單向耦合Lorenz－R?ssler系統(tǒng)的多參數(shù)分岔*

李群宏 楊丹 閆玉龍

(廣西大學數(shù)學與信息科學學院，南寧 530004)

單向耦合Lorenz－R?ssler系統(tǒng)的多參數(shù)分岔*

李群宏?楊丹 閆玉龍

(廣西大學數(shù)學與信息科學學院，南寧 530004)

深入研究了單向耦合Lorenz－R?ssler系統(tǒng)的動力學行為，首先定性地分析了該系統(tǒng)，找出了該系統(tǒng)所有平衡點及平衡點存在和穩(wěn)定的條件．再對該系統(tǒng)的分岔行為做了理論分析，得到該系統(tǒng)發(fā)生fold和Hopf分岔的條件．最后利用分岔軟件對前面的理論進行驗證，而且針對三個單向耦合參數(shù)的不同取值情況，從數(shù)值的角度研究了該系統(tǒng)的多參數(shù)分岔，結(jié)果表明不同的耦合強度對于系統(tǒng)的動力學行為有較大的影響．

耦合， 平衡點， 分岔， 多參數(shù)

引言

動力系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象指的是隨著參數(shù)的改變，使得系統(tǒng)的某些動力學特征發(fā)生改變，特別是改變了系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或出現(xiàn)對應方程解的軌道分支［1］．目前分岔已經(jīng)涉及到生活的各個領(lǐng)域，如生物［2－3］，交通［4－5］，電力［6－7］，采礦［8］等，因此研究非線性動力系統(tǒng)的分岔具有重要的現(xiàn)實意義，從而引起了國內(nèi)外學者的高度重視．特別是圍繞Lorenz系統(tǒng)和R?ssler系統(tǒng)的研究，涌現(xiàn)出很多成果．Belokolos，Kharchenko及Kharchenko詳細地研究了通有Lorenz系統(tǒng)的混沌及對應的混沌吸引子［9］．Ghosh，Chowdhury及Saha從穩(wěn)定和混沌控制的角度研究了R?ssler系統(tǒng)［10］．李群宏等研究了R?ssler系統(tǒng)的 fold－Hopf分岔［11］．Ning，Lu 及 Han 研究Lorenz系統(tǒng)和R?ssler系統(tǒng)的雙同步，得到兩個不同的混沌系統(tǒng)同步的充分條件［12］．而針對這兩種系統(tǒng)的耦合研究，最近Pei等人通過數(shù)值方法研究了具有耦合的Lorenz－R?ssler系統(tǒng)的動力學行為，結(jié)果顯示出現(xiàn)混沌行為，單向耦合使得混沌的區(qū)域大幅度增加，雙向耦合使得余維二的分岔出現(xiàn)等等［13］．由于耦合 Lorenz－R?ssler系統(tǒng)含有較多的參數(shù)且系統(tǒng)的維數(shù)也較高，因此其動力學行為亦十分豐富，需要作更多更深入的研究．

本文從理論和數(shù)值的角度出發(fā)研究了單向耦合Lorenz－R?ssler系統(tǒng)動力學問題．首先從理論分析的角度研究了此系統(tǒng)平衡點存在和穩(wěn)定的條件及分岔條件，其次從數(shù)值模擬的角度討論了耦合系統(tǒng)的單參數(shù)、雙參數(shù)及三參數(shù)分岔，同時驗證了理論推導的結(jié)果．

1 耦合系統(tǒng)的定性分析

單向耦合 Lorenz－R?ssler的模型為［13］:

1．1 平衡點的存在性

為了討論平衡點的存在性，首先令系統(tǒng)(1)中后三個方程右端的式子為零，得

或

再把式(2)代入系統(tǒng)(1)中前三個方程，然后令其右端式子為零，得

其中A=k2－a2，b=a2k1－k1k2－1，

從而有

其次，把(3)代入系統(tǒng)(1)的前三個方程，且令它們右端的式子為零，得

下面對平衡點的存在性進行分析．

定理1．1 當條件D2－4b2C≥0且B≠0，C≠0滿足時，系統(tǒng)(1)的平衡點X1(x10，y10，z10，0，0，0)存在，其中

定理1．2 當條件b1(γ －1)≥0，F(xiàn)2－4EG≥0，E≠0同時滿足時，系統(tǒng)(1)平衡點X2(x10，y10，z10，±，γ －1)存在，其中

