安全性及可靠性，而且大的時(shí)變時(shí)延可能使系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。因此，許多學(xué)者針對(duì)遙操作系統(tǒng)的時(shí)延問(wèn)題提出了多種控制方法[2-14]。

自從Anderson提出基于無(wú)源的控制算法以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性后，很多學(xué)者將該方法應(yīng)用于位置跟蹤，時(shí)變時(shí)延的穩(wěn)定性分析，以及許多其他的控制目標(biāo)中[3-4]。然而，基于無(wú)源性理論的控制算法雖然能保證任何時(shí)延下的穩(wěn)定性，但是當(dāng)時(shí)延超過(guò)2s時(shí)系統(tǒng)透明性嚴(yán)重下降[5]。另一種遙操作系統(tǒng)的控制方法是基于H∞理論的方法，Leung和Francis等人[6]將時(shí)延建模為系統(tǒng)擾動(dòng)，根據(jù)μ-綜合設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)滿(mǎn)足穩(wěn)定性的同時(shí)，還對(duì)這種時(shí)延擾動(dòng)具有魯棒性。文獻(xiàn)[7-8]在假設(shè)時(shí)延有上界的情況下，設(shè)計(jì)了H∞控制器使得遙操作系統(tǒng)穩(wěn)定，且滿(mǎn)足給定的性能指標(biāo)。這些方法都需要假定時(shí)延的上界，然后再優(yōu)化一個(gè)全局目標(biāo)，因此若假定的時(shí)延上界較大則得到的結(jié)果必然保守，而假定的時(shí)延上界較小卻又很難適應(yīng)各種實(shí)際情況。另外，日本的Imaida等人[9]采用比例微分（Proportion Differentiation，PD）控制方法在大約7s的回路時(shí)延下使得雙邊遙操作系統(tǒng)穩(wěn)定，而且在ETS-VII型衛(wèi)星上成功完成了斜坡跟蹤和插孔試驗(yàn)。

由于模型預(yù)測(cè)控制（model predictive control，MPC）在補(bǔ)償大時(shí)延和解決輸入輸出約束等方面具有很大的優(yōu)勢(shì)，因此學(xué)者們提出將MPC用于遙操作系統(tǒng)的控制中[10-14]。Sheng和Spong[10]提出了一種改進(jìn)的模型預(yù)測(cè)控制方法解決遙操作系統(tǒng)的時(shí)延和輸入輸出約束問(wèn)題。該方法能夠提高雙邊遙操作系統(tǒng)在時(shí)延不確定情況下的魯棒性，但是該方法只適用于固定時(shí)延的情況。2005年，Slama等[11]將廣義預(yù)測(cè)控制（generalized predictive control，GPC）方法用于控制具有通訊時(shí)延和力反饋的雙邊遙操作系統(tǒng)，提出了一種時(shí)延GPC（Delayed GPC）而且將機(jī)械時(shí)延系統(tǒng)的Π-freeness代數(shù)性質(zhì)應(yīng)用于從端以實(shí)現(xiàn)位置跟蹤。但是該方法也只考慮了固定時(shí)延的情況。2007年，Slama等又提出一種改進(jìn)的GPC方法，即雙邊廣義預(yù)測(cè)控制器（BGPC）[12]。他們將這一控制器用于具有通訊延時(shí)和從端力反饋的遙操作系統(tǒng)中，考慮由于實(shí)時(shí)力反饋改變了參考軌跡導(dǎo)致參考軌跡預(yù)先未知的情形。而且，他們采用該方法對(duì)具有從端力反饋，變時(shí)延和數(shù)據(jù)丟失等特征的比例遙操作系統(tǒng)進(jìn)行了試驗(yàn)，取得了良好的控制效果[13]。陳丹和席寧等[14]針對(duì)互聯(lián)網(wǎng)遙操作系統(tǒng)提出了一種基于事件的GPC方法。該方法通過(guò)尋找一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)或者非時(shí)間顯函數(shù)的變量即事件作為運(yùn)動(dòng)參考，主端通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)基于時(shí)延預(yù)測(cè)的路徑管理器在線(xiàn)產(chǎn)生一個(gè)適當(dāng)?shù)念A(yù)測(cè)事件，從端通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)廣義預(yù)測(cè)控制器計(jì)算冗余的控制信息以減小數(shù)據(jù)丟包和大時(shí)延對(duì)系統(tǒng)的影響。然而，這些算法要么只考慮固定時(shí)延，要么只考慮互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)變小時(shí)延，均忽略了時(shí)變時(shí)延大于1s的情形。而且，現(xiàn)有方法通常將主端和從端看作是單自由度機(jī)械臂模型[12，13]，然而在實(shí)際應(yīng)用中往往需要多自由度的控制。因此，現(xiàn)有方法在實(shí)際應(yīng)用中具有很大的局限性。

