如何打好函數(shù)概念這張牌

北京市第八十中學(xué) 索云旺 王貴軍 張啟華 魏 靜 （郵編：100102）

山西長治第二中學(xué) 張銳軍 （郵編：046000）

1 問題的提出

隨著高中新課改的深入推進(jìn)，函數(shù)作為整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的一條主線，并貫徹于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，這一點(diǎn)老師們的認(rèn)識(shí)越來越清晰和深刻.函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念之一，如何打好函數(shù)概念這張牌，自然也引起了廣大教師的高度重視和廣泛關(guān)注.

我們課題組（成員：廖爽、魏靜、田麗、陳國棟、王海霞、李丁、宋群霞、郭豫、周開炎、王坤）在認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材以及學(xué)習(xí)有關(guān)函數(shù)概念歷史演變的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了廣泛調(diào)研，發(fā)現(xiàn)老師們對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)仍需提高，課堂教學(xué)仍有許多需要改進(jìn)的地方.以下僅就函數(shù)概念課堂教學(xué)目標(biāo)的確定與構(gòu)建，以“知識(shí)”為載體，以“引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)展數(shù)學(xué)概括能力”為主線的課堂教學(xué)基本模式談點(diǎn)淺見，教學(xué)過程部分給出課堂教學(xué)實(shí)錄，供同仁參考.

2 課堂教學(xué)目標(biāo)的確定

眾所周知，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》是國家管理和評(píng)價(jià)課程的基礎(chǔ)，也是教材編寫、教學(xué)、評(píng)估和考試命題的依據(jù).因此，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該而且必須按《課標(biāo)》展開.而《課標(biāo)》并未明確給出具體的課堂教學(xué)目標(biāo)，這就要求我們教師根據(jù)《課標(biāo)》“前言”、“單元目標(biāo)”、“說明與建議”、“參考案例”、教材、教學(xué)內(nèi)容在教材所處的地位與作用、學(xué)情分析的基礎(chǔ)上，確定課堂教學(xué)目標(biāo).《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)函數(shù)概念課堂教學(xué)提出的要求與建議為：通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；構(gòu)建函數(shù)的一般概念.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.［1］那么，在課堂教學(xué)中，如何落實(shí)以上兩個(gè)“體會(huì)”？又如何構(gòu)建函數(shù)的一般概念呢？顯然，兩個(gè)“體會(huì)”是構(gòu)建函數(shù)一般概念的基礎(chǔ)，如果真正“體會(huì)”到了，那么構(gòu)建出函數(shù)一般概念自然是水到渠成的事了.

2.1 如何進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材人教版A、B版、北師大版、蘇教版、鄂教版在引入高中函數(shù)概念時(shí)，均是通過如下4個(gè)步驟來實(shí)現(xiàn)：（1）回顧初中函數(shù)概念；（2）列舉3～4個(gè)函數(shù)實(shí)例；（3）用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)對(duì)實(shí)例中的函數(shù)進(jìn)行解讀；（4）陳述高中函數(shù)概念.即教材的呈現(xiàn)方式為（記作 Ⅰ）：

我們課題組外出調(diào)研、聽課中發(fā)現(xiàn)老師們的課堂教學(xué)內(nèi)容也是基本上通過選用本呈現(xiàn)方式實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)》要求的.課堂教學(xué)中師生活動(dòng)為：師生共同回憶初中函數(shù)定義，教師提問每個(gè)實(shí)例中有幾個(gè)變量？變量之間有怎樣的關(guān)系？然后，在學(xué)生回答一個(gè)又一個(gè)問題后，教師給出高中定義，并反復(fù)解釋引入函數(shù)符號(hào)f的意義，至此完成高中定義的學(xué)習(xí).這樣的教學(xué)過程，表面上看學(xué)生積極主動(dòng)地參與了函數(shù)概念的形成過程，但是學(xué)生只是各項(xiàng)指令的機(jī)械執(zhí)行者，并不知道整個(gè)活動(dòng)的目的，學(xué)習(xí)處于被動(dòng)的接受狀態(tài)，尤其是對(duì)引入符號(hào)f感到困惑不解，因而很難形成深刻的思維活動(dòng).我們認(rèn)為這樣的教材呈現(xiàn)方式與教學(xué)方式很難達(dá)到《課標(biāo)》要求.另外，這樣的呈現(xiàn)方式（Ⅰ）還極易給人造成“高中定義”比“初中定義”更高級(jí)、更嚴(yán)格的誤解，從而被多數(shù)教師認(rèn)為“初中定義”是“高中定義”教學(xué)的恰當(dāng)起點(diǎn).

