微重力環(huán)境下剛液耦合系統(tǒng)液體晃動(dòng)混沌現(xiàn)象研究*

岳寶增 楊旦旦 吳 文軍

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京 1 00081)

微重力環(huán)境下剛液耦合系統(tǒng)液體晃動(dòng)混沌現(xiàn)象研究*

岳寶增?楊旦旦 吳 文軍

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京 1 00081)

微重力下，柱形貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)的速度勢模態(tài)和表面位移模態(tài)難以解析表達(dá)，為揭示液－剛耦合運(yùn)動(dòng)的非線性特性，不失一般性地用常重力下液體晃動(dòng)的速度勢模態(tài)和表面位移模態(tài)近似表示微重力下液體晃動(dòng)的速度勢模態(tài)和表面位移模態(tài)．用泰勒級(jí)數(shù)展開法分析了微重力下柱形貯箱內(nèi)的液體晃動(dòng)，運(yùn)用Lagrange方法導(dǎo)出了微重力下貯箱內(nèi)液體與結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的無量綱動(dòng)力學(xué)方程組，并用Matlab軟件對(duì)該方程組進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，面內(nèi)、外模態(tài)分別具有同類的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為，包括靜止、周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng);在不同的外激勵(lì)參數(shù)下，面內(nèi)、外模態(tài)的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生變化．

微重力， 非線性晃動(dòng)， 耦合動(dòng)力學(xué)， 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)

引言

從Navier－Stokes方程出發(fā)，對(duì)液體晃動(dòng)進(jìn)行時(shí)域的數(shù)值仿真，通常稱為CFD(計(jì)算流體動(dòng)力學(xué))方法，但這種方法需要大量的計(jì)算并且具有跨學(xué)科的特點(diǎn)，采用計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)方法研究晃動(dòng)液體和剛體耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面的研究成果也很少．很多文獻(xiàn)［1－11］在對(duì)充液航天器建模時(shí)，常假設(shè)液體晃動(dòng)幅度遠(yuǎn)小于容器的特征尺寸，將液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)行為線性化．對(duì)于液體非線性晃動(dòng)，和線性晃動(dòng)一樣，對(duì)液體作不可壓縮、無黏、無旋的勢流假設(shè)，由于自由液面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)邊界條件下不能再作線性化處理，同時(shí)液體晃動(dòng)的各階頻率不再是常數(shù)，阻尼也是非線性的，各階晃動(dòng)會(huì)產(chǎn)生內(nèi)共振，無法解耦處理，也無法利用線性疊加原理．通常的處理方法是將未知的自由液面波高和液體速度勢分別展成液體晃動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)的級(jí)數(shù)形式，利用泛函變分導(dǎo)出速度勢函數(shù)廣義坐標(biāo)與波高函數(shù)廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系，運(yùn)用Lagrange方程或Hamilton方程建立起波高函數(shù)廣義坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程，再采用多尺度方法或 J．W．Mile［12］提出的平均 Lagrange 函數(shù)法進(jìn)行分析求解．Peterson 等［13－14］指出，液體－航天器耦合系統(tǒng)在外界激勵(lì)幅值較大時(shí)本質(zhì)上是一個(gè)非線性耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，液體－航天器的動(dòng)力學(xué)行為不能通過將未耦合的液體非線性晃動(dòng)疊加到航天器的線性振動(dòng)上來描述，如果試圖這樣做，就會(huì)導(dǎo)致液體－航天器耦合動(dòng)力學(xué)特性錯(cuò)誤的分析結(jié)果，他們把航天器模型化為一個(gè)彈簧－阻尼－質(zhì)量系統(tǒng)，對(duì)受水平激勵(lì)和豎直激勵(lì)貯箱中液體考慮了前五階晃動(dòng)模態(tài)，研究揭示了十分復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，如豐富的次生晃動(dòng)模態(tài)、密集的內(nèi)共振運(yùn)動(dòng)等．茍興宇［15］對(duì)邦德數(shù)遠(yuǎn)大于1的情況下考慮窄長方形貯箱中液體強(qiáng)迫晃動(dòng)，給出了激勵(lì)中含有恒定分量時(shí)的幾種液面波高修正方法，并對(duì)它們作了對(duì)比．尹立中［16］對(duì)貯箱內(nèi)液體帶有自由液面的充液耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究方法進(jìn)行簡要介紹，概要地綜述了這些問題的研究進(jìn)展．王照林等［17］分析了失重狀態(tài)下球腔內(nèi)液體的靜液面形狀，構(gòu)造特征函數(shù)計(jì)算得到了液體晃動(dòng)參數(shù)．HE Yuan－jun［18］用變分原理建立了微重力環(huán)境下液體晃動(dòng)的壓力體積分形式的Lagrange函數(shù);并將速度勢函數(shù)在自由液面處作波高函數(shù)的級(jí)數(shù)展開，從而導(dǎo)出自由液面運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)邊界條件非線性方程組，并用多尺度法對(duì)其進(jìn)行了解析研究，分析了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性隨Bond數(shù)的變化規(guī)律、跳躍和滯后等非線性晃動(dòng)現(xiàn)象．Faltinsen［19－23］等提出多維模態(tài)方法，用來分析矩形貯箱中的液體非線性晃動(dòng)問題，它們的研究成果接連發(fā)表在流體力學(xué)的頂級(jí)雜志JFM上，理論分析與實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果取得了一致，是一種用來分析液體非線性晃動(dòng)的有效的模態(tài)解析方法．其基本思想是根據(jù)問題的具體情況選取主導(dǎo)模態(tài)和與其關(guān)系密切的次生模態(tài)，然后采用Narimanov－Moiseev三階漸進(jìn)假設(shè)，完成無窮維模態(tài)系統(tǒng)的降階．對(duì)于實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的液體飛濺現(xiàn)象所導(dǎo)致的能量耗散，它們通過假設(shè)飛濺液體的動(dòng)能和勢能消失來加以考慮．余延生［24］將多維模態(tài)方法應(yīng)用于圓柱貯箱液體非線性晃動(dòng)問題的研究中，選取了兩階主導(dǎo)模態(tài)和三階次生模態(tài)，推導(dǎo)出了描述圓柱貯箱液體自由晃動(dòng)的五階漸進(jìn)模態(tài)系統(tǒng)，最后通過數(shù)值仿真揭示了一些典型的非線性現(xiàn)象．Abramson［25］等對(duì)推進(jìn)劑晃動(dòng)的早期研究進(jìn)行了全面、系統(tǒng)綜述，并附錄了大量的參考文獻(xiàn)．岳寶增［26］闡述了儲(chǔ)液罐動(dòng)力學(xué)與控制的工程應(yīng)用背景，從儲(chǔ)液罐類液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)、液體晃動(dòng)等效力學(xué)模型和儲(chǔ)液罐多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制等三個(gè)方面回顧了儲(chǔ)液罐動(dòng)力學(xué)與控制的研究進(jìn)展，并附錄了大量的參考文獻(xiàn)．

