基于模糊樹的Hammerstein－like 模型對超磁致伸縮作動器的建模與控制

張 偉，柳 萍，劉青松，張 臻，毛劍琴，周克敏

(1.北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191;2.路易斯安那州立大學 電氣與計算機工程系，巴吞魯日 70803，美國)

超磁致伸縮作動器具有推進力大、應變大以及響應速度快等優(yōu)點，用于超精密定位、飛機機翼的精密調節(jié)以及結構的主動振動控制中，在航空航天、國防以及國民加工等領域獲得了廣泛的應用。然而，超磁致伸縮作動器在輸入輸出關系上存在著復雜的遲滯非線性特性，嚴重影響了系統(tǒng)的控制精度，甚至造成系統(tǒng)的振蕩，因此，對磁致伸縮作動器的遲滯非線性建模具有重要的工程意義。磁致伸縮作動器的遲滯非線性特性與系統(tǒng)的輸入信號的頻率有關，當系統(tǒng)輸入信號的頻率發(fā)生變化時，遲滯環(huán)的形狀也隨之改變，即表現(xiàn)出率相關性。圖1給出了不同頻率輸入信號下超磁致伸縮作動器的遲滯環(huán)。

圖1 超磁致伸縮作動器在不同頻率下的遲滯環(huán)Fig.1 Rate-dependent hysteresis

傳統(tǒng)的率無關模型，如 Preisach模型［1］、Prandtl-Ishlinskii(PI)模型［2］，已不再適用。繼而一些學者在J－A模型［3］和Preisach模型等基礎上提出改進的率相關建模方法［4－7］，但由于模型的物理機理和結構復雜，參數(shù)難以確定等約束，限制了模型的應用范圍。相比之下計算智能方法機理和所建的模型結構簡單，因此尋找基于計算智能的率相關遲滯建模方法，受到越來越多的學者的關注［8－9］。

本文提出一種新的智能化建模方法，用帶有動態(tài)非線性環(huán)節(jié)的Hammerstein-like模型描述超磁致伸縮作動器的率相關遲滯非線性特性。該方法采用模糊樹擬合非線性環(huán)節(jié)，因為所建模糊樹模型是動態(tài)模型，能夠描述一定的率相關特性，因此所提模型與傳統(tǒng)Hammerstein模型結構相同，但包含了非線性動態(tài)環(huán)節(jié)，為區(qū)別，所提模型稱為Hammerstein-like模型［10］。

傳統(tǒng)的Hammerstein模型是由一個靜態(tài)無記憶非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)一個動態(tài)線性環(huán)節(jié)G(z)構成，其背景是被控對象本身近似線性，但是執(zhí)行機構具有近似靜態(tài)非線性的情況。許多實際非線性系統(tǒng)都可以用Hammerstein模型來表示，該模型已被用在很多的領域，例如:非線性濾波，飽和激勵、聲音圖像處理、信號分析、生物系統(tǒng)以及化學過程等［11－13］。其結構如圖2所示，圖中的u(t)和y(t)分別是測試輸入和系統(tǒng)輸出，v(t)是中間輸入信號，實際過程中是不可測量的。

圖2 Hammerstein非線性動態(tài)模型Fig.2 The structure of Hammerstein model

由于動態(tài)線性系統(tǒng)的辨識算法已經較為成熟，Hammerstein模型辨識的研究目前主要集中在非線性環(huán)節(jié)的擬合上，主要有多項式方法［14－16］、正交基函數(shù)［17］、分段線性化［18－19］、神經網(wǎng)絡［20］、最小二乘支持向 量 機［21－23］，模 糊 聚 類［24－25］等 方 法。 模 糊 樹 方法［26－29］是毛劍琴等提出的基于二叉樹結構的T－S模糊模型辨識方法(FT)，其主要思想是根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)的分布自適應劃分輸入空間，然后將輸入空間分段線性化，用隸屬度函數(shù)將各分段線性函數(shù)光滑連接，最后得到一個精度比較高的非線性映射。該方法的優(yōu)點是建模精度高且在很大程度上緩解了“維數(shù)災”引起的“規(guī)則爆炸”，能有效處理高維輸入輸出數(shù)據(jù)建模問題。目前，據(jù)我們所知，尚無人采用模糊樹方法擬合Hammerstein模型的非線性環(huán)節(jié)，也尚無人采用Hammerstein模型描述超磁致伸縮作動器的率相關遲滯非線性特性。

