共線三球鏈問(wèn)題的碰撞動(dòng)力學(xué)研究*

栗鵬 姚文莉

(青島理工大學(xué)理學(xué)院，青島 2 66520)

共線三球鏈問(wèn)題的碰撞動(dòng)力學(xué)研究*

栗鵬?姚文莉

(青島理工大學(xué)理學(xué)院，青島 2 66520)

共線三球鏈的碰撞動(dòng)力學(xué)問(wèn)題能夠展示多剛體系統(tǒng)碰撞問(wèn)題的困難之一:非唯一解的問(wèn)題．本文建立了三球鏈碰撞的Hertz接觸模型，研究對(duì)其求解的數(shù)值算法，并用有限元模型(FEM)對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，研究表明:同線性模型比較，采用Hertz接觸力模擬小球之間的接觸力更接近有限元計(jì)算結(jié)果;在Hertz接觸模型基礎(chǔ)上，分析碰撞過(guò)程中接觸力的變化過(guò)程;研究剛度比和質(zhì)量比對(duì)于碰撞結(jié)束后各個(gè)小球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，并研究了兩種剛體模型下碰撞次序假設(shè)成立的條件．

多體系統(tǒng)， 多點(diǎn)碰撞， 恢復(fù)系數(shù)， Hertz接觸， 有限元

引言

如何正確描述多體系統(tǒng)碰撞問(wèn)題已成為眾多研究領(lǐng)域的基礎(chǔ)性研究，包括航空航天、機(jī)器人技術(shù)、機(jī)械工程等等，因此具有重要的理論意義和實(shí)際意義．

對(duì)于單點(diǎn)碰撞，利用動(dòng)量守恒和能量守恒定律就可以描述單點(diǎn)碰撞問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)行為，為考慮碰撞中由于相互作用引起算的能量損失時(shí)，一般引進(jìn)恢復(fù)系數(shù)來(lái)描述碰撞過(guò)程的不連續(xù)性．把上述的理論運(yùn)用到多點(diǎn)碰撞時(shí)，由于缺少足夠的動(dòng)力學(xué)方程，使得在確定碰撞后質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)時(shí)遇到一些剛體動(dòng)力學(xué)模型難以克服的困難．共線三球鏈的碰撞問(wèn)題看來(lái)起非常簡(jiǎn)單，但可以展示上述多體系統(tǒng)多點(diǎn)碰撞問(wèn)題中的基本困難．

當(dāng)三個(gè)小球之間的碰撞時(shí)，若選用恢復(fù)系數(shù)模型，根據(jù)碰撞不同次序，則得到不同的結(jié)果．三個(gè)完全相同的小球并列在一條直線上，用初始速度為V小球B1去撞擊靜止的小球B2和B3，假設(shè)碰撞過(guò)程是完全彈性的．困難出現(xiàn)在:因B2和B3的相對(duì)速度為零，無(wú)法采用現(xiàn)有定義的恢復(fù)系數(shù)．

為在經(jīng)典的剛體碰撞動(dòng)力學(xué)框架下解決此問(wèn)題，需要引入碰撞次序的假設(shè)．若碰撞依次進(jìn)行，則碰撞結(jié)束后各個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為:V'1=0，=0，V'3=V;若碰撞同時(shí)進(jìn)行，則碰撞結(jié)束后各個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為:V'1= －V/3，V'2=2V/3，V'3=2V/3;不同的碰撞次序假設(shè)將導(dǎo)致不同的結(jié)果，這還是兩種最簡(jiǎn)單的情況．