1．2 平衡點的穩(wěn)定性

在平衡點存在的條件下，對其穩(wěn)定性進行分析．

在平衡點X0=(x10，y10，z10，x20，y20，z20)處，系統(tǒng)(1)的Jacobi矩陣為

其特征方程為

其中

解得

由文獻［14］可知平衡點穩(wěn)定的充分條件是其特征方程的特征根的實部都為負．可根據(jù)Routh－Hurwitz判據(jù)［15］得到特征多項式 λ3+A2λ2+A1λ +A0=0的所有特征根均具有負實部充分必要條件為

因此，可得下面的結(jié)論:

定理1．3 當且僅當條件同時滿足時，系統(tǒng)(1)的平衡點穩(wěn)定，其中Hi，Ii(i=1，2，3)的表達式如前所定義．

1．3 分岔分析

由分岔理論可知，系統(tǒng)有零特征值時發(fā)生fold分岔，假設(shè)系統(tǒng)(1)存在特征根λ1=0．故將λ1=0分別代入式(7)、(8)，可得H0=0或I0=0．

我們可以得到如下結(jié)論:

定理1．4 當條件:1)H0=0且H1≠0;2)I0=0且I1≠0其中之一滿足時，系統(tǒng)(1)發(fā)生fold分岔．

由分岔理論可知，系統(tǒng)存在Hopf分岔要滿足如下條件:

1)有一對純虛根:假設(shè)系統(tǒng)(1)存在特征根= ±iω，ω ＞0，其次將= ±iω，ω ＞0 分別代入式(7)、(8)，分別得

2)特征值iω 在ki≠(i=1，2，3)時連續(xù)的，同時 λ(ki)在ki=(i=1，2，3，)時要穿過虛軸，即

其中R(·)表示復數(shù)的實部，ki(i=1，2，3)為分岔參數(shù)表示系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的臨界值．于是，我們可以得到如下結(jié)論:定理1．5 當系統(tǒng)滿足

*))=0時，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，其中Hi，Ii(i=1，2，3)的表達式同前表示．

2 數(shù)值仿真

2．1 平衡點的仿真

當參數(shù)分別取值為 σ =5，γ =28，a2=0．3，b1=8/3，b2=0．2，c2=10，k1=5，k2=10，k3=1 時，由定理 1．1可得平衡點為:X11=(－0．0036，－0．00036，0．0182，0，0，0);X12=(11．0036，1．1344，－ 56．1522，0，0，0);X21=(－ 6．8975，1．5198，－8．4853，－ 8．4853，27);X22=(5．6107，9．3261，5．0470，8．4853，8．4853，27)．

平衡點X11的特征值為 － 15．0000，9．0000，－2．6667，－11．0009，－9．4760，－5．2267，其中有正的特征值，說明此平衡點是不穩(wěn)定的．同時算出對應的H1H2－H0＜0，不滿足定理1．3，即它是不穩(wěn)定的，從而驗證了定理1．3．平衡點X12的特征值為9．0000，－15．0000，－2．6667，－11．0009，5．3793，－10．0378 ±0．7276i，其中有正的特征值，說明此平衡點是不穩(wěn)定的．同時計算出H1H2－H0＜0及I0I1I2－＜0，不滿足定理1．3，即它是不穩(wěn)定的，從而驗證了定理1．3．平衡點X21的特征值為－0．1346 ±9．2586i，－17．7797，－8．3975，－5．3511，平衡 點X22的 特征 值 為 －0．1346 ± 9．2586i，－9．5260，－8．3975，－5．2817 ±2．2908i，這兩個平衡點的所有特征值均有負實部，說明這兩個平衡點是穩(wěn)定的(見圖1)．同時計算表明在X21與X22處滿足定理1．3，即它們都是穩(wěn)定的，因此再次驗證定理 1．3．