本文受文獻(xiàn)[12]和[14]啟發(fā)，針對(duì)具有多自由度主從端的空間遙操作系統(tǒng)的大時(shí)延問(wèn)題，提出一種基于時(shí)延預(yù)測(cè)的GPC方法。在主端，設(shè)計(jì)時(shí)延預(yù)測(cè)器和GPC控制器，即在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，提出一種基于稀疏矩陣的核非線(xiàn)性回歸方法對(duì)時(shí)延進(jìn)行預(yù)測(cè)。借鑒生物醫(yī)學(xué)上常用的非線(xiàn)性相關(guān)性定義方法計(jì)算時(shí)延序列的非線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，選取與當(dāng)前時(shí)延具有強(qiáng)非線(xiàn)性相關(guān)性的先前時(shí)延序列作為樣本，采用核非線(xiàn)性回歸方法預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的時(shí)延。再將多自由度從端的動(dòng)力學(xué)模型線(xiàn)性化，建立線(xiàn)性狀態(tài)空間方程；操作者根據(jù)反饋的從端接觸力控制操縱桿給出參考位置和速度，結(jié)合前面預(yù)測(cè)的時(shí)延，采用基于狀態(tài)空間模型的方法設(shè)計(jì)GPC控制器使得系統(tǒng)穩(wěn)定，并且滿(mǎn)足位置和速度跟蹤性能要求。在從端，設(shè)計(jì)一個(gè)非線(xiàn)性補(bǔ)償器以補(bǔ)償從端的非線(xiàn)性部分。最后，仿真結(jié)果表明，無(wú)論從端與環(huán)境是否接觸，本文所提方法均能實(shí)現(xiàn)較好的位置和速度跟蹤性能。

2 基于時(shí)延預(yù)測(cè)的空間遙操作系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，主端系統(tǒng)在地面，從端在空間站，兩者之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行通訊。因?yàn)榭刂破鞯膶?shí)現(xiàn)需要大量硬件設(shè)備，因此將時(shí)延預(yù)測(cè)器和GPC設(shè)在主端可以避免將這些設(shè)備運(yùn)送至太空所花費(fèi)的巨大代價(jià)[16]。在主端，操作者根據(jù)空間站反饋的從端機(jī)械臂和環(huán)境的作用力fed（t）控制操縱桿，操縱桿輸出參考位置ym（t）和參考速度vm（t）。然后，根據(jù)參考位置ym（t），參考速度vm（t），預(yù)測(cè)時(shí)延pTd（t），以及從端的時(shí)延位置反饋ysd（t），采用狀態(tài)空間模型的GPC計(jì)算控制量u（t），使從端機(jī)械臂跟蹤主端的參考位置和速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。因此，控制量到達(dá)從端的時(shí)延可看作是回路時(shí)延（round trip time delay，RTT）。時(shí)延預(yù)測(cè)器根據(jù)RTT的統(tǒng)計(jì)特征，采用基于稀疏矩陣的核非線(xiàn)性回歸算法預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的時(shí)延pTd（t）。在從端，非線(xiàn)性補(bǔ)償器用于補(bǔ)償從端機(jī)械臂的非線(xiàn)性部分，并且將從端位置及從端與環(huán)境的作用力反饋給主端。

圖1 空間遙操作系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

3 時(shí)延預(yù)測(cè)

本文提出一種基于稀疏矩陣的核非線(xiàn)性回歸方法對(duì)時(shí)延進(jìn)行預(yù)測(cè)。尋找與當(dāng)前時(shí)延具有強(qiáng)的非線(xiàn)性關(guān)系的時(shí)延數(shù)據(jù)作為樣本，然后根據(jù)這些樣本采用基于核的非線(xiàn)性回歸方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。這種方法比文獻(xiàn)[15]提出的基于稀疏矩陣的線(xiàn)性回歸方法具有更好的預(yù)測(cè)精度[17]。