本文所提建模方法在一個給定的頻率范圍內建立一個統(tǒng)一的模型，使之不僅適用于單一頻率輸入信號，也同樣適用于復合頻率輸入信號。建模仿真結果表明，建模精度能滿足工程要求。另外，基于所提Hammerstein-like模型，設計一種前饋逆補償+PID反饋控制策略，實現(xiàn)了超磁致伸縮作動器的跟蹤控制實驗，實驗結果表明了該控制策略的有效性。

1 模糊樹方法

模糊樹方法［26－29］根據(jù)數(shù)據(jù)樣本的分布情況自適應劃分輸入空間且對輸入數(shù)據(jù)維數(shù)不敏感。輸入空間的劃分情況可以與一棵二叉樹T來對應。在每一個葉節(jié)點t對應的子空間上，用n維超平面yt(x)=(ct)Tx^逼近非線性函數(shù)，其中=［1，xT］T∈Rn+1。如果逼近誤差滿足要求，則停止對該子空間的劃分。對子空間劃分的判別函數(shù)取為超平面gt(x)=(ct)Tx^－θt=0，其中θt為該子空間上輸出數(shù)據(jù)的重心。模糊樹辨識方法根據(jù)gt(x)≥0和gt(x)≤0，可以將該子空間劃分為兩個更精細的子空間，并在gt(x)≈0的區(qū)域定義模糊帶，最終完成對輸入空間的模糊劃分。

模糊空間劃分完畢，即可得到如下一組規(guī)則:

Rl:如果x是Ntl，那么tl∈為葉節(jié)點集合，其中~ctl］T∈Rn+1為線性參數(shù)，Ntl是模糊子空間χtl上定義的模糊集合，對應的隸屬度函數(shù)記為Ntl(x)。若將Ntl(x)的歸一化隸屬度函數(shù)記為 μtl(x)，即 μtl(x)=，則得到模糊樹模型的輸出表達式:

二叉樹每個節(jié)點上的隸屬度函數(shù)按如下方式定義:(1)對于根節(jié)點，

(2)對于非根節(jié)點t，

具體的模糊樹模型的建模步驟見文獻［26－29］。

2 基于模糊樹的Hammerstein-like模型對超磁致伸縮作動器的建模

2.1 建模步驟

所提Hammeratein-like建模方法采用模糊樹擬合模型中的非線性環(huán)節(jié)，所建Hammerstein-like模型能統(tǒng)一描述一定頻率范圍內的遲滯環(huán)。建模步驟如下:

算法1:

Step 1)任意給定某單一頻率為f的正弦輸入信號，所得GMA的輸入輸出數(shù)據(jù)為(x(k)，y(k)，k=1，2，…，M。采用該數(shù)據(jù)用模糊樹方法對GMA建模，用所建動態(tài)模型代替Hammerstein-like模型中的非線性部分。Step 2)采用Matlab命令idinput產生一定頻率范圍內的正弦掃描信號作為GMA的輸入信號，用步驟1)中所建模糊樹模型計算出中間變量v(k)，用v(k)作為線性動態(tài)部分的輸入，用正弦掃描信號對應的GMA輸出數(shù)據(jù)作為線性動態(tài)部分的輸出，辨識線性動態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)。

注釋1:為了解決遲滯環(huán)的多值性問題，建立如下超磁致伸縮作動器的離散動態(tài)模型:

其中:x(k)和y(k)是作動器在時刻k的輸入和輸出，y^(k+1)表示k+1時刻模型的輸出。m和n表示輸入和輸出的動態(tài)階數(shù)。該模型的本質使用作動器當前時刻和歷史時刻的輸入與輸出信息，來預測下一時刻的輸出。式(5)表示的動態(tài)模型的輸入向量包含了歷史時刻的輸入輸出，所以實際上隱含了作動器輸入從一個狀態(tài)到達另一個狀態(tài)的過程信息，因而可以唯一地確定出當前時刻的輸出。仿真實驗表明動態(tài)階數(shù)m和n對建模誤差和檢測誤差都有影響。折衷考慮建模精度和檢測誤差，選動態(tài)階數(shù)m=n=3。建立動態(tài)模型為:

注釋2: 步驟1)中的單一頻率f可以在正弦掃描信號的頻率范圍內任意選取。所提Hammerstein－like模型建模的主要思想是:采用某一單一頻率下的遲滯環(huán)不能很好地描述其他頻率下的遲滯環(huán)，采用該單一頻率下的遲滯環(huán)串聯(lián)辨識得到的線性系統(tǒng)共同描述其他頻率的遲滯環(huán)。值得指出的是，采用模糊樹方法建立的單一頻率的遲滯環(huán)模型是動態(tài)模型，能夠描述一定的率相關遲滯特性。這點正是所建Hammersteinlike模型與傳統(tǒng)Hammerstein模型的不同之處。

2.2 模型驗證

本文采用如圖3所示的由北京航空航天大學材料學院研制的超磁滯伸縮作動器［30］。圖中主要的部件分別為:

TbDyFe桿:超磁致伸縮作動器的核心部件，提供輸出力與位移;

預壓裝置:緊固螺釘和彈簧，通過調整緊固螺釘11的位置，可以調整彈簧2的預壓力，從而獲得較好的性能。超磁致伸縮材料在不同預壓條件下，其伸長變化線性區(qū)間的長度和斜率都不同，其趨勢為壓力增加則曲線斜率增加。為獲得較大的線性段，在作動器中考慮預壓裝置實現(xiàn)對磁致伸縮材料的預壓;

激勵線圈:為超磁致伸縮芯棒產生交變的驅動磁場;

永磁體:為TbDyFe芯棒提供一個附加偏置磁場。

建模的訓練輸入數(shù)據(jù)和檢測輸入數(shù)據(jù)均來自于實驗。用GF－20放大器驅動GMA，用電渦流傳感器測量得到GMA的位移，dSPACE(DS1103)是用來產生輸入信號和確定輸出數(shù)據(jù)采樣時間的，采樣頻率為10 kHz。

圖3 超磁滯伸縮作動器Fig.3 Giant magnetostrictive actuator

選取建模步驟1)中的單一頻率 f=5 Hz，測得8 000對輸入輸出數(shù)據(jù)對，記式(6)中模型的輸入為uk=［x(k);x(k－1);x(k－2);y(k);y(k－1);y(k－2)］T∈R6，輸出為k=y(k+1)，這樣可由實驗得到的8 000對數(shù)據(jù)對產生7 997 對訓練樣本(uk，y^k)，k=3，4，…，7 997，將該訓練樣本作為模糊樹方法建模的輸入輸出數(shù)據(jù)。取模糊規(guī)則數(shù)為4，模糊帶的寬度α=0.01。步驟2)中正弦掃描信號的頻率范圍為0～150 Hz。辨識得到的動態(tài)線性系統(tǒng)為:G(z) =，所建Hammerstein-like模型如圖4所示。

