軸向柱塞泵變量機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模及控制系統(tǒng)仿真分析

郭杰，劉廣瑞

(鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南鄭州450001)

軸向柱塞泵是液壓系統(tǒng)中常用的動力元件，在工業(yè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。伴隨著信息技術(shù)的發(fā)展，軸向柱塞泵的數(shù)字化控制是未來的發(fā)展趨勢。而對軸向柱塞泵變量機(jī)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立和控制仿真，是分析其動態(tài)性能和實(shí)現(xiàn)軸向柱塞泵數(shù)字化控制的前提和基礎(chǔ)。

文中分析的CY14-1B軸向柱塞泵是我國自主研發(fā)的、應(yīng)用廣泛的軸向柱塞泵，對其變量機(jī)構(gòu)控制進(jìn)行研究，有很好的經(jīng)濟(jì)意義和理論價(jià)值。

1 軸向柱塞泵變量機(jī)構(gòu)工作原理

CY14-1B軸向柱塞泵變量機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，油泵出口的壓力油經(jīng)p通道進(jìn)入變量活塞4的下腔d，當(dāng)伺服閥芯1向下運(yùn)動時(shí)，通往上腔g的閥口打開，液壓油通過通道e進(jìn)入變量活塞的上腔，由于上腔活塞的受力面積大于下腔的面積，變量活塞將向下運(yùn)動，這時(shí)通過銷軸2連接在變量活塞上的斜盤3將隨變量活塞的運(yùn)動而改變傾角。同樣，當(dāng)伺服閥芯1向上運(yùn)動時(shí)，通道f與上腔接通，上腔的液壓油在下腔d壓力的作用下將通過通道f流入油箱，這樣變量活塞將向上運(yùn)動，從而帶動斜盤改變傾角。

圖1 CY14-1B軸向柱塞泵變量機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖

2 變量機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模

由上述介紹可知，變量泵的變量機(jī)構(gòu)，可以簡化為一個(gè)三通閥控的差動液壓缸，其中變量活塞的運(yùn)動也會帶動伺服閥體的運(yùn)動，這樣伺服滑閥的開度是閥芯的運(yùn)動與變量活塞運(yùn)動的線性疊加，其物理模型可以簡化成如圖2所示。

圖2 軸向柱塞泵變量機(jī)構(gòu)物理模型圖

其中外力F為斜盤施加給變量活塞的外力，方向與活塞的運(yùn)動方向相反，其大小受負(fù)載影響，在該系統(tǒng)中它屬于負(fù)載干擾。pS和p0分別為變量泵出口壓力和油箱液體壓力，其中p0≈0。

2.1 系統(tǒng)動力學(xué)方程的建立

由圖可知閥口開度與閥芯位移xv和活塞位移xp的關(guān)系式為:

其中:x為閥口的開度。根據(jù)滑閥的流量方程:

其中:Cd為孔口流量系數(shù)，Δp為閥口前后的壓力。使用泰勒展開將其線性化，得到增量形式的線性化流量方程:

式中:Kq為流量增益，，Kc為流量－壓力系數(shù)，。對系統(tǒng)的g腔應(yīng)用流量連續(xù)方程，同時(shí)考慮到液體的可壓縮性和內(nèi)部泄漏問題，可得:

式中:Cip為液壓缸控制腔的內(nèi)部泄漏系數(shù)，βe為液壓系統(tǒng)的綜合彈性模量。根據(jù)系統(tǒng)的動力學(xué)特征，可建立變量活塞的動力學(xué)平衡方程為

式中:Be為活塞與負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)，m為變量活塞的質(zhì)量，可假設(shè)供油壓力ps為常數(shù)，因此方程(3)、(4)、(5)的增量拉普拉斯變換分別為:

2.2 變量機(jī)構(gòu)傳遞函數(shù)的建立

由以上的拉普拉斯方程，可以畫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖，如圖3所示。

圖3 變量機(jī)構(gòu)傳遞函數(shù)方框圖

由傳遞函數(shù)方框圖可知，系統(tǒng)的輸入由兩部分線性疊加而成，分別為閥芯的位移量和干擾外力的作用，輸出為變量活塞的位移量。由拉普拉斯增量方程(6)、(7)、(8)，消去中間變量ΔQ和ΔPc，即控制腔的流量增量和壓力增量，可以得到輸入和輸出之間的關(guān)系式，經(jīng)過計(jì)算可得:

令Kh為液壓彈簧剛度:

式中:ωh為液壓固有頻率，;ξh為阻尼比，;ω1為一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，式 (10)可分解為伺服閥芯的位移量所對應(yīng)的輸出和外力作用下的輸出，其分別對應(yīng)的傳遞函數(shù)為:

限于篇幅，文中著重討論閥芯位移對系統(tǒng)輸出的影響及其控制性能的分析。

3 變量機(jī)構(gòu)的控制性能分析和仿真

在對控制系統(tǒng)的仿真和分析中，以MATLAB為工具，結(jié)合系統(tǒng)的特點(diǎn)對系統(tǒng)進(jìn)行分析。首先對系統(tǒng)本身的性能進(jìn)行分析，然后為改善控制性能引入相應(yīng)的校正裝置。

3.1 閥芯位移與活塞位移傳遞函數(shù)的仿真和分析

由傳遞函數(shù)方框圖可知，閥芯位移和變量活塞位移關(guān)系是一個(gè)有單位負(fù)反饋的閉環(huán)傳遞函數(shù)，這里首先畫出系統(tǒng)的Bode圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由公式(11)可推導(dǎo)出其開環(huán)傳遞函數(shù)為:

可以看出系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，從而可以得知系統(tǒng)對于階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0。

表1為系統(tǒng)的部分重要參數(shù)，將各個(gè)系數(shù)代入式(13)中，在MATLAB下進(jìn)行仿真，可得到系統(tǒng)的Bode圖，見圖4。

表1 部分相關(guān)參數(shù)表

根據(jù)Bode圖，可以看出系統(tǒng)是相對穩(wěn)定的，但是由于系統(tǒng)增益較大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度較小，相位裕度和幅值裕度分別為7.49°和1.28 dB，因此一般情況下，系統(tǒng)的輸入并不是閥芯的位移，而是通過一定的傳動裝置使閥芯移動，這樣便可以降低系統(tǒng)的增益、提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 變量機(jī)構(gòu)開環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖

根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，經(jīng)過仿真可以得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如圖5所示?？梢钥闯?系統(tǒng)存在著很大的超調(diào)量，振蕩次數(shù)較多，調(diào)整時(shí)間也需要改善。因此，對于這樣的系統(tǒng)，需要引入校正裝置來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。

圖5 系統(tǒng)階躍響應(yīng)圖

3.2 引入PD校正的控制系統(tǒng)仿真和分析

為解決系統(tǒng)中存在的問題，這里首先對變量機(jī)構(gòu)搭建一個(gè)簡單的控制方案，即增加了對閥芯位移的傳動裝置和變量活塞位移的反饋。其系統(tǒng)閉環(huán)控制方案圖如所圖6所示。

圖6 閉環(huán)系統(tǒng)的簡單控制方案圖

根據(jù)圖6示的方框圖，可以計(jì)算出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

其實(shí)，增益Kp僅決定著輸入與輸出的幅值比，但是它的大小并不影響系統(tǒng)的開環(huán)增益。這樣一來系統(tǒng)的控制性能并沒有什么提高，只是搭建這樣的控制系統(tǒng)就可以在變量機(jī)構(gòu)外的控制系統(tǒng)中引入控制算法來改善系統(tǒng)的性能，這樣就為不改變變量機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的情況下進(jìn)行計(jì)算機(jī)控制打下了基礎(chǔ)。下面將介紹系統(tǒng)的校正問題。