借鑒生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的非線(xiàn)性相關(guān)性定義計(jì)算時(shí)延序列的非線(xiàn)性相關(guān)性[18]，即若將Y看作是X的函數(shù)，那么給定X，便可根據(jù)非線(xiàn)性回歸曲線(xiàn)預(yù)測(cè)Y的值。這種情況下，根據(jù)回歸曲線(xiàn)估計(jì)出的Y方差稱(chēng)為解釋方差（explained variance）；將Y的真實(shí)方差減去由X估計(jì)出來(lái)的方差定義為未解釋方差；相關(guān)系數(shù)η2表示根據(jù)回歸曲線(xiàn)由X預(yù)測(cè)出的Y的方差的偏差。由于這個(gè)預(yù)測(cè)包含了一步非線(xiàn)性回歸，因此可以采用兩個(gè)數(shù)目有限的數(shù)據(jù)序列來(lái)估計(jì)它們的相關(guān)系數(shù)，以上系數(shù)的估計(jì)值稱(chēng)為非線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)h2。實(shí)際上，將X分成許多小區(qū)間，對(duì)于每個(gè)區(qū)間可以計(jì)算出X的中點(diǎn)值pi和Y在該區(qū)間的平均值qi，回歸曲線(xiàn)可以通過(guò)連接這些點(diǎn)（pi，qi）的直線(xiàn)段來(lái)近似逼近。那么X和Y的非線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)可以寫(xiě)成：

其中，f（xi）是非線(xiàn)性回歸曲線(xiàn)的分段線(xiàn)性近似。

類(lèi)似地，將X看作是Y的函數(shù)可以估計(jì)出。估計(jì)值h2∈［0，1］，等于零時(shí)表明X和Y是相互獨(dú)立的。若X和Y滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系，那么h2是對(duì)稱(chēng)的，即，并且該值接近線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)的平方即r2。對(duì)于非線(xiàn)性關(guān)系≠，而且差值Δh2表明非線(xiàn)性耦合的不對(duì)稱(chēng)程度。即Δh2很小表明X和Y是非線(xiàn)性關(guān)系，且X是Y的單值函數(shù)，若Δh2較大表明X和Y是非線(xiàn)性關(guān)系，且X是Y的非單值函數(shù)。

用式（1）計(jì)算出時(shí)延序列的非線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，然后找出與當(dāng)前時(shí)延具有強(qiáng)非線(xiàn)性相關(guān)性的時(shí)延序列作為回歸樣本，最后采用核回歸方法對(duì)下一時(shí)刻時(shí)延進(jìn)行預(yù)測(cè)。

核回歸方法將樣本數(shù)據(jù)的特征映射到一個(gè)新的特征空間，再尋找能用線(xiàn)性形式表示的關(guān)系。然后，采用嶺回歸方法求解預(yù)測(cè)值[19]。下面簡(jiǎn)要介紹核非線(xiàn)性回歸方法。

給定一個(gè)訓(xùn)練集合S=｛（x1，y1），…，（xl，yl）｝，其中xi是來(lái)自X?Rn的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的yi是來(lái)自Y?Rn。X和Y為非線(xiàn)性關(guān)系，尋找一個(gè)非線(xiàn)性實(shí)值函數(shù)g（X），使之為S的最優(yōu)插值。根據(jù)訓(xùn)練集合S，定義核函數(shù)：

其中，φ是從X到特征空間F的一個(gè)映射，φx∈Rn→φ（x）∈F?RN：。選擇映射φ的目的是把非線(xiàn)性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性關(guān)系。φ的作用是把數(shù)據(jù)集S重新編碼為S=｛（φ（x1），y1，…，（φ（xl），yl）｝。其中 φ（xi）是來(lái)自X?Rn的點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)換為尋找一個(gè)齊次線(xiàn)性實(shí)值函數(shù)：

使之為S的最優(yōu)插值。

定義性能指標(biāo)：

其中，w是回歸系數(shù)，y是實(shí)際值，g（x）是預(yù)測(cè)值，l是樣本數(shù)目，λ是一個(gè)正數(shù)，也是范數(shù)和損失之間的相對(duì)權(quán)衡，從而控制正則化的程度。將上式對(duì)w求導(dǎo)可得

其中，Gij=〈φ（xi），φ（xj）〉。列向量k包括值:ki=〈φ（xi），φ（x）〉，i=1…l。

根據(jù)時(shí)延的特征，選取如下高斯核函數(shù)：

則已知樣本數(shù)據(jù)根據(jù)式（5）和（6）可以預(yù)測(cè)出下一時(shí)刻的時(shí)延。但是由于時(shí)延具有長(zhǎng)程相關(guān)性，為了解決回歸自變量選擇問(wèn)題，借鑒文[15]的方法，將給定的一個(gè)N維RTT時(shí)間序列，按滑動(dòng)窗口大小為n構(gòu)造一個(gè)數(shù)組Ri=[ri-n+1，ri-n+2，…，ri（i=n，n+1，…，N；n

