插上數(shù)學(xué)思想的翅膀——從《反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)與應(yīng)用》教學(xué)片段談起

江蘇省無(wú)錫市第一女子中學(xué) 蔡曉華 （郵編：214002）

數(shù)學(xué)教育有兩大視角：教學(xué)觀和數(shù)學(xué)觀.一度認(rèn)為，教學(xué)法是指導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要方針.然而，隨著對(duì)數(shù)學(xué)課堂的觀察與反思的深入，卻越來(lái)越意識(shí)到教師對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)在數(shù)學(xué)課的設(shè)計(jì)中的影響也是至關(guān)重要的.本文試著從筆者執(zhí)教的一節(jié)公開(kāi)課《反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)與應(yīng)用》的教學(xué)片段，來(lái)闡述這一觀點(diǎn).

教學(xué)片斷

師：我們?cè)鯓赢?huà)出反比例函數(shù)y＝的圖象呢？

師：我們學(xué)過(guò)一次函數(shù)，讓我們用研究一次函數(shù)圖象的方法來(lái)試試，那么怎樣畫(huà)出一次函數(shù)圖象呢？

生：列表、描點(diǎn)、連線.

師：好的，先列表.首先取x、y的一些對(duì)應(yīng)值，列入表格.可以取原點(diǎn)嗎？為什么？

生：不能.因?yàn)榉帜竫≠0.

師：是的.那么，圖象會(huì)落在那些象限？為什么？

生：第一、三象限.因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y＝中，x＞0時(shí)，y＞0；x＜0時(shí)，y＜0.

師：是的.也可以看到反比例函數(shù)y＝中，xy＝6＞0，也就是x、y同號(hào).點(diǎn)（x，y）在第一、三象限.既然x≠0，就分別研究x＞0和x＜0.那么我們先來(lái)看第一象限.

師：比如取x＝1，x＝3，則y＝6，y＝2.描出點(diǎn)（1，6）、點(diǎn)（3，2）.然后連線.用什么線相連？

生：直線.

師：我們?cè)趚＝1和x＝3之間取x＝2，則y＝3.即點(diǎn)（2，3）.我們把它畫(huà)上去，發(fā)現(xiàn)并不在線段上.（停頓了會(huì)）那么是否要連成折線？再取x＝1.5得點(diǎn)（1.5，4），發(fā)現(xiàn)還是不在剛才連好的折線上；隨著x的無(wú)窮取值，想象一下，各點(diǎn)應(yīng)連成怎樣的線？

生：曲線.

師：是的，應(yīng)以光滑曲線順次連接.（在屏幕上逐步投影圖1－4，并在曲線的曲字上加重語(yǔ)氣）

師：這個(gè)曲線怎樣向右延伸呢？繼續(xù)取符合反比例函數(shù)y＝的數(shù)組（x，y）即一系列點(diǎn)（4，1.5）、（5，1.2）、（6，1）、（7），描出這些點(diǎn)，怎樣連接？

生：（齊答）光滑曲線.

師：隨著曲線向右延伸，曲線上的點(diǎn)有怎樣的特點(diǎn)？

生：向下延伸.

師：是的，曲線上的點(diǎn)向右、向下延伸.那么它會(huì)與x軸相交嗎？

生：會(huì).

生：不會(huì).因?yàn)榕cx軸相交的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，而y＝中y≠0.

師：是的，從y＝可知，x＞0時(shí)，y總是＞0；而且隨之正數(shù)x的增大，y不斷減小.也就是說(shuō)，曲線不斷靠近x軸，但不與x軸相交.

（投影結(jié)論，并將“靠近”、“不相交”兩處重點(diǎn)顯示）

生：向上、向左延伸

生：曲線越來(lái)越靠近y軸，但不與y軸相交.

師：是的，你能從解析式解釋這一現(xiàn)象嗎？

生：因?yàn)閤≠0，所以曲線不會(huì)與y軸相交.