很多學(xué)者顯示了對(duì)該問(wèn)題的興趣，Han［1］等基于Routh圖形化方法提出了處理多點(diǎn)碰撞問(wèn)題的分析方法，但是該方法導(dǎo)致了相同的初始條件出現(xiàn)多個(gè)可能解的奇異性情況．Stronge［2］比較詳細(xì)地介紹剛體多點(diǎn)碰撞的動(dòng)力學(xué)模型．Hurmuzlu［3］提出‘動(dòng)量比’參數(shù)刻畫多質(zhì)點(diǎn)碰撞問(wèn)題，其方法在由有限個(gè)小球組成的多點(diǎn)碰撞實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證．馬煒［4］等用線性彈簧研究在給定的初始條件下三個(gè)小球之間的碰撞，給出解析解，研究不同的質(zhì)量比，剛度比對(duì)于碰撞后各個(gè)小球之間的分離模式的影響．上述文獻(xiàn)的理論均建立在線性接觸模型的基礎(chǔ)上．D．T．Spasic［5］等用彈性 Hertz 理論的假設(shè)和Johnson粘附力的模型建立三個(gè)小球之間的碰撞，給出模型的半解析解，其側(cè)重于求解的過(guò)程，并未給出模型的依據(jù)及進(jìn)一步的討論．

本文運(yùn)用彈性Hertz接觸理論來(lái)建立三個(gè)小球之間的碰撞的動(dòng)力學(xué)模型，并用有限元軟件去驗(yàn)證建立模型的正確性，在此基礎(chǔ)上，分析碰撞過(guò)程中接觸力的變化過(guò)程;研究剛度比和質(zhì)量比對(duì)于碰撞結(jié)束后各個(gè)小球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，并研究了兩種剛體模型下碰撞次序假設(shè)成立的條件．

1 三球鏈的Hertz接觸力模型

三個(gè)小球B1、B2和B3，質(zhì)量和半徑分別為mi(i=1，2，3)和Ri(i=1，2，3)．假設(shè)小球B1用初始速度V1去撞擊小球B2，同時(shí)小球B2和B3靜止在一條直線上，并在初始時(shí)刻保持接觸，如圖1所示．假設(shè)每個(gè)小球初始時(shí)刻的位置記為位移原點(diǎn)，若用x1，x2，x3分別表示三個(gè)小球的位移，則小球B1和B2之間的壓縮量為α1=x1－x2，小球B2和B3之間的壓縮量α2=x2－x3．設(shè)小球B1和B2之間的接觸剛度為K，小球B2和B3之間的接觸剛度為γK，假設(shè)小球之間的接觸模型為Hertz彈性接觸模型．

圖1 三球鏈的接觸力模型Fig．1 three balls chain contact force model

則根據(jù)牛頓第二定律得:

則碰撞有初始條件:

上述常微分方程沒(méi)有解析解，只能對(duì)其進(jìn)行數(shù)值解．上面三個(gè)二次常微分方程組可以化簡(jiǎn)為六個(gè)一次常微分方程組．

令vi=xi，(i=1，2，3)，則化簡(jiǎn)后的方程組為:

則初始條件變?yōu)?

上述微分方程組適合于小球B1與B2和小球B2與B3同時(shí)接觸，若在碰撞過(guò)程中有一個(gè)小球脫離接觸，則上述微分方程組就不再適用．

如果當(dāng)α1=0時(shí)，此時(shí)時(shí)間為t*，小球B1和B2脫離接觸，它們之間的碰撞結(jié)束，小球B1在此以后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則以后的微分方程組變?yōu)?

本次論壇是在商務(wù)部貿(mào)易救濟(jì)調(diào)查局指導(dǎo)下，由上海市商務(wù)委員會(huì)與上海社會(huì)科學(xué)院共同主辦。上海市政協(xié)副主席周漢民到會(huì)并作主旨演講；世貿(mào)組織副總干事易小準(zhǔn)發(fā)表視頻講話，商務(wù)部貿(mào)易救濟(jì)調(diào)查局局長(zhǎng)余本林、上海市商務(wù)委副主任申衛(wèi)華到會(huì)致辭。來(lái)自國(guó)內(nèi)外的專家學(xué)者，行業(yè)組織、研究機(jī)構(gòu)、企業(yè)以及長(zhǎng)三角政府部門的代表近300人參加。

如果當(dāng)α2=0時(shí)，此時(shí)時(shí)刻為t＊＊，小球B2與B3脫離接觸，它們之間的碰撞結(jié)束，小球B3做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則在此以后的微分方程組變?yōu)?