其中，i-n+1≤p＜q

這是一種短期預(yù)測(cè)（一步預(yù)測(cè)）方法，當(dāng)獲得一個(gè)新時(shí)延數(shù)據(jù)，則將窗口向前移動(dòng)一步，再利用前面的方法計(jì)算下一個(gè)時(shí)延。

4 GPC設(shè)計(jì)

4.1 遙操作系統(tǒng)的線(xiàn)性狀態(tài)空間模型

主端和從端的n自由度機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型分別為：

式中，m、s分別表示主端和從端，qm（t）∈Rn和qs（t）∈Rn表示關(guān)節(jié)矢量，Dm（qm）和Ds（qs）表示機(jī)械臂的慣性矩陣，Cm（qm，q˙m），Cs（qs，q˙s）表示機(jī)械臂的哥氏力／向心力矢量，Gm（qm）和Gs（qs）表示機(jī)械手的重力矢量，Γh是操作者施加的轉(zhuǎn)矩，Γs是從端機(jī)械臂的控制輸入轉(zhuǎn)矩，Γe是從端機(jī)械臂與環(huán)境作用力的轉(zhuǎn)矩，Γed是Γe的延時(shí)。

選擇適當(dāng)?shù)腁21，A22使得A是穩(wěn)定的。

若定義一個(gè)轉(zhuǎn)矩輸入為

式中（x）是f（x）的估計(jì)值，τ是時(shí)延，Δu（t-τ）是控制輸入。則由（10）和（12）可得整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)為

式中表示函數(shù)的估計(jì)誤差

此時(shí)，機(jī)械臂控制系統(tǒng)在關(guān)節(jié)空間被線(xiàn)性化，其模型可以用下面的狀態(tài)方程表示

式中，w（t）是系統(tǒng)擾動(dòng)，假設(shè)為零均值的白噪聲；y（t）是從端系統(tǒng)輸出；C表示機(jī)械臂系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系矩陣，這里取C為2n*2n維單位陣。

對(duì)線(xiàn)性化后的機(jī)械臂模型（14）離散化處理，得

式中，Ad，Bd，Cd，Bwd分別對(duì)應(yīng)于式（14）中的A，B，C，以及Bw經(jīng)離散化后獲得的系數(shù)矩陣，d是時(shí)延，d=τ/Ts，Ts是采樣周期。

4.2 基于狀態(tài)空間模型的GPC設(shè)計(jì)

設(shè)在kT時(shí)刻，機(jī)械臂的優(yōu)化性能指標(biāo)為

系統(tǒng)期望的輸出響應(yīng)采用如下形式

其中，ξ是操作者發(fā)出的參考輸入量。式中α值越小，系統(tǒng)魯棒性越強(qiáng)，但這是以降低響應(yīng)速度為代價(jià)的。

由離散模型（15）可以得到以下方程[21]

由式（18）可知，y（k+j|k）不僅與已知的控制增量Δu（k-d），…，Δu（k-1）有關(guān)，還與未知的控制增量Δu（k），…，Δu（k+j-d-1）有關(guān)。因此y（k+j|k）的預(yù)測(cè)值為

其中

由（16），（17），（20）可得

根據(jù)式（15）可以計(jì)算出j步導(dǎo)前輸出y（k+j），由于這個(gè)導(dǎo)前輸出是根據(jù)系統(tǒng)真實(shí)模型參數(shù)推導(dǎo)出來(lái)，而實(shí)際控制器是根據(jù)理論模型參數(shù)（估計(jì)模型參數(shù)）設(shè)計(jì)的，系統(tǒng)真實(shí)模型參數(shù)與理論模型參數(shù)不完全匹配，存在模型誤差。設(shè)用理論模型參數(shù)計(jì)算的導(dǎo)前輸出為yˉ（k+j），則可以利用k時(shí)刻已知的模型輸出誤差（22）來(lái)修正。

其中，，（k+N1）分別為G，F(xiàn)（k+N1）的理論模型參數(shù)值；e（k）是k時(shí)刻的模型輸出誤差；h是誤差修正系數(shù)。根據(jù)優(yōu)化性能指標(biāo)（16），重新計(jì)算閉環(huán)控制策略可得