本文研究航天器的水平二維平動(dòng)和液體晃動(dòng)的液剛耦合動(dòng)力學(xué)．因?yàn)椴豢紤]接觸角遲滯時(shí)，晃動(dòng)液體微重力時(shí)彎曲的靜液面和常重力時(shí)水平的靜液面的特征模態(tài)沒有顯著的區(qū)別［27］，本文的微重力下的液體晃動(dòng)模態(tài)取前常重力時(shí)的前五個(gè)模態(tài)．通過推導(dǎo)系統(tǒng)總的拉格朗日函數(shù)，由拉格朗日方程得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組．然后對(duì)無量綱的動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的x方向位移、波高面內(nèi)主次模態(tài)及軸對(duì)稱二階模態(tài)(本文將此四者簡稱為面內(nèi)模態(tài))表現(xiàn)出同類的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為;結(jié)構(gòu)的y方向位移、波高面外主次模態(tài)(本文將此三者簡稱為面外模態(tài))表現(xiàn)出同類的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為，面內(nèi)、外模態(tài)在一定幅值不同頻率或一定頻率不同幅值的外激勵(lì)下隨外激勵(lì)頻率或幅值變化具有不同類型的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為，包括靜止、周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)．

1 充液系統(tǒng)的液－剛耦合動(dòng)力學(xué)模型

帶柱形貯箱的充液航天器液－剛耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型如圖1所示，假設(shè)航天器和晃動(dòng)液體的耦合作用等效成航天器運(yùn)動(dòng)時(shí)受到彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)的約束，航天器在x方向外激勵(lì)作用下作x和y方向二維平動(dòng)．假設(shè)液體無粘、無旋、不可壓．

圖1 液－剛耦合動(dòng)力學(xué)模型固支Fig．1 The model of fluid－rigid coupling dynamics Clamped

常重力下，靜液面水平，液體速度勢可表示為:

其中ψi(r，θ)的表達(dá)式見附件A．

在不考慮接觸角遲滯的情況下，液體表面位移模態(tài)形狀也可表示為:

微重力下的特征模態(tài)形狀可以用(1)、(2)近似．晃動(dòng)液體的動(dòng)能為:用勢函數(shù)表示為=▽(xx+yy)，對(duì)式(3)的第三項(xiàng)應(yīng)用格林第一定理，將式(3)的第二項(xiàng)表示成液體晃動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)的泰勒級(jí)數(shù)展開的形式［13］，略去四階以上的高階項(xiàng)，晃動(dòng)液體的動(dòng)能可以寫成:

具體推導(dǎo)這里略去，的具體表達(dá)式是文獻(xiàn)［13］中的與SB之積．

貯箱內(nèi)晃動(dòng)液體的勢能由重力勢能UG和表面張力勢能Uσ組成，其中表面張力勢能Uσ也寫成晃動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)的泰勒級(jí)數(shù)展開的形式［13］，如下所示:

，的表達(dá)式見文獻(xiàn)［13］．

晃動(dòng)液體和航天器總的Lagrange函數(shù)為:

由拉格朗日方程得系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程組:

其中，F(xiàn)ncx=－cxx+Fex，F(xiàn)ncy=－，F(xiàn)ncqi=－是系統(tǒng)各自由度的非保守外力，cx，cy，cqi是各自由度的阻尼系數(shù)，F(xiàn)ex是外激勵(lì)．

將方程組中的x，qn，用dx，ωdx，ω2，dqn，ω2代替(這里設(shè)kx=ky=k，ω=是航天器結(jié)構(gòu)模態(tài)的自然頻率，d是貯箱內(nèi)的液高)，得到系統(tǒng)的無量綱的非線性動(dòng)力學(xué)方程組:

其中所含參數(shù)的具體表達(dá)式見附件B．

2 數(shù)值結(jié)果

對(duì)式(9)這樣復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)方程組，要通過解析的方法很難獲得深入的認(rèn)識(shí)，因此這里采用數(shù)值方法求解．液剛耦合項(xiàng)均以加速度形式出現(xiàn)，表明航天器結(jié)構(gòu)與貯箱內(nèi)液體是在慣性力意義下實(shí)現(xiàn)耦合的．而波高模態(tài)在廣義位移、廣義速度及廣義加速度意義上均存在耦合項(xiàng)，模態(tài)之間互相帶動(dòng)，互相牽制．加速度項(xiàng)系數(shù)隨廣義位移變化反映了晃動(dòng)過程中質(zhì)量不斷地遷移的特征．

仿真所用參數(shù)參考文獻(xiàn)［13］:貯箱半徑a=0．0155 m，液體高度d=2a，晃動(dòng)液體的質(zhì)量與航天器結(jié)構(gòu)的質(zhì)量(包括未晃動(dòng)的液體的質(zhì)量)之比μ =0．16，液體晃動(dòng)頻率比v=0．9，阻尼比取為 ζx= ζy=0．05，ζi=0．0348(i=1．．5)［27］．假設(shè)晃動(dòng)液體是水，密度 ρ=998 kg/m3，表面張力系數(shù) σ=0．07275 N/m．Bond數(shù)取為Bo=10．Fex=Qscos(ωext)，Qs和ωex分別是無量綱外激勵(lì)振幅和頻率．

給波高面外二階模態(tài)q5一個(gè)小的初始擾動(dòng)，仿真時(shí)間為200個(gè)無量綱外激勵(lì)周期，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，面內(nèi)模態(tài)表現(xiàn)出同類的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為，面外模態(tài)表現(xiàn)出同類的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為．這里討論Qs取定值、ωex變化時(shí)系統(tǒng)各自由度的運(yùn)動(dòng)．當(dāng)Qs為0．01、ωex為0．7 時(shí)，各自由度和波高的時(shí)程圖如圖2所示，從圖中可看出面內(nèi)模態(tài)趨于周期運(yùn)動(dòng)，面外模態(tài)趨于靜止;Qs為0．01，ωex為0．97 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的Poincare映射如圖3所示，圖中每個(gè)自由度的Poincare映射都只有15個(gè)點(diǎn)，因此系統(tǒng)趨于15倍外激勵(lì)周期運(yùn)動(dòng);Qs為 0．01，ωex為 0．98時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的Poincare映射如圖4所示，各自由度的Poincare映射都是一閉圈，因此系統(tǒng)作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng);Qs為 0．01，ωex為 0．995 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)功率譜如圖5所示，各自由度的功率譜呈連續(xù)狀，因此系統(tǒng)作混沌運(yùn)動(dòng)．

圖2 Qs=0．01，ωex=0．7 時(shí)系統(tǒng)的時(shí)程圖(440≤t≤500)Fig．2 Time change history of the system when Qs=0．01，ωex=0．7(440≤t≤500)

圖3 Qs=0．01，ωex=0．97 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的 Poincare映射Fig．3 Poincare mapping of the system at stable state when Qs=0．01，ωex=0．97