眾所周知，初高中兩個(gè)定義本質(zhì)是一致的，如果說兩個(gè)定義不同的話，那就是把“初中定義”中與x對(duì)應(yīng)的數(shù)y通過引入“對(duì)應(yīng)關(guān)系”符號(hào)f，換成f（x），就演變?yōu)椤案咧卸x”，其它什么都不能說.這樣，我們的教學(xué)內(nèi)容是否可以如下框圖呈現(xiàn)（記作II）：

由框圖（II）可以看出：“高中定義”教學(xué)的起點(diǎn)：或者是兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者是兩個(gè)變量間的依賴關(guān)系（包括變量概念），甚至是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)事物或變化現(xiàn)象中變量的分析.對(duì)此，我們課題組設(shè)計(jì)了2012年秋季9月1號(hào)開學(xué)的新高一和新高三調(diào)研題（附后）各100份，進(jìn)行了教學(xué)前的測試和統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)面對(duì)實(shí)際情境能“鑒別”出其中的變量并用字母表示，高一占10%，高三占20%；能自覺分析哪些變量之間存在依賴關(guān)系，并用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量者，高一占4%，高三占11%.可見，給出實(shí)際問題，讓學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光，觀察并發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)事物或變化現(xiàn)象中哪些是變量（呈現(xiàn)方式（II）），在此基礎(chǔ)上形成“一個(gè)量依賴于另一個(gè)量的變化而變化.”這樣的表述，根據(jù)我們的調(diào)查是困難的.史寧中教授指出這是抽象的第一層次，即“直觀描述”，直觀能力的存在是先天的，但一個(gè)好的直觀能力是養(yǎng)成的，養(yǎng)成卻是依賴于經(jīng)驗(yàn)的，如果把能力應(yīng)用于對(duì)事物的抽象，就構(gòu)成了抽象能力，因此抽象能力的養(yǎng)成也是依賴經(jīng)驗(yàn)的.［2］史教授反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“應(yīng)教會(huì)學(xué)生養(yǎng)成從頭想問題的習(xí)慣，以后就能發(fā)現(xiàn)問題了.問題要有一個(gè)轉(zhuǎn)換過程，學(xué)會(huì)先把現(xiàn)實(shí)中的問題通過語言抽象，抽象成一個(gè)科學(xué)的東西，這個(gè)過程對(duì)小孩子是非常重要的.”［3］弗賴登塔爾也認(rèn)為：數(shù)學(xué)化應(yīng)從“原始的現(xiàn)實(shí)開始”，而非接近數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí).［4］在這個(gè)過程中，真實(shí)與數(shù)學(xué)之間的翻譯轉(zhuǎn)換是主要的數(shù)學(xué)活動(dòng).（參考Freudenthal，1983，vomHofe，1998）

我國數(shù)學(xué)教育學(xué)家劉亦珩在20世紀(jì)30年代就指出：教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中一定要做到：“不是學(xué)生暗記定義，不應(yīng)該使學(xué)生機(jī)械的應(yīng)答所發(fā)生的問題；必須使學(xué)生注意一量與他量的關(guān)系，或一量為其他數(shù)個(gè)量所決定的實(shí)例；且隨時(shí)使學(xué)生考察其間的關(guān)系，及其相互作用.”［5］

王尚志教授建議教師從三個(gè)角度幫助學(xué)生不斷地加深對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí).其中第一個(gè)角度是變量與變量的依賴關(guān)系.他指出：“思考問題時(shí)，什么是不變的，什么是變的，發(fā)生變化的量之間有沒有關(guān)系，如何來描述這些變量與變量之間的依賴關(guān)系，這些思考，不僅在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中以及在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中，都是非常重要的.對(duì)變量之間的依賴關(guān)系的認(rèn)識(shí)，有人把它當(dāng)做認(rèn)識(shí)函數(shù)的低級(jí)階段，這種看法是值得商榷的.”［6］著名數(shù)學(xué)家克萊恩說過：“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會(huì)的重要事情是用變量和函數(shù)來思考.”

基于以上分析，我們課題組認(rèn)為：“高中定義”與“初中定義”有著共同的教學(xué)起點(diǎn)：“鑒別”出現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)事物或變化現(xiàn)象中的變量（對(duì)變量概念的再認(rèn)識(shí)）以及推斷兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系，這樣才是更本源更原始問題的討論.