2．2 分岔

取 σ =5，γ =28，a2=0．3，b1=8/3，b2=0．2，c2=10，k1=5，k2=10，k3=1，則系統(tǒng)有平衡點X11、X12、X21和X22．由于本文討論的是單向耦合系統(tǒng)的分岔，由式(5)知，僅當平衡點分量x20，y20，z20≠0時，平衡點分量x10，y10，z10才受x20，y20，z20影響，當平衡點分量x20=y20=z20=0時，隨著耦合參數(shù)k1，k2，k3變化，系統(tǒng)平衡點分量x20，y20，z20不發(fā)生變化且不影響x10，y10，z10，因此在這里就不討論關(guān)于平衡點X11，X12的分岔．

圖1 平衡點X21和X22的相圖Fig．1 Phase portrait of equilibria X21and X22

下面改變分岔參數(shù)k1，k2，k3，且固定其他參數(shù)，研究關(guān)于平衡X21，X22的分岔．2．2．1 單參數(shù)的分岔

圖2 平衡點X21關(guān)于k1的分岔圖Fig．2 Bifurcation diagram of equilibrium X21 under bifurcation parameter k1

圖3 平衡點X21關(guān)于k2的分岔圖Fig．3 Bifurcation diagram of equilibrium X21 under bifurcation parameter k2

圖4 平衡點X21關(guān)于k3的分岔圖Fig．4 Bifurcation diagram of equilibrium X21 under bifurcation parameter k3

圖5 平衡點X22關(guān)于k3的分岔圖Fig．5 Bifurcation diagram of equilibrium X22 under bifurcation parameter k3

在平衡點X22處，對參數(shù)k1和k2延拓，沒有出現(xiàn)分岔行為．對參數(shù)k3延拓(如圖5所示)，在k3= －0．4255 出現(xiàn) Limit Point，此時I0= －1．2 ×10－3且I1=63．7741，忽略近似計算產(chǎn)生的誤差，也驗證了定理1．4．在k3=8．0023 和k3=12．9779 時都出現(xiàn)Neutral Saddle平衡點(圖中標識為H)．

2．2．2 雙參數(shù)的分岔

討論平衡點X21處的雙參數(shù)分岔．首先對圖2中的H點進行參數(shù)k1，k2的延拓，如圖6所示．在(k1，k2)為(－ 1．9332，0．5161)和(－ 2．1954，0．4518)都出現(xiàn)退化的 Hopf分岔(圖中標識為GH)，在(0．4824，－0．7340)出現(xiàn) Bogdanov－Takens分岔(圖中標識為BT)．再對圖2中的H點進行參數(shù)k1，k3的延拓，如圖 7 所示．在(k1，k3)為(0．3911，－ 0．0120)出現(xiàn) Bogdanov－Takens分岔，(－0．0930，－0．0076)出現(xiàn)退化的 Hopf分岔，(－2．7525，－22．5147)出現(xiàn) Double Neutral Saddle平衡點(圖中標識為 DH)，在(0．1552，－0．9364)出現(xiàn)具有零特征值的Neutral Saddle平衡點(圖中標識為ZH)．再對圖4中所有分岔點進行參數(shù)k2，k3的延拓，如圖 8 所示．在(k2，k3)為(0．9445，－5．2667)和(0．2106，－ 0．0068)出現(xiàn) Bogdanov－Takens分岔，在(0．2227，－ 0．8241)，(0．2113，－0．0305)和(0．2107，－0．0077)都出現(xiàn)退化的Hopf分岔，在(0．3094，－5．5544)和(0．1652，2．1127)出現(xiàn)具有零特征值的Neutral Saddle平衡點．

圖6 平衡點X21關(guān)于k1，k2的分岔圖Fig．6 Bifurcation diagram of equilibrium X21 under bifurcation parameters k1，k2

圖7 平衡點X21關(guān)于k1，k3的分岔圖Fig．7 Bifurcation diagram of equilibrium X21 under bifurcation parameters k1，k3

圖8 平衡點X21關(guān)于k2，k3的分岔圖Fig．8 Bifurcation diagram of equilibrium X21 under bifurcation parameters k2，k3