圖4 GMA的Hammerstein-like模型Fig.4 The constructed Hammerstein-like system of GMA

為檢驗所建Hammerstein－like模型的有效性，采用一定頻率范圍內的GMA的輸入輸出數(shù)據(jù)來檢驗。輸入信號為正弦信號，頻率分別為10 Hz，30 Hz，…，150 Hz共計8個單一頻率和5個復合頻率:20/40 Hz，20/40/60 Hz，20/40/60/80 Hz，20/40/60/80/100 Hz和10 ～100 Hz(10 Hz，20 Hz，…，100 Hz的復合)。其中復合頻率信號是由若干個不同頻率和幅值的正弦信號疊加形成，該信號驅動功率放大器作用于GMA上。對于率相關的遲滯非線性系統(tǒng)，在一個頻率段的復合頻率的信號可以激勵其在一個頻率段的率相關特性。采用均方根誤差(RMSE)和相對誤差(RE)作為評價指標。表1給出所建模型對不同頻率的遲滯環(huán)的檢驗結果。從表1可以看出單一頻率下的均方根誤差的最大值為0.904 4，相對誤差均小于7.7%。所建模型能有效地描述0～150 Hz范圍內的單一頻率下的遲滯環(huán)和復合頻率下的遲滯環(huán)。圖5為建模所得的遲滯環(huán)與實驗數(shù)據(jù)所得到的遲滯環(huán)的比較圖。而圖6給出的是不同頻率輸入信號下Hammerstein-like模型的中間變量與實驗數(shù)據(jù)所得的遲滯環(huán)的比較圖，檢驗僅僅采用所建立的單一頻率下的遲滯模型，即Hammerstein-like模型的非線性部分，描述其他頻率下的遲滯環(huán)的效果。從圖5和圖6可以看出，采用單一頻率的遲滯模型無法很好地描述其他頻率下的遲滯環(huán)，而所提Hammerstein-like模型可以很好地描述。

表1 所建Hammerstein-like模型的均方根誤差和相對誤差Tab.1 RMSE and RE of Hammerstein-like system

圖5 模型檢驗(實線:建模得到的遲滯環(huán);虛線:實驗測得的遲滯環(huán))Fig.5 Model validation(solid:the output of the Hammerstein-like model;dashed:GMA output)

圖6 模型檢驗(實線:Hammerstein-like模型的中間變量;虛線:實驗測得的遲滯環(huán))Fig.6 Model validation(solid:the internal variable of the constructed Hammerstein-like model;dashed:GMA output)

為說明步驟1)中的單一頻率f可以任意選取，圖7給出了采用不同f時所得Hammerstein-like模型在不同單一頻率下的遲滯環(huán)的檢驗均方根誤差和相對誤差曲線。

圖7 不同單一頻率f下的均方根誤差和相對誤差曲線Fig.7 The influence of f to the RMSE and RE at different single frequencies

從圖5可以看出，模型的輸出與實驗測得的輸出基本上重合，說明所建的Hammerstein-like模型能較好地反映作動器對單一頻率和復合頻率輸入信號的遲滯非線性特性。同時，步驟1)中單一頻率f的任意選取對建模結果的影響不大。

3 控制器的設計

基于所建模型，采用前饋逆補償+PID反饋控制的控制策略進行正弦輸入信號的跟蹤控制實驗，圖8為控制框圖，其中N－1表示非線性部分的逆模型，其建模方法仍采用模糊樹。G^是辨識出的動態(tài)線性部分G的近似逆，因為G是最小相位系統(tǒng)，因此我們取G^=z－1G－1(z)。

圖8 控制框圖Fig.8 Block diagram of controller

跟蹤控制實驗系統(tǒng)示意圖如圖9所示，實物圖如圖3所示，超磁致伸縮作動器固定于大質量基座上，電渦流傳感器用以測定作動器的輸出端位移，GF－20型功率放大器用以為超磁致伸縮作動器提供放大能源，控制程序下載于dSPACE1103控制卡中，并同時實現(xiàn)輸入輸出信號的采集功能，系統(tǒng)參數(shù)的調試由安裝于上位機的Controldesk實現(xiàn)，實驗采樣時間為10 kHz。