生：因?yàn)閥＝中，隨著x的減小，y增大.

師：注意這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍.（停頓一下）x＞0時(shí)，x越小，y越大.也就是說(shuō)，在第一象限，曲線越來(lái)越靠近y軸，但與y軸不相交.

這樣，我們可以概括為一句話：在第一象限，曲線越來(lái)越靠近坐標(biāo)軸，但與坐標(biāo)軸不相交.（圖5）.（投影結(jié)論，并將“靠近”、“不相交”兩處重點(diǎn)顯示）

師：現(xiàn)在來(lái)考慮當(dāng)x是負(fù)數(shù)時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的y的值也是負(fù)數(shù)，點(diǎn)落在第三象限，同樣的方式，可以作出反比例函數(shù)在第三象限的圖象.

（動(dòng)畫(huà)顯示x＜0時(shí)相應(yīng)所取的一組點(diǎn)）同學(xué)們用手指著屏幕一起來(lái)畫(huà)一下.（全體學(xué)生一起動(dòng)手.）

師：不錯(cuò)，同學(xué)們畫(huà)得有模有樣的.能不能將圖象畫(huà)成“彎彎的月亮，兩頭翹”？（邊說(shuō)邊用手指演示，形如圖6，但不投影在屏幕上）為什么？

生：不能.因?yàn)榍€是越來(lái)越靠近坐標(biāo)軸.

師：能不能把第一、三象限的兩支曲線連接起來(lái)，（邊說(shuō)邊用手指演示，形如圖7，但不投影在屏幕上）為什么？

生：不能.因?yàn)閤≠0，y≠0，所以不能與x軸有交點(diǎn).

師：是的，兩支曲線是不連的，間斷的.從曲線的延伸方向看，當(dāng)x＞0時(shí)，曲線在x軸上方，y軸右側(cè)，并向右、向下延伸不斷靠近x軸；向左、向上延伸不斷靠近y軸.當(dāng)x＜0時(shí)，曲線在x軸下方，y軸左側(cè)，并向左、向上延伸不斷靠近x軸；向右、向下延伸不斷靠近y軸的.兩支曲線與坐標(biāo)軸不斷靠近而不相交.

師：反比例函數(shù)y＝圖象是分布在第一、三象限的兩支曲線，這樣的圖象叫做雙曲線.（圖8）

曲線越來(lái)越靠近坐標(biāo)軸，與坐標(biāo)軸不相交.讓我們?cè)儆檬种钢聊划?huà)一次.（圖8）

教后反思

1 以無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想為立意，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是繼一次函數(shù)之后，學(xué)生第二次接觸對(duì)函數(shù)的研究.因此，對(duì)于反比例函數(shù)圖象的研究過(guò)程，應(yīng)類(lèi)比于一次函數(shù)圖象的研究，這體現(xiàn)了函數(shù)學(xué)習(xí)的一般方法.從描點(diǎn)作圖——觀察圖象 —— 分析圖象特征 ——確定函數(shù)中變量x、y之間的“變化規(guī)律”，從而得出函數(shù)的“特性”的過(guò)程，是學(xué)習(xí)初等函數(shù)時(shí)不可或缺的，也是后續(xù)研究二次函數(shù)等其他函數(shù)所采用的研究“模式”.同時(shí)，在運(yùn)用“類(lèi)比”的方法研究時(shí)，還有一個(gè)“對(duì)比”的問(wèn)題，也就是反比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的“差異性”，如“直”與“曲”，“連續(xù)”與“間斷”，“和坐標(biāo)軸相交”與“漸近”.這些在方法上、結(jié)論上的異同就是教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)考慮如何實(shí)現(xiàn)突破的關(guān)鍵點(diǎn).