若用微分方程組(3)計(jì)算出在t＊＊＊時(shí)刻同時(shí)有α1=α2=0，則說(shuō)明三個(gè)小球的碰撞同時(shí)結(jié)束．

計(jì)算步驟:

1 先計(jì)算微分方程組(3)的數(shù)值解，判斷是先有α1=0還是α2=0或者兩者同時(shí)為α1=α2=0．

2 若微分方程組(3)的數(shù)值解先有α1=0，則記此時(shí)刻為t*，用微分方程組(3)算出此時(shí)各個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，小球B1將以此時(shí)的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng);小球B2與B3以后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將滿足方程組(4)，初始條件為在時(shí)刻的狀態(tài)，用方程組(4)算出α2=0的時(shí)刻，計(jì)算此時(shí)刻的B2與B3的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則此時(shí)刻就是碰撞完全結(jié)束的時(shí)刻．

3 若微分方程組(3)的數(shù)值解先有α2=0，同樣按照步驟2，不過(guò)這時(shí)是小球B3先和小球B2脫離接觸．

4 若先有 α1=α2=0，則在 α1=α2=0的時(shí)刻就是碰撞結(jié)束的時(shí)刻，就是三個(gè)小球同時(shí)脫離接觸．

在微分方程組(3)(4)(5)中有質(zhì)量比和剛度比這兩個(gè)參數(shù)，所以固定初始條件，研究不同的剛度比和質(zhì)量比對(duì)于碰撞過(guò)程各個(gè)小球的狀態(tài)的影響．

2 有限元模型(FEM)

圖2 三球鏈的有限元模型(FEM)Fig．2 three balls chain finite element model(FEM)

由于小球是軸對(duì)稱的，而且速度的方向沿球?qū)ΨQ軸上，碰撞過(guò)程中不考慮摩擦力，所以可以把三球鏈模型建成軸對(duì)稱模型，在建立模型時(shí)三個(gè)小球只允許在對(duì)稱軸方向上運(yùn)動(dòng)．在有限元軟件ABAQUS建立如圖2所示的模型．由于碰撞的時(shí)間短、接觸力的變化快，在 ABAQUS中使用 Explicit求解器進(jìn)行求解．由于碰撞接觸區(qū)域的應(yīng)力變化快而且大，對(duì)其接觸區(qū)域進(jìn)行細(xì)化．在建模型時(shí)，固定初始速度和三個(gè)小球的半徑，分別研究不同的密度和彈性模量對(duì)于碰撞過(guò)程的影響，也就是質(zhì)量的變化和剛度的變化對(duì)于碰撞過(guò)程中的影響．

3 三球鏈碰撞過(guò)程的接觸力分析:

設(shè)小球B1的初始速度V1=5m/s，三個(gè)小球的半徑為0．1m，泊松比 ν=0．3，設(shè)小球B2和B3的質(zhì)量一樣，記為β=m1/m2=m1/m2．那么就研究剛度比γ和質(zhì)量比β對(duì)于碰撞過(guò)程中各個(gè)小球的狀態(tài)的影響．在計(jì)算畫圖時(shí)由于壓縮量的值非常小，選擇用壓縮量對(duì)應(yīng)的接觸力來(lái)表示．(以后在圖中的F(1－2)表示碰撞過(guò)程中B1對(duì)于B2的接觸力，F(xiàn)(2－3)表示碰撞過(guò)程中B2對(duì)于B3的接觸力，v1、v2、v3分別表示小球B1、B2、B3的速度)