跟蹤效果檢驗:跟蹤信號為正弦信號，頻率為10 Hz，20 Hz，…，150 Hz共計15個單一頻率和4個復合頻 率:10/30 Hz，10/30/50 Hz，20/40/60/80 Hz，20/40/60/80/100 Hz。PID控制器的參數(shù)為kp=1.1，ki=0.5，kd=0.000 01，其中 Kp為比例系數(shù)，kt為積分時間常數(shù)，kd為微分時間常數(shù)。圖10給出了頻率為40 Hz和100 Hz，幅值為10 μm的正弦參考信號的跟蹤實驗結果。圖11給出了復合頻率為10/30/50 Hz和20/40/60/80/100 Hz，幅值為10 μm的復合頻率參考信號的跟蹤實驗結果。表2給出了四次獨立實驗結果相對誤差的平均值。圖12是四次獨立實驗結果單一頻率輸入信號跟蹤結果的相對誤差曲線趨勢。從跟蹤結果可以看出，實際輸出能有效跟蹤參看輸入信號，相對誤差均小于15%，跟蹤精度令人滿意，滿足實際工程要求。

圖9 控制系統(tǒng)示意圖Fig.9 Control system

圖10 單一頻率正弦信號的跟蹤結果(實線:參考輸入信號;虛線:實際輸出)Fig.10 Tracking control results of single frequency(solid:input;dashed:output)

圖11 復合頻率參考信號的跟蹤結果(實線:參考輸入信號;虛線:實際輸出)Fig.11 Tracking control results of multiple frequencies(solid:input;dashed:output)

表2 跟蹤結果的相對誤差Tab.2 RE of tracking control results

圖12 單一頻率下相對誤差曲線Fig.12 The curves of RE at different single frequencies

4 結論

本文提出一種模糊樹的Hammerstein－like模型建模新方法。在給定的頻率范圍內的單一頻率和復合頻率，只需要建立一個統(tǒng)一的模型。所提方法具有很好的精度?；谒崮Ｐ驮O計前饋逆補償+PID反饋控制策略，能較好地跟蹤頻率范圍為1～150 Hz的參考輸入信號，跟蹤精度令人滿意，滿足工程要求，為在線建模和主動振動控制提供了一條可供選擇的途徑。

［1］Mayergoyz.Mathematical models of hysteresis and their Applications［M］.Elsevier，2003.

［2］Brokate M，Sprekels J.Hysteresis and phase transitions.springer verlag［M］.New York，1996.

［3］Brokate M，Sprekels J.Hysteresis and phase transitions［M］.Springer Verlag，New York，1996.

［4］Tan X，Baras J S.Modeling and control of hysteresis in Magentostrictive actuators［J］.Automatica，2004，40(9):1469－1480.

［5］Su C Y，Wang Q，Chen X，et al.Adaptive variable structure control of a class of nonlinear systems with unknown Prandtl-Ishlinskii hysteresis［J］.IEEE Trans.on Automatic Control，2005，50(12):2069－2074.

［6］Mayergoyz I D.Dynamic preisach model for hysteresis［J］.IEEE Trans Mag，1988，24(6).

［7］Klaus K.Modeling，Identification and compensation of complex hysteresis nonlinearitise a modified prandtl-Ishlinskii approach［J］.Europen Journal of Control，2003，9(4):407－418.

［8］Lei W，Mao J Q，Ma Y H.A new modeling method for nonlinear rate-dependent hysteresis system based on LS-SVM［C］. The 10th InternationalConferenceson Control.Automation，Robotics and Vision Hanoi，Vietnam，December 2008:1442－1446.

［9］Nealis J M，Smith R C.Robust control of a magnetostrictive actuator［J］.Proceedings of SPIE Smart Structures and Materials，2003，5049:221 －232.

［10］Rochdi Y，Giri F，Gning J B，et al.Chaoui，Identification of block-oriented systems in the presence of nonparametric input nonlinearities of switch and backlash types［J］.Automatica，2010，46(5):864－877.

［11］Fruzzetti K P，Palazoglu A，McDonald K A.Nonlinear model predictive control using Hammerstein models［J］.Journal of Process Control，1997，7(1):31 －41.