另一方面，盡管對(duì)于用列表描點(diǎn)畫(huà)函數(shù)圖象的方法，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)，但因當(dāng)時(shí)處于函數(shù)學(xué)習(xí)的初始階段，學(xué)生只是了解了用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象的“三步曲（列表、描點(diǎn)、連線）”，學(xué)生對(duì)每步要求的理解并不深刻.畫(huà)反比例函數(shù)時(shí)，常遇到如下的問(wèn)題：

（1）“列表”時(shí)，選取x時(shí)數(shù)量太少，難以發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，有時(shí)易忽略x≠0的條件；

（2）“連線”時(shí)，學(xué)生容易受一次函數(shù)的影響而產(chǎn)生負(fù)遷移，把反比例函數(shù)圖象畫(huà)成折線；

（3）對(duì)雙曲線與x軸、y軸“越來(lái)越靠近（但不相交）”的趨勢(shì)不易理解.

因此教學(xué)時(shí)，就特別注意進(jìn)行有針對(duì)性的引導(dǎo)，注意從解析式的分析入手，讓學(xué)生先進(jìn)行“數(shù)”（x≠0，y≠0，k≠0）、“式”（解析式中x、y的反比例關(guān)系）的分析，進(jìn)而過(guò)渡到對(duì)“形”（圖像）的認(rèn)識(shí).這就是貫穿這一課時(shí)始終的“數(shù)形結(jié)合”.分析x、y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從2個(gè)點(diǎn)所連線段到第3個(gè)點(diǎn)、第4個(gè)點(diǎn)的檢驗(yàn)，即通過(guò)兩點(diǎn)的中間點(diǎn)始終不在線段上的事實(shí)，促使學(xué)生的思維發(fā)生第一次跳躍 ——從“直”到“曲”.再分析x、y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由于x≠0，因此自變量x在x＝0處會(huì)發(fā)生跳躍，那么圖象也就要分別在x＜0，x＞0兩個(gè)方向去逼近x＝0，由自變量的無(wú)窮取值，促使學(xué)生的思維發(fā)生第二次跳躍 ——從“連續(xù)”到“間斷”，從“一條直線”到“兩支曲線”.這就是貫穿上述案例的“由有限到無(wú)限”的逼近思想.即列有限個(gè)數(shù)組，描有限個(gè)點(diǎn)，然后分析趨勢(shì)，借助對(duì)無(wú)限的合理想象，生動(dòng)地展示了函數(shù)圖象的“再創(chuàng)造”.這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生完成對(duì)反比例函數(shù)圖象的兩次突破就顯得順理成章，合情合理了.

2 以豐富的表象操作經(jīng)驗(yàn)為依托，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念從“過(guò)程”到“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)概念具有二重性，即作為“過(guò)程”的概念和作為“對(duì)象”的概念.在過(guò)程階段表現(xiàn)為一系列的步驟，有操作性，相對(duì)直觀，容易仿效.比如反比例函數(shù)圖象的作圖過(guò)程.但是由于步驟的前后次序以及每一步中包含不少細(xì)節(jié)，如果停留在過(guò)程階段，思維所考慮的因素呈序列動(dòng)態(tài)，就不易全面掌握，較難抓住要害和實(shí)質(zhì).當(dāng)概念進(jìn)入對(duì)象狀態(tài)時(shí)，便呈現(xiàn)一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，易于整體把握性質(zhì)，并可轉(zhuǎn)變?yōu)榭杀徊僮鞯摹皩?shí)體”.只有在此時(shí)，一個(gè)完整的理解才真正成型.數(shù)學(xué)思維、理解的認(rèn)知過(guò)程都是要經(jīng)由“過(guò)程”到“對(duì)象”的先后順序，而要實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)變，離不開(kāi)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐與體驗(yàn).