圖3 小球之間的接觸力Fig．3 the contact forces between three balls

圖3表示在γ=1和β=1的情況下碰撞過(guò)程中接觸力隨時(shí)間的變化．通過(guò)上圖可以看到用Hertz接觸力建立的模型與用有限元模型(FEM)計(jì)算的結(jié)果幾乎吻合，可以驗(yàn)證用彈性Hertz接觸力建立三球鏈模型的有效性．可以得到大約在t=0．00049s時(shí)小球B1與B2小球脫離接觸，而小球B2和B3接續(xù)接觸，大約在t=0．00067s時(shí)小球B2和B3脫離接觸，此時(shí)碰撞才真正的結(jié)束．

圖4 小球之間的接觸力Fig．4 the contact forces between three balls

圖4表示在γ=50．5和β=1的情況下，接觸力隨時(shí)間的變化．通過(guò)圖形可以得到:Hertz接觸力模型和有限元模型計(jì)算的結(jié)果幾乎一樣;大約t=0．00039s在時(shí)，三個(gè)小球幾乎同時(shí)分離．

圖5 小球之間的接觸力Fig．5 the contact forces between three balls

圖5表示在γ=1和β=4的情況下碰撞過(guò)程中接觸力隨時(shí)間的變化．可以得到在小球B2和小球B3先分離，然后小球B1與小球B2再脫離接觸，而且Hertz接觸模型和有限元模型的結(jié)果幾乎是吻合的．

通過(guò)以上分析可以得到:在建立Hertz接觸模型時(shí)，假設(shè)碰撞過(guò)程是準(zhǔn)靜態(tài)的，通過(guò)上面的比較也是可以得到的，因此對(duì)于三個(gè)小球的之間的碰撞在碰撞過(guò)程中由于應(yīng)力波而損失的能量可以忽略不計(jì)．由此說(shuō)明用Hertz接觸模型建立三球鏈的力學(xué)模型更符合實(shí)際．下面就研究小球之間的剛度比和質(zhì)量比對(duì)于碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的有影響．

4 不同參數(shù)對(duì)于碰撞后的速度的影響

4．1 剛度比對(duì)于碰撞后速度的影響

圖6表示小球B1的初始速度V0=5m/s，三個(gè)小球質(zhì)量一樣的情況下，碰撞后各個(gè)小球的速度與剛度比的關(guān)系．可以得知，三個(gè)小球的質(zhì)量一樣的情況，不管剛度比有多大，小球B1肯定反彈;而且隨著剛度比的增大，小球B1的反彈速度很快趨近于－V0/3，可以看到在小球B2和B3并沒(méi)有都趨向于2V0/3，而是在2V0/3附近出振蕩，這時(shí)由于B2和B3之間的彈性引起的，在馬煒［4］研究中用線性彈簧來(lái)表示接觸力，可以得知隨著剛度比的增大，小球B2和B3很快趨向于2V0/3，這與Hertz接觸力模型是有區(qū)別的，但是在γ→+∞時(shí)，用線性接觸力和Hertz接觸力模型算出的結(jié)果近似等于恢復(fù)系數(shù)模型的同時(shí)碰撞假設(shè)的結(jié)果．在γ→0時(shí)，可以推測(cè)小球B1和B2的碰撞后的速度趨近于0，小球B3的碰撞后的速度趨近于V0，這與線性接觸力模型的結(jié)果幾乎是一樣的．因此可以得到:在剛度大于150和小于1的時(shí)候，用Hertz接觸力和線性接觸力的模型計(jì)算的結(jié)果相差不太，而且可以用恢復(fù)系數(shù)模型的兩種假設(shè)去近似計(jì)算;但是在中間情況下，Hertz接觸力和線性接觸力模型計(jì)算的結(jié)果有很大區(qū)別，這就需要用Hertz接觸力來(lái)建立共線三球鏈碰撞的動(dòng)力學(xué)模型．