再討論平衡點X21的雙參數(shù)分岔．對圖5中所有分岔點進行參數(shù)k1，k3的延拓，如圖9所示．在(k1，k3)=(－4．7813，－8．9139)出現(xiàn) Double Neutral Saddle平衡點，在為(－0．6246，1．1899)出現(xiàn)具有零特征值中性鞍點．對圖5中所有分岔點進行參數(shù)k2，k3的延拓，如圖 10 所示．在(k2，k3)=(0．7946，－1．3519)出現(xiàn) Bogdanov－Takens分岔，在(0．3133，－8．5744)出現(xiàn)具有零特征值的 Neutral Saddle平衡點．

2．2．3 三參數(shù)的分岔

下面討論平衡點X21的三參數(shù)分岔．對圖7中的所有分岔點進行參數(shù)k1，k2，k3的延拓，如圖11所示，出現(xiàn)三重零特征值分岔(圖中標識為TZ)，三重平衡點分岔(圖中標識為ZA)及二重平衡點分岔(圖中標識為 ZB)，出現(xiàn) Hopf Bogdanov－Takens分岔(圖中標識為HBT)．

圖9 平衡點X22關(guān)于k1，k3的分岔圖Fig．9 Bifurcation diagram of equilibrium X22 under bifurcation parameters k1，k3

圖10 平衡點X22關(guān)于k2，k3的分岔圖Fig．10 bifurcation diagram of equilibrium X22 under bifurcation parameters k2，k3

其次分析平衡點X22的三參數(shù)分岔．對圖10中的所有分岔點進行參數(shù)k1，k2，k3的延拓，如圖12所示，出現(xiàn) Hopf Bogdanov－Takens分岔(圖中標識為HBT)．

圖11 平衡點X21關(guān)于k1，k2，k3的分岔圖Fig．11 Bifurcation diagram of equilibrium X21 under bifurcation parameters k1，k2，k3

圖12 平衡點X22關(guān)于k1，k2，k3的分岔圖Fig．12 Bifurcation diagram of equilibrium X22 under bifurcation parameters k1，k2，k3

從上面的數(shù)值分析可知，當k1，k2，k3取值不同時，系統(tǒng)的動力學行為呈現(xiàn)差異．隨著耦合因素的增多，系統(tǒng)的動力學行為越來越復雜，這表明耦合強度影響系統(tǒng)的動力學性質(zhì)．

3 結(jié)論

本文對單向耦合Lorenz－R?ssler系統(tǒng)進行了討論，分析了此系統(tǒng)平衡點存在和穩(wěn)定的條件以及系統(tǒng)發(fā)生fold和Hopf分岔的條件．由于在研究非線性系統(tǒng)的非線性特性時，分析、計算分岔點對理解系統(tǒng)的動態(tài)行為以及確定系統(tǒng)的臨界狀態(tài)有著重要的意義，因此通過仿真計算出了每個分岔點對應的參數(shù)值，并對其進行分析．不僅從理論討論了單參數(shù)分岔，而且從數(shù)值上驗證了定理1．3，定理1．4和定理1．5．此外，還通過數(shù)值方法對系統(tǒng)的二參數(shù)、三參數(shù)分岔進行了研究，表明隨著耦合因素增多，系統(tǒng)將出現(xiàn)高余維分岔，從而揭示了單向耦合的Lorenz－R?ssler系統(tǒng)的豐富動力學行為．

1 李群宏，譚潔燕，席潔珍，丁學利．一類三維混沌系統(tǒng)的Bautin分岔分析．動力學與控制學報，2010，8(1):39～42(Li Q H，Tan J Y，Xi J Z，Ding X L．Bautin bifurcation of a 3－dimensional chaotic system．Journal of Dynamics and Control，2010，8(1):39 ～42(in chinese))

2 Liao M，Tang X H，Xu C J．Bifurcation analysis for a three－species predator－prey system with two delays．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17(1):183 ～194

3 Meng X Y，Huo H F，Zhang X B．Stability and global Hopf bifurcation in a delayed food web consisting of a prey and two predators．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2011，16(11):4335 ～4348

4 Orosz，G，Krauskopf B，Wilson R．E．Bifurcations and multiple traffic jams in a car－following model with reactiontime delay．Physica D，2005，211(3－4):277 ～293．

