解決相似變換的兩種新方法及聯(lián)系

浙江省瑞安市塘下中學(xué) 葉挺彪 （郵編：325204）

提出好的問(wèn)題，并巧妙地給予解決，由此形成一種新方法，這是“競(jìng)賽數(shù)學(xué)”發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力，對(duì)于與同向相似的兩個(gè)圖形有關(guān)問(wèn)題，采用不同觀(guān)點(diǎn)（變換觀(guān)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)觀(guān)點(diǎn)）導(dǎo)致兩種新的處理方法.即“不動(dòng)點(diǎn)法”［1］與“相對(duì)運(yùn)動(dòng)法”［2］，并由此闡明其有機(jī)聯(lián)系.

1 不動(dòng)點(diǎn)法

對(duì)于同一平面上的兩個(gè)同向相似形（不能通過(guò)平移使之重合），則在這平面上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)M，使以M為中心將一個(gè)圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)、位似，就能與另一圖形重合.由于點(diǎn)M溝通了兩個(gè)圖形的聯(lián)系，在解題中若注意到這個(gè)點(diǎn)，可使問(wèn)題迎刃而解.

利用不動(dòng)點(diǎn)解題需知不動(dòng)點(diǎn)的作法（見(jiàn)文［3］）：即對(duì)不能通過(guò)平移使之重合的兩個(gè)同向相似形F、F′，任取兩條對(duì)應(yīng)線(xiàn)段AB?F，A′B′?F′，則 四 條 直 線(xiàn)AB、A′B′、AB′、A′B交成的三角形（最多有四個(gè)）中，任兩個(gè)三角形的外接圓的另一交點(diǎn)就是不動(dòng)點(diǎn)M（稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)的共圓性）.

例1 在△ABC兩邊所在的射線(xiàn)AC、BC上用尺規(guī)分別作出兩點(diǎn)P、Q，滿(mǎn)足PA＝λQB（λ為給定的常數(shù)），并使PQ長(zhǎng)最短.

分析 由于PA＝λQB，可以把線(xiàn)段PA、QB看作相似比為λ∶1的兩個(gè)相似形，于是考慮其不動(dòng)點(diǎn)M與任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，尋找最小的三角形，即可獲解.

作法 （1）在射線(xiàn)AB、BC上分別取兩點(diǎn)P0、Q0，使P0A＝λQ0B.（如圖1）

（2）作AP0與BQ0的不動(dòng)點(diǎn)M.若P0Q0∥AB，則點(diǎn)C即為M，此時(shí)P、Q重合于C；若P0Q0交AB于N，則△NAP0與△NBQ0的外接圓的另一交點(diǎn)即為M.

（3）作MP⊥AC于P，MQ⊥BC于Q.

則P、Q為所求的點(diǎn).

證明 由M為不動(dòng)點(diǎn)知：

△MAP0∽ △MBQ0，而MP、MQ是它們對(duì)應(yīng)邊上的高.

及△MPQ∽△MAB，再由MP為垂線(xiàn)段知：

線(xiàn)段PQ長(zhǎng)最短.

說(shuō)明 這里把具有相同分比的點(diǎn)所在線(xiàn)段看成是相似形，又如分別有一條對(duì)應(yīng)半徑的兩個(gè)圓周也是相似形的特例.這些特例應(yīng)引起重視.

從該例我們得出一般的結(jié)論.

結(jié)論 不能通過(guò)平移使之重合的兩個(gè)同向相似形，它們的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)上所有點(diǎn)間的距離是以不動(dòng)點(diǎn)在其上的射影點(diǎn)間距離為最短.

2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

同向相似形上的兩條對(duì)應(yīng)線(xiàn)段所在直線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，它是兩條線(xiàn)段上分比相同的分點(diǎn)，所以可以看作是作勻速運(yùn)動(dòng)的兩動(dòng)點(diǎn)在同一時(shí)刻的對(duì)應(yīng)位置.所以對(duì)于相似形有關(guān)的問(wèn)題可以用相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡［2］加以巧妙解決.

所謂相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡即作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（或同向勻速圓周運(yùn)動(dòng)）的兩動(dòng)點(diǎn)P、Q，將動(dòng)線(xiàn)段PQ平移（旋轉(zhuǎn)）使P與定點(diǎn)P0重合時(shí)，其線(xiàn)段為P0Q′，則Q′的軌跡是直線(xiàn)（圓周），Q′的軌跡我們稱(chēng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡.（見(jiàn)拙文［2］）

例1另解：

分析 由于PA＝λQB，則可將P、Q分別看作以速度比為λ∶1作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的兩動(dòng)點(diǎn)在某一時(shí)刻的對(duì)應(yīng)位

又對(duì)于滿(mǎn)足PA＝λQB的任意線(xiàn)段PQ，平移后的線(xiàn)段AQ′端點(diǎn)Q′的軌跡是BQ′，故由AQ′垂線(xiàn)段知：PQ長(zhǎng)為最短.