圖6 三個(gè)小球的速度Fig．6 the speeds of three balls

4．2質(zhì)量比對(duì)于碰撞后的速度的影響

圖7 三個(gè)小球的速度Fig．7 the speeds of three balls

圖8 三個(gè)小球的速度Fig．8 the speeds of three balls

圖7和圖8表示小球B1的初始速度V0=5m/s，小球之間的剛度比一樣的情況，碰撞后的速度隨質(zhì)量比的變化．通過(guò)圖7可以得知:隨著α的增大，小球B2和B3的速度增加很快，最后趨近于平穩(wěn)，而小球B1的速度方向?qū)⒉辉侔l(fā)生變化，而且趨近于V0，此時(shí)若用恢復(fù)系數(shù)模型的兩種假設(shè)計(jì)算得到的結(jié)果將與上面的結(jié)果有很大的差別．通過(guò)圖8可以得知:隨之α的減小，小球B1的速度趨近于－V0，小球B3的速度也趨近于零，小球B1相當(dāng)于撞上一個(gè)固定面，而且可以觀察到小球B2的速度幾乎接近于零，此時(shí)小球B2可以看成是靜止的，說(shuō)明在α小于1時(shí)，可以用恢復(fù)系數(shù)模型的依次碰撞假設(shè)計(jì)算碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

5 結(jié)論

建立三球鏈碰撞的Hertz接觸模型，給出其數(shù)值算法，并用有限元對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，得到如下結(jié)論:(1)同線性接觸力模型相比較，小球之間碰撞的接觸力用Hertz接觸力更符合實(shí)際;(2)研究了剛度比和質(zhì)量比對(duì)于碰撞結(jié)束后各個(gè)小球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，給出碰撞恢復(fù)系數(shù)模型的兩種假設(shè)的適用范圍．

1 Han I，Gilmore B J．Multi－body impact motion with friction－Analysis，simulation and experimental validation．ASME Journal of Mechanical Design，1993，115:412 ～422

2 Stronge W J．Impact mechanics．Cambridge University Press，2000:182 ～198

3 Ceanga V，Hurmuzlu Y．A newlook at an old problem:Newton’s cradle．ASME Journal of Applied Mechanics，2001:575～583

4 馬煒，劉才山．三質(zhì)點(diǎn)共線碰撞問(wèn)題的理論分析．力學(xué)學(xué)報(bào)，2006(5):674 ～681(Ma W，Liu C S．Theoretical analysis of the three balls system with multiple impact．Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2006(5):674～681(in Chinese))

5 Spasic D T，Atanavkovic T M．A model for three spheres in colinear impact．Archive of Applied Mechanics，2001，71:327～340

*The project supported by the National Science Foundation of China(10872118，11272167)and the Science Foundation of Shandong Province(ZR2010AM010)

? Corresponding author E－mail:ywenli1969@sina．com

STUDY ON COLLINEAR COLLISION DYNAMICS OF THE THREE－BALL CHAIN*

Li Peng?Yao WenLi
(School of Science，Qingdao Technological University，Qingdao266520，China)

One of the difficulties of the problem of collisions of multi－body system is non－unique solution．To overcome this problem the three－ball chain collision was modeled by Hertz contact and a numerical algorithm is proposed to solve the contact model．The finite element model was used to verified it．Based on the Hertz model，the change of the contact forces is analyzed during the collision process．The effect of the stiffness ratio and mass ratio on the state of motion of each ball after the collision，and the established condition of two girid body models collision orders were studied．Research shows compared with linear model，the contact forces between three balls by Hertz model are closer to the finite element results．

mutli－body system， mutli－point collision， coefficient of restitution， Hertz contact， finite element

17 October 2012，

20 June 2013．

10．6052/1672－6553－2013－067

2012－10－17 收到第 1 稿，2013－06－20 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10872118，11272167)，山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(ZR2010AM010)

E－mail:ywenli1969@sina．com