圖4 Qs=0．01，ωex=0．98 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的 Poincare映射Fig．4 Poincare mapping of this system at stable state when Qs=0．01，ωex=0．98

圖5 Qs=0．01，ωex=0．995 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的功率譜Fig．5 Power spectrum density of this system at stable state when Qs=0．01，ωex=0．995

進(jìn)一步可以得到當(dāng)ωex變化時(shí)面內(nèi)、外模態(tài)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)類型的變化，Qs取0．01，數(shù)值積分得到代表面內(nèi)外模態(tài)的結(jié)構(gòu)位移的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)關(guān)于ωex的分岔如圖6、7所示，兩圖中的空白區(qū)域?qū)?yīng)使系統(tǒng)不穩(wěn)定的ωex的范圍．從圖中可看出不同的ωex系統(tǒng)有不同類型的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)．

圖6 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)x關(guān)于ωex的分岔圖(Qs=0．01)Fig．6 Bifurcation diagrams of stable x on(Qs=0．01

圖7 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)y關(guān)于ωex的分岔圖(ωex=0．994)Fig．7 Bifurcation diagrams of stable y on(ωex=0．994)

穩(wěn)態(tài)時(shí)關(guān)于Qs的分岔如圖8、9所示．和Qs固定、ωex變化的情形類似，系統(tǒng)不穩(wěn)定對(duì)應(yīng)于圖中空白間隔區(qū)域，不同的Qs取值可能導(dǎo)致面內(nèi)、外模態(tài)不同類型的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)．

為了充分證明在某些參數(shù)情形下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)是混沌的，分別計(jì)算［28－29］了前述兩種情況下系統(tǒng)的最大的四個(gè)Lyapunov指數(shù) 如圖10、11所示，從圖中可以看出，在某些參數(shù)情況下，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)大于零，系統(tǒng)此時(shí)的確作混沌運(yùn)動(dòng)．

圖8 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)x關(guān)于Qs的分岔圖Fig．8 Bifurcation diagrams of stable x on Qs

圖9 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)y關(guān)于Qs的分岔圖Fig．9 Bifurcation diagrams of stable y on Qs

圖10 當(dāng)Qs為0．01，ωex變化時(shí)系統(tǒng)的前四個(gè)Lyapunov指數(shù)Fig．10 The first four Lyapunov exponents of the system when Qsis 0．01 and ωexis variable

圖11 當(dāng)ωex為0．994，Qs變化時(shí)系統(tǒng)的前四個(gè)Lyapunov指數(shù)Fig．11 The first four Lyapunov exponents of the system when ωexis 0．994 and Qsis variable

3 結(jié)論

本文對(duì)受單向外激勵(lì)力的帶柱形貯箱航天器液－剛非線性耦合系統(tǒng)進(jìn)行研究，不失一般性地用液體常重力下的特征模態(tài)近似微重力下的特征模態(tài)，用模態(tài)展開法分析微重力下柱形貯箱內(nèi)的液體晃動(dòng)，得到耦合系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)，由Lagrange原理得到耦合系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程組并進(jìn)行無量綱化和數(shù)值計(jì)算，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的面內(nèi)、外模態(tài)分別具有同類的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為;面內(nèi)模態(tài)和面外模態(tài)在一定幅值不同頻率或一定頻率不同幅值的外激勵(lì)下隨外激勵(lì)頻率或幅值變化具有不同類型的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)行為，包括靜止、周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)．

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11072030)

? Corresponding author E－mail:bzyue@bit．edu．cn

NONLINEAR COUPLED DYNAMICS OF LIQUID-FILLED CYLINDRICAL CONTAINER IN MICROGRAVITY*

Yue Baozeng?Wu Wenjun Yang Dandan
(Department of Mechanics，School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China)

It is difficult to express analytically potential mode shapes and free surface mode shapes of sloshing liquid in cylindrical container in microgravity．To discover nonlinear behaviors，generally，potential mode shapes and free surface mode shapes in normal gravity are taken to approximate those in microgravity．The sloshing of liquid in cylindrical container in microgravity is analyzed using mode expanding method．Dimensionless form of nonlinear dynamic equations of the fluid－structure coupling system are derived by Lagrange principle and numerically solved．It is found that this coupled system presents resonance in some ranges of parameters of the external excitation．If the system does not resonate，in－plane modes and out－plane modes behave respectively the same kind stable motion and their types of stable motion change when parameters of the external excitation are different．These types of stable motion contain stillness，periodic motion，quasi－periodic motion and chaotic motion．

microgravity， nonlinear sloshing， coupling dynamics， stable motion

13 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－044

2012－06－13 收到第1 稿．

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072030)

E－mail:bzyue@bit．edu．cn