［12］Pearson R K，Pottmann M.Gray-box identification of blockoriented nonlinear models［J］.Journal of Process Control，2000，10(4):301－315.

［13］Eskinat E，Johnson S H，Luyben W L.Use of Hammerstein models in identification of nonlinear systems［J］.AIChE Journal，1991，37(2):255 －268.

［14］Zhu Y.Identification of Hammerstein models for control using ASYM［J］.International Journal of Control，2000，73(18):1692－1702.

［15］ Westwick D， Kearney R. Separable leastsquares identification of nonlinear Hammerstein models:application to stretch reflex dynamics［J］. Annals of Biomedical Engineering，2001，29(8):707－718.

［16］Pawlak M. On the seriesexpansion approach to the identification［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1991，36(6):736－767.

［17］Liu Y，Bai E W.Iterative identification of Hammerstein systems with piecewise-linear nonlinearities［C］.Proceedings of the 2006 American Control Conference.Minneapolis Minnesota，USA，June 2006:2357－2362.

［18］Vanpelt T H，Bernstein D S.Nonlinear systems identification using Hammerstein and nonlinear feedback models with piecewise linear static maps［J］.Proceedings of American Control Conference.Chicago:IEEE，2000，1(6):225－229.

［19］Voros J.Modeling and parameter identification of systems with multi-segment piecewise-linear characteristics［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(1):184 －188.

［20］Duwaish H A，Karim M N. A new methodforthe identification of Hammerstein model［J］.Automatica，1997，33(10):1871－1875.

［21］Espinoza M，Suykens J A K，Demoor B.Partially linear models and least squares support vector machines［C］.Proceedings of the 43rd IEEE Conference on Decision and Control.Atlantis，Bahamas:IEEE，2004:3388 －3393.

［22］Goethals I， PelckmansK， SuykensJA K， etal，Identification of MIMO Hammerstein models using least squares support vector machines［J］.Automatica，2005，41(7):1263－1272.

［23］Chen K，Wang H Q，Song Z H.A recursive method of identification of Hammerstein model based on least squares support vector machines［C］.Proceedings of the 17th IFAC World Congress.Seoul:Elsevier，2008:4993 －4998.

［24］Jia L，Chiu M S，Ge S.A noniterative neuron-fuzzy based identification method for Hammerstein processes［J］.Journal of Process Control，2005，15(7):749 －761.

［25］Jia L，Chiu M S，Ge S，et al.Adaptive neuron-fuzzy identification method of Hammerstein model［C］.Proceedings of the 2004 IEEE Conference on Cybernetics and Intelligent Systems，Singapore，December 2004:937 －942.

［26］Mao J Q，Zhang J G，Yue Y F，et al.Adaptive treestructured-based fuzzy inference systems［J］. IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2005，13(1):1－12.

［27］丁海山，毛劍琴，林 巖.基于模糊樹模型的間接自適應模糊控制［J］.自動化學報，2008，34(6):666－683.DING Hai-shan，MAO Jian-qin，LIN Yan.Indirect adaptive fuzzycontrolbased on FuzzyTreemodel［J］. Acta Automatica Sinica，2008，34(6):666－683.

［28］張建剛，毛劍琴，夏 天，等.模糊樹模型及其在復雜系統(tǒng)辨識中的應用［J］.自動化學報，2000，26(3):378－381.ZHANG Jian-gang，MAO Jian-qin，XIA Tian，et al.Fuzzy tree model and its applications to complex system modeling［J］.Acta Automatica Sinica，2000，26(3):378－381.

［29］Mao J Q，Ding H S.Intelligent modeling and control for nonlinear systems with rate-dependent hysteresis［J］.Science in China Series F:Information Sciences，2009，52(4):656－673.

［30］ Zhang T L ， Jiang C B，Zhang H，et al.Giant magnetostrictive actuators for active vibration control［J］.Smart Materials and Structures，2004，13(3):473 －477.