在上述教學(xué)片段中，首先是對(duì)第一象限中一個(gè)個(gè)點(diǎn)的具體操作，分析出函數(shù)圖象的一些特征；然后在第三象限中用手指畫(huà)示意圖，同時(shí)完成一些典型錯(cuò)誤的辨析，最后是概括出整體性質(zhì).這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷了布魯納所說(shuō)的抽象概念依次發(fā)展的3個(gè)階段：動(dòng)作操作（列表描點(diǎn)）、表象操作（手指描草圖）、符號(hào)操作（看到反比例函數(shù)就想到雙曲線），強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖象作為一個(gè)整體對(duì)象的建構(gòu).

眾所周知，正例有利于建立概念，反例有利于辨別概念.因此，當(dāng)做出第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象之后，學(xué)生已有了“正例”，類(lèi)比地，不難在第三象限描出正確圖象.繼而，再構(gòu)造兩個(gè)“反例”，演示而不投影，既可達(dá)到辨析概念的目的又盡量不留負(fù)面印象.這樣，通過(guò)豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的表象操作，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

3 以函數(shù)各種表示形式的溝通為橋梁，建構(gòu)和完善良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)

函數(shù)的表示形式有三種：解析式、表格、圖象，這三者是等價(jià)的，分別從式、數(shù)、圖三個(gè)方面對(duì)函數(shù)進(jìn)行描述.然而，無(wú)論教、學(xué)，往往重視解析式與圖象，而輕視表格，上述教學(xué)片段也明顯地重視解析式與圖象的相互印證，而將表格只是作為作圖的準(zhǔn)備工具而已，這是基于執(zhí)教者對(duì)函數(shù)各表示形式之間的孤立、片面的理解.現(xiàn)在想來(lái)，函數(shù)的表格形式也是大有教學(xué)價(jià)值的.一是描點(diǎn)之前的列表，正是將解析式“翻譯”為表格，作圖只是將表格中的數(shù)對(duì)“翻譯”為坐標(biāo)系中的點(diǎn)；二是觀察分析函數(shù)性質(zhì)時(shí)，除了分析函數(shù)解析式、觀察函數(shù)圖象外，當(dāng)然也可以從表格的數(shù)據(jù)中得到呼應(yīng).

比如，針對(duì)學(xué)生對(duì)雙曲線與x軸、y軸“越來(lái)越靠近（但不相交）”的趨勢(shì)不易理解的這個(gè)問(wèn)題，就可以充分利用函數(shù)的表格形式.讓學(xué)生觀察最終所得的表格（表格一），提出一組問(wèn)題：

表格一

（1）x＞0時(shí)，函數(shù)值的符號(hào)怎樣？x＜0呢？你能用一句話概括嗎？

這個(gè)現(xiàn)象與圖象的什么性質(zhì)相一致？

（2）x＞0時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)值怎樣變化？隨著x的減小，函數(shù)值怎樣變化？

這個(gè)現(xiàn)象與圖象的什么性質(zhì)相一致？

（3）x＜0時(shí)，上述（2）的問(wèn)題怎樣回答？能用一句話概括嗎？

通過(guò)這組問(wèn)題的回答與分析，學(xué)生得以從“數(shù)”的角度直觀地體會(huì)反比例函數(shù)的增減性.

遺憾的是，由于筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)階段尚未認(rèn)識(shí)到函數(shù)的表格形式的價(jià)值，而錯(cuò)失了這一對(duì)反比例函數(shù)增減性進(jìn)行數(shù)值的直觀的描述的機(jī)會(huì).

從這節(jié)公開(kāi)課中，筆者深深地體會(huì)到，執(zhí)教者對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解越深刻，他（她）的數(shù)學(xué)課堂才能更有數(shù)學(xué)味，更悠遠(yuǎn)、更簡(jiǎn)練.插上數(shù)學(xué)思想的翅膀，令數(shù)學(xué)課堂更有活力.

1 劉金英，李慶.“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)與反思［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011，1、2合訂本

2 李士锜.熟能生巧嗎？［J］數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，（8）

3 黃興豐，湯炳興，龔玲梅等.經(jīng)驗(yàn)教師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略的個(gè)案研究.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)［J］.2012，（1）