淺談一類(lèi)高考解析幾何試題的命題途徑——由2011江蘇、2012遼寧、湖北卷解幾題有感

江蘇省建湖高級(jí)中學(xué) 劉友明 （郵編：224700）

解析幾何問(wèn)題以其獨(dú)特的魅力活躍在每年的各大省份及全國(guó)的高考試卷中，且常常以壓軸題，拉分題自居，深得出卷人的青睞，是考查學(xué)生處理數(shù)與形問(wèn)題能力的一塊良土.學(xué)生常因數(shù)據(jù)處理能力不足，出錯(cuò)率較高，無(wú)法順利完成解答，在“數(shù)與形的轉(zhuǎn)化”，找“幾何關(guān)系特征”，“化簡(jiǎn)計(jì)算”等環(huán)節(jié)有很大欠缺，進(jìn)而喪失了信心.那么如何才能幫助學(xué)生建立自信，并對(duì)解析幾何問(wèn)題產(chǎn)生濃厚興趣呢？前提就是要求老師能在此方面作一些研究，探尋一條解幾問(wèn)題命題的規(guī)律及途徑，當(dāng)然這就對(duì)教師提出了更高的要求.以下本人就近兩年考題作一些研究，以期能與讀者共勉.

1 課本及各大省份的考題背景是產(chǎn)生考題的一塊熱土——研究、探索、推廣考題是我們的方向

1.1 學(xué)會(huì)變換圖形的位置 —— 力求能對(duì)問(wèn)題從一個(gè)角度出發(fā)達(dá)到多方位的效果，從而可以提高學(xué)生的變位思考能力.

按照德國(guó)大數(shù)學(xué)家克萊茵的觀點(diǎn)，我們所研究的幾何圖形的種種性質(zhì)，只不過(guò)是研究幾何圖形在各種幾何變換下的不變性和不變量.通過(guò)感知和學(xué)習(xí)圖形的變換，不僅有助于學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度去認(rèn)識(shí)事物，去了解圖形之間的聯(lián)系，從而發(fā)展他們的幾何直覺(jué)，而且還能有利于學(xué)生感受，欣賞圖形的美，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在潛能.2011江蘇卷與2012湖北卷兩題的最后一問(wèn)實(shí)際上就是變換了圖形的位置，湖北卷將江蘇卷中“過(guò)P作x軸的垂線”改為“過(guò)P作y軸的垂線”，其它條件完全一樣，最后問(wèn)題的設(shè)置也是相同的，處理的方法就是轉(zhuǎn)化為斜率之積為－1，具體處理方法可見(jiàn)原高考參考答案，或可利用本文的推論1.2直接解出結(jié)果.

1.2 學(xué)會(huì)能將具體問(wèn)題一般化 —— 力求推出一般性的結(jié)論，從而可以拓寬學(xué)生的視野，達(dá)到會(huì)一題而知一類(lèi)的良好效果.

數(shù)學(xué)概念舍棄了具體形象的支撐而升華為抽象的文字，學(xué)生不易接受，但作為教者一定要有這樣的能力和敏感直覺(jué)，對(duì)于2011江蘇題如果我們?cè)偃我馊∫粰E圓是否還有此完美的性質(zhì)（垂直）呢？如果有那就太完美了，如果沒(méi)有又會(huì)有什么規(guī)律可循呢？當(dāng)然這就要求我們教師提前作一些準(zhǔn)備.我們可以借助幾何畫(huà)板很輕松地得到一些數(shù)據(jù)，從而猜想并推導(dǎo)出結(jié)論，將之升華為一般性結(jié)論傳授給學(xué)生，當(dāng)然這中間過(guò)程的艱辛，也可讓學(xué)生作一些參與，從而減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，大大提高了課堂的效率，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.2011江蘇卷及2012湖北卷的最后一問(wèn)實(shí)際上源于同一處理方法的兩個(gè)結(jié)論，其結(jié)果是一個(gè)定值.（推導(dǎo)過(guò)程可參考文［1］）

當(dāng)然讀者也可仿此將橢圓焦點(diǎn)放在y軸上推導(dǎo)出一般結(jié)論.通過(guò)對(duì)問(wèn)題一般性結(jié)論的研究，不言而喻會(huì)對(duì)學(xué)生有很大的沖擊力，從而對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題有了本質(zhì)的理解，而不是就題論題，搞題海戰(zhàn)術(shù).