說(shuō)明 1°此處利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌跡BQ′，在其上找到滿(mǎn)足條件的線(xiàn)段AQ′，最后將它反演到原問(wèn)題的解PQ，軌跡BQ0′在這里起到橋梁的作用.

2°由結(jié)論：P、Q是不動(dòng)點(diǎn)在兩射線(xiàn)AC、BC上的射影.即分別作與AC、BC垂直的直線(xiàn)，這兩直線(xiàn)交點(diǎn)即為不動(dòng)點(diǎn)M，如圖2，從而得不動(dòng)點(diǎn)的新作法.此處從略.

下面再介紹第三種作法：

3 兩者的聯(lián)系——不動(dòng)點(diǎn)的新作法

例2 設(shè)不能通過(guò)平移使之重合的的兩個(gè)同向相似形F、F′，試作出F、F′的不動(dòng)點(diǎn)M.

分析 將F、F′上所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定的線(xiàn)段PQ平移到AQ′，在此變換下，若動(dòng)點(diǎn)Q′形成圖形F″，則F及F′的象成為點(diǎn)A及圖形F″.

若將點(diǎn)看作與任意圖形相似，則后者的不動(dòng)點(diǎn)顯然是A.

于是將F″反演到F′時(shí)，A在F″中就被反演到原兩相似形F、F′的不動(dòng)點(diǎn)M.

作法 （1）在F、F′上分別取兩條對(duì)應(yīng)線(xiàn)段：AP0?F、BQ0?F′（如圖2）.

（2）作 ?AP0Q0Q0′.

（3）作 △BQ0M∽ △BQ0′A且旋向相同.置，為此，作出相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡，從其上尋找問(wèn)題的解，最后反演到原問(wèn)題的解.

作法 （1）在射線(xiàn)AC、BC上分別取P0、Q0使P0A＝λQ0B（如圖2）.

（2）作 ?AP0Q0Q0′，得相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡BQ′.

（3）作AQ′⊥BQ0′于Q′.

（4）作Q′Q∥AC交BC于Q，作QP∥AQ′交AC于P.

則P、Q為所求的點(diǎn).

證明 由作法知：

則M為所求的點(diǎn).

證明 設(shè)從F到F′相似變換為［3］：

f（z）＝az＋b（這里a、c∈C為常數(shù)，z為復(fù)變量），則

（這里仍用大寫(xiě)字母表示該點(diǎn)的復(fù)數(shù)）

又∵△BQ0M∽△BQ0′A且旋向相同，

將①、②代入上式整理得：

M＝aM＋b，即f（M）＝M，

∴M是兩相似形F、F′的不動(dòng)點(diǎn).

例3 在四邊形ABCD中，AB＝CD，EF為AD、BC的中點(diǎn)（如圖3），延長(zhǎng)EF分別交BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G、H，求證：∠BGF＝∠CHF.

分析1 由于E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，把A、E、D與B、F、C分別看作兩動(dòng)點(diǎn)A、B在三個(gè)不同時(shí)刻的對(duì)應(yīng)位置，為此作出B相對(duì)于A(yíng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即分別把線(xiàn)段EF、DC平移到AF′、AC′，由結(jié)論1，知B、F′、C′三點(diǎn)共線(xiàn).

∴∠1＝∠2，從而∠BGF＝∠CHF.

說(shuō)明 從分析過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)上述命題可作如下推廣：

2°沿任何方向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡仍是直線(xiàn)，所以可以把凸四邊形換成凹四邊形或折四邊形，結(jié)論也同樣成立.

分析2 如圖4，由點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，知AFD∽BEC.這啟發(fā)我們作出它們的不動(dòng)點(diǎn)M，即△HFD與△HEC的外接圓的另一交點(diǎn).則△MAB∽△MDC.

又AB＝DC，

∴△MAB≌△MDC，

∴MB＝MC，

因此△MBC是等腰三角形.

由不動(dòng)點(diǎn)的共圓性知：

∠1＝∠BME，

∠2＝∠CME，

而∠BME＝∠CME，

∴∠1＝∠2.

說(shuō)明 1°也可以作△BCM∽△BC′A且同向則M為不動(dòng)點(diǎn)如圖5.

2°分比相同的分點(diǎn)與線(xiàn)段所成的圖形是同向相似的特例.注意到這種特例，可應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)解題.

一般地，對(duì)于與相似形F、F′有關(guān)的問(wèn)題，有兩種新的途徑：相對(duì)運(yùn)動(dòng)法，不動(dòng)點(diǎn)法，從這些例可見(jiàn)一斑.這兩種轉(zhuǎn)化在競(jìng)賽中有其廣泛的應(yīng)用，限于篇幅，不再累述.

1 葉挺彪.不動(dòng)點(diǎn)在平幾證題中的應(yīng)用［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，1996（3）.

2 葉挺彪.相對(duì)運(yùn)動(dòng)的幾何模型及應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，1995（5）

3 葉挺彪.相似變換下的不動(dòng)點(diǎn)作法及應(yīng)用［J］.中等數(shù)學(xué)，1993（3）