5 仿真結(jié)果

圖2 平面二連桿機(jī)械臂

不失一般性，主端和從端分別采用如圖2所示的平面二連桿機(jī)械臂。把機(jī)械臂的每條臂看作是質(zhì)量集中在末端的剛體，其質(zhì)量分別為m1=1kg，m2=1kg，長(zhǎng)度為l1=1m，l2=1m，關(guān)節(jié)角為q1，q2，轉(zhuǎn)矩為 Г1，Г2。用MATLAB進(jìn)行仿真，采樣周期Ts=0.1s，控制周期Tc=0.2s。選擇A21=diag｛-1，-1｝，A22=diag｛-2，-2｝，取N1=d+1，N2=N1+4，Nu=5，ρ=20*I（20），μ =10-5*I（10），其中I（i）表示i維單位陣。主從端機(jī)械臂初始狀態(tài)為q1=0rad，q2=0rad，操作者的x軸fhx（t）和y軸fhy（t）作用力分別為幅值 1N，頻率1Hz的正弦輸入。選取前向時(shí)延和反向時(shí)延分別為回路時(shí)延的一半。實(shí)際回路時(shí)延以及預(yù)測(cè)時(shí)延如圖3所示。預(yù)測(cè)時(shí)延的均值相對(duì)誤差為e=0.61%，落在μ＝3σ范圍內(nèi)的預(yù)測(cè)時(shí)延個(gè)數(shù)占總時(shí)延個(gè)數(shù)的99.97%。因此該預(yù)測(cè)方法能夠較精確的預(yù)測(cè)出遙操作回路時(shí)延。

圖3 實(shí)際時(shí)延和預(yù)測(cè)時(shí)延

當(dāng)從端機(jī)械臂與環(huán)境無(wú)接觸，非線(xiàn)性誤差為5%時(shí)，采用本文提出的方法對(duì)大時(shí)延遙操作系統(tǒng)進(jìn)行控制，獲得的位置和速度跟蹤曲線(xiàn)如圖4所示。從圖中可以看出，本文所提方法能夠使系統(tǒng)很好的實(shí)現(xiàn)位置和速度的跟蹤。

當(dāng)從端機(jī)械臂和環(huán)境有接觸時(shí)，假設(shè)環(huán)境模型為：Fe=Kex（t）+Bex˙（t），令Ke=diag｛0.5，0.5｝，Be=diag｛0.1，0.1｝。采用本文所提方法對(duì)其進(jìn)行仿真，系統(tǒng)的位置跟蹤曲線(xiàn)以及人的操作力（fop）和從端和環(huán)境的作用力（fe）曲線(xiàn)如圖5所示。從圖中可以看出，在與環(huán)境接觸的情況下且時(shí)延抖動(dòng)較劇烈時(shí)，本文所提的方法可以實(shí)現(xiàn)較好的位置和速度跟蹤。

6 總結(jié)

時(shí)延問(wèn)題是遙操作系統(tǒng)急需解決的重要問(wèn)題之一。本文針對(duì)具有多自由度主從端的空間遙操作系統(tǒng)的大時(shí)延問(wèn)題，提出了一種新的基于在線(xiàn)時(shí)延預(yù)測(cè)的GPC方法。主端的時(shí)延預(yù)測(cè)器能夠有效地預(yù)測(cè)出下一時(shí)刻的回路時(shí)延，從而能夠動(dòng)態(tài)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)時(shí)延；根據(jù)該預(yù)測(cè)時(shí)延采用基于狀態(tài)空間方法設(shè)計(jì)的GPC使得系統(tǒng)對(duì)于不同的時(shí)延具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。仿真結(jié)果表明，在時(shí)變大時(shí)延的情況下，無(wú)論從端和環(huán)境有無(wú)接觸，本文所提方法均可以使系統(tǒng)穩(wěn)定，還可以獲得好的位置和速度跟蹤性能。未來(lái)的研究工作，主要是根據(jù)環(huán)境和主端的模型，采用GPC方法預(yù)測(cè)將來(lái)的從端參考軌跡，以實(shí)現(xiàn)無(wú)時(shí)延的位置跟蹤?！?/p>

圖4 非線(xiàn)性誤差5%從端與環(huán)境無(wú)接觸時(shí)的位置和速度曲線(xiàn)

圖5 非線(xiàn)性誤差5%從端與環(huán)境接觸時(shí)的位置和力曲線(xiàn)

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