5 周偉，褚衍東，俞建寧．基于O－D網(wǎng)絡(luò)的交通流模型的分岔與混沌．系統(tǒng)工程，2009，27(1):21～24(Zhou W，Chu Y D，Yu J N．Bifurcation and chaos in a traffic flow model based on an O－D network．Systems Engineering，2009，27(1):21～24(in chinese))

6 馬幼捷，張繼東，周雪松，等．基于分岔理論的含風電場電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定問題研究．電網(wǎng)技術(shù)，2008，32(9):74 ～79(Ma Y J，Zhang J D，Zhou X S，et al．Study on steady state voltage stability of power system containing wind farm based on biurcation theory．Power System Technology，2008，32(9):74～79(in chinese))

7 Sakellaridis N G，Karystianos M E，Vournas C D．Local and global bifurcations in a small power system．International Journal of Electrical Power＆Energy Systems，2011，33(7):1336～1347

8 繆協(xié)興，陳占清，茅獻彪，等．峰后巖石非Darcy滲流的分岔行為研究．力學學報，2003，35(06):660～667．(Miao X X，Chen Z Q，Mao X B，et al．The bifurcation of non－darcy flow in post－failure rock．Acta Mechanica Sinica，2003，35(6):660 ～667(in chinese))

9 Belokolos E D，Kharchenko V O，Kharchenko D O．Chaos in a generalized Lorenz system．Chaos，Solitons＆Fractals，2009，41(5):2595 ～2605

10 Ghosh D，Chowdhury A R，Saha P．Multiple delay R?ssler system－Bifurcation and chaos control．Chaos，Solitons＆Fractals，2008，35(3):472～485

11 李群宏，席潔珍，丁學利，譚潔燕．Rossler系統(tǒng)的fold－Hopf分岔分析．動力學與控制學報，2009，7(4):318～323(Li Q H，Xi J Z，Ding X L，Tan J Y．Fold－Hopf bifurcation in a Rossler system．Journal of Dynamics and Control，2009，7(4):318 ～323(in chinese))

12 Ning D，Lu J A，Han X P．Dual synchronization based on two different chaotic systems:Lorenz systems and R?ssler systems．Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，206(2):1046～1050

13 Pei L J，Duan L ，Liu H Y．Dynamics of the coupled Lorenz－R?ssler systems，2010 International Workshop on Chaos－Fractal TheoryandApplications(IWCFTA)，2010:271～274

14 張錦炎．常微分方程幾何理論與分支問題．北京:北京大學出版社，2000(Zhang J Y．Geometric theory of ordinary differential equations and bifurcation problems．Beijing:Peking University Press，2000(in chinese))

15 周義倉，靳禎，秦軍林．微分方程及其應用．北京:科學出版社，2003(Zhou Y C，Jin Z，Qin J L．Differential equation and its application．Beijing:Science Press，2003(in chinese))

*The project supported by the Guangxi Natural Science Foundation(2010GXNSFA013110)and the Guangxi Youth Science Foundation(2011GXNSFB018060)

? Corresponding author E－mail:liqh@gxu．edu．cn

MULTI-PARAMETER BIFURCATIONS FOR THE UNIDIRECTIONALLY COUPLED LORENZ-R?SSLER SYSTEM*

Li Qunhong?Yang Dan Yan Yulong
(College of Mathematics and Information Science，Guangxi University，Nanning530004，China)

The unidirectionally coupled Lorenz－R?ssler System was investigated．Firstly，all the equilibrium of the system were found out，and the existence and stability conditions of equilibrium points of the system were presented by qualitative analysis．Then the bifurcations of the system were studied theoretically，the criteria of fold and Hopf bifurcations were obtained，and the numerical simulation verifies the theoretical analysis．Furthermore，by using numerical method the multi－parameter bifurcations of the system were explored for three unidirectionally coupling parameters．The results show that coupling strength has significant influence on the dynamical behavior of the system．

coupling， equilibrium， bifurcation， multi－parameter

12 June 2012，

18 May 2013．

10．6052/1672－6553－2013－025

2012－06－12 收到第 1 稿，2013－05－18 收到修改稿．

*廣西自然科學基金(2010GXNSFA013110)、廣西青年科學基金(2011GXNSFB018060)資助項目

E－mail:liqh@gxu．edu．cn