王禹偁也繼承了韓愈的觀點(diǎn)，其《答張扶書(shū)》曰：“夫文，傳道明心也，古圣人不得已而為之也”[注]曾棗莊、劉琳主編：《全宋文》第4冊(cè)，《王禹偁·答張扶書(shū)》，成都：巴蜀書(shū)社，1989年，第357頁(yè)。 ，強(qiáng)調(diào)文句必須“遠(yuǎn)師六經(jīng)，近師吏部。使句之易道，義之易曉，又輔之以學(xué)，助之以氣”[注]曾棗莊、劉琳主編：《全宋文》第4冊(cè)，《王禹偁·答張扶書(shū)》，成都：巴蜀書(shū)社，1989年，第358頁(yè)。 。又《三黜賦》曰：“屈于身兮不屈其道，任百謫而何虧? 吾當(dāng)守正直兮佩仁義，期終身以行文。”[注]曾棗莊、劉琳主編：《全宋文》第4冊(cè)，《王禹偁·三黜賦》，成都：巴蜀書(shū)社，1989年，第210頁(yè)。

1.3 學(xué)會(huì)從圓、橢圓、雙曲線、甚至拋物線之間找聯(lián)系——類(lèi)比可以使知識(shí)得以拓展，從而可以激發(fā)學(xué)生探索未知的欲望.

類(lèi)比法在高中數(shù)學(xué)的許多方面都發(fā)揮著積極作用，它是人類(lèi)獲得新知識(shí)和解決問(wèn)題的重要途徑.美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞對(duì)類(lèi)比法推崇倍至，他在《怎樣解題》的第三部分談到：“在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學(xué)成就中無(wú)不充滿(mǎn)了類(lèi)比.類(lèi)比可在不同的水平使用……”“我們希望能預(yù)測(cè)結(jié)果，或者，至少在某種似乎可信的程度上預(yù)測(cè)結(jié)果的某些特征，這種似乎可信的預(yù)測(cè)通常是以類(lèi)比為基礎(chǔ)的.”

類(lèi)比推理具有如下形式：A具有性質(zhì)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，P；B具有性質(zhì)F′1，F(xiàn)2′，…，F(xiàn)n′，推測(cè)B具有性質(zhì)P′，這里P′分別與F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，P相同或相似，A和B指不同的對(duì)象或不同的事物.對(duì)題1、2我們也可將結(jié)論類(lèi)比推廣到雙曲線：

當(dāng)然讀者也可仿此將雙曲線焦點(diǎn)放在y軸上甚至可以將它類(lèi)比到圓中推導(dǎo)出一般結(jié)論.

2 利用多媒體是產(chǎn)生新穎考題的又一新的領(lǐng)域——會(huì)用、善用、創(chuàng)新利用幾何畫(huà)板是我們的追求

幾何畫(huà)板是指專(zhuān)門(mén)用于數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”的計(jì)算機(jī)軟件，在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中有著重要的作用.代數(shù)公式的推導(dǎo)，圖形與坐標(biāo)的結(jié)合，函數(shù)規(guī)律的研究，統(tǒng)計(jì)與概率的模擬與仿真等，借助它可以很形象直觀地幫我們了解甚至理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

2.1 利用幾何畫(huà)板可以幫我們尋找題目的根源——強(qiáng)化我們對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

圖①

圖②

同時(shí)我們不免有這樣的沖動(dòng)，如果圓為定圓，變化橢圓得到的軌跡又會(huì)如何呢？（如圖③）看似一雙曲線部分圖象，是否是雙曲線呢？經(jīng)過(guò)艱難的推導(dǎo)我們又會(huì)得到一個(gè)意外的收獲.

圖③

證明 設(shè)A（x1，y1），則B（x1，－y1），直線A1A的方程為

直線A2B的方程為

它告訴我們，幾何畫(huà)板雖然很形象，但也有迷惑性，結(jié)論還需我們加以驗(yàn)證與推導(dǎo)方可知其真?zhèn)?

2.2 利用幾何畫(huà)板可將自己的一些奇思妙想，甚至一個(gè)失誤變成一個(gè)美妙的結(jié)論——培養(yǎng)我們的創(chuàng)新能力

由于本人的失誤，誤將圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)E、F分別當(dāng)作點(diǎn)A1與A2，此時(shí)得到了如下圖④的軌跡，其形如一雙曲線的部分圖象.這次又是否正確呢？經(jīng)推導(dǎo)喜得：

圖④

以上僅為本人對(duì)近兩年高考題中出現(xiàn)的解析幾何題的一點(diǎn)思考，推導(dǎo)出來(lái)的一些結(jié)論也僅僅是茫茫解析幾何中的一個(gè)小不點(diǎn)而已，特別是幾何畫(huà)板給我們帶來(lái)的魅力及挑戰(zhàn)，需要我們不斷地學(xué)習(xí).本文希望以此給讀者帶來(lái)教學(xué)和研究上的一點(diǎn)啟示，僅此而已.

1 劉友明.一道試題多重價(jià)值［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2011（7）