首先在上述控制系統(tǒng)的前向通道中加入比例校正環(huán)節(jié)，通過調(diào)整比例系數(shù)來觀察其對控制系統(tǒng)性能的影響，增加了比例環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)為式(15)，由于系統(tǒng)自身增益較大，這里取小于1的比例系數(shù)，這樣系統(tǒng)的開環(huán)增益有所減低。

根據(jù)比例系數(shù)的不同，所得到的對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖見圖7。

圖7 不同比例系數(shù)所對應(yīng)的開環(huán)Bode圖

可以看出:系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度分別隨著比例系數(shù)的減小而增加，這意味著系統(tǒng)的穩(wěn)定性也隨著提高。

不同比例系數(shù)下的階躍響應(yīng)如圖8所示，可以看到:隨著比例系數(shù)的減小，上升時(shí)間不斷延長，系統(tǒng)的超調(diào)量顯著降低，振蕩次數(shù)減少，當(dāng)比例系數(shù)降低到一定程度時(shí)系統(tǒng)不再出現(xiàn)振蕩，而是單調(diào)上升。這也說明變量機(jī)構(gòu)中的液壓彈簧是一種動態(tài)彈簧，當(dāng)系統(tǒng)緩慢運(yùn)動時(shí)，同時(shí)由于液體泄漏的問題，抵消了液壓彈簧的作用，這時(shí)的液壓彈簧對系統(tǒng)基本沒有影響。

圖8 不同比例系數(shù)所對應(yīng)的階躍響應(yīng)圖

綜上所述，降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也降低了系統(tǒng)的超調(diào)量，但系統(tǒng)的快速性卻有了一定程度的降低。為提高系統(tǒng)的快速性，可以采用PD控制來實(shí)現(xiàn)。采用PD控制的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

這里以圖8中K4做為PD控制的比例系數(shù)，通過湊試法來調(diào)整微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，最后得到的階躍響應(yīng)如圖9所示。可以看出:通過增加微分調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的快速性有了很大的提高，調(diào)整時(shí)間也有所減少。

圖9 PD控制的階躍響應(yīng)圖

對應(yīng)PD校正后的開環(huán)系統(tǒng)Bode圖如圖10所示，與圖7中比例系數(shù)為K4的Bode圖相比，系統(tǒng)的穩(wěn)定有所提高。

圖10 PD控制的開環(huán)系統(tǒng)Bode圖

4 結(jié)論

通過對軸向柱塞泵的數(shù)學(xué)建模和控制系統(tǒng)仿真，所得到的結(jié)果基本符合變量泵的變量機(jī)構(gòu)實(shí)際工作情況。但是由于線性化所帶來的誤差，以及滑閥的流量增益和流量壓力增益在實(shí)際工作都不是一個(gè)常數(shù)等因素的影響，系統(tǒng)在大范圍快速變化時(shí)，往往產(chǎn)生較大的誤差;而在小范圍變化時(shí)，系統(tǒng)能夠很好滿足一定控制性能的要求，在實(shí)際生產(chǎn)中有很大的意義。

【1】王慶國，吳建勝，范廣民，等．微機(jī)控制數(shù)字變量軸向柱塞泵的研究［J］．沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，21(4):309－312．

【2】姚俊，馬松輝．Simulink建模與仿真［M］．西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2002．

【3】關(guān)景泰．機(jī)電液控制技術(shù)［M］．上海:同濟(jì)大學(xué)出版社，2003．

【4】王慶瑋．單片機(jī)控制數(shù)字變量柱塞泵的研究［D］．沈陽:沈陽工業(yè)大學(xué)，2005．

【5】李東君．基于MATLAB SIMULINK非對稱閥控非對稱液壓缸控制系統(tǒng)的仿真分析［J］．機(jī)床與液壓，2008，36(7):143－146．