事實(shí)上，呈現(xiàn)方式（II）是將呈現(xiàn)方式（I）中對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，變?yōu)榻?shù)學(xué)模型，因此對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力、思維能力要求更高，也更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和積極性.這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)，不僅從機(jī)械的接受學(xué)習(xí)變?yōu)橛幸饬x的建構(gòu)性學(xué)習(xí)，而且在經(jīng)歷“再創(chuàng)造與再發(fā)現(xiàn)的過程”中，學(xué)生的靈性得以釋放，數(shù)學(xué)體驗(yàn)得以生成，創(chuàng)新意識(shí)得到發(fā)展.［7］

其實(shí)，呈現(xiàn)方式（II）是符合認(rèn)知科學(xué)和認(rèn)知心理學(xué)原理的.在布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)修訂版中，將知識(shí)分為事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)、程序性知識(shí)、元認(rèn)知知識(shí)，認(rèn)知過程的水平從低到高，分為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造六個(gè)層次.關(guān)于新授課的教學(xué)通則是：知識(shí)類別與認(rèn)知過程存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，即事實(shí)性知識(shí)常被記憶（回憶）、概念性知識(shí)常被理解、程序性知識(shí)常被應(yīng)用.布魯姆指出：“我們教學(xué)時(shí)，想要學(xué)生學(xué)有所得，我們想要學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)得的東西作為我們的教學(xué)結(jié)果，就是我們的教學(xué)目標(biāo).”變量概念與函數(shù)概念（初中定義）屬數(shù)學(xué)事實(shí)與概念性知識(shí)，所以在初中學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果（教學(xué)目標(biāo)）：變量概念與函數(shù)概念被記憶與理解是恰當(dāng)?shù)?，這也是初中義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）的教學(xué)要求.但學(xué)生經(jīng)過初三中考復(fù)習(xí)，認(rèn)知能力得到提高，所以我們采用了布魯姆的學(xué)習(xí)問題通則是“用復(fù)雜的認(rèn)知過程去幫助實(shí)現(xiàn)較簡單的目標(biāo).”［8］即用“鑒別”（同“區(qū)別”，是認(rèn)知過程“分析”的第一亞類）、“推斷”（理解的第五亞類）和“應(yīng)用”的認(rèn)知過程來實(shí)現(xiàn)對(duì)變量概念（“鑒別”出現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)事物或現(xiàn)象中的變量）以及函數(shù)概念（“推斷”出兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系并“應(yīng)用”方程式表達(dá)這種關(guān)系）的回憶、理解.也就是說相同的教學(xué)內(nèi)容，不同的認(rèn)知要求所采用的教學(xué)策略、教學(xué)測評(píng)等是不一樣的.換句話說，在初中函數(shù)概念新授課中需要學(xué)生達(dá)到理解水平，那么在教學(xué)策略使用中多考慮精加工策略、組織策略等，以促進(jìn)學(xué)生通過主動(dòng)建構(gòu)概括和理解概念；在高中定義學(xué)習(xí)階段，需要學(xué)生達(dá)到應(yīng)用水平，那么在教學(xué)策略使用中更多利用獨(dú)立練習(xí)、過渡練習(xí)、變式練習(xí)等，以促進(jìn)學(xué)生在新情境中遷移水平的提高.美國“QUASAR”計(jì)劃的研究者在觀察中發(fā)現(xiàn)：“高認(rèn)知水平數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)為學(xué)生提供了運(yùn)用高水平的思維和推理的機(jī)會(huì)，日復(fù)一日，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)得到潛在的發(fā)展，創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力得到提高.”［9］

需要特別說明的是，在上述討論中，我們對(duì)《課標(biāo)》中描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞“體會(huì)”一詞進(jìn)行了“認(rèn)知化”處理，將其轉(zhuǎn)化為《課標(biāo)》中描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞“理解”.根據(jù)我校學(xué)生的學(xué)習(xí)水平以及函數(shù)概念在本單元、模塊1，乃至在高中數(shù)學(xué)中的典范作用，又對(duì)布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)修訂版中認(rèn)知過程程度“理解”的七個(gè)亞類—— 解釋、舉例、分類、總結(jié)、推斷、比較、說明，選取了第五個(gè)亞類“推斷”（這一過程實(shí)際上是將“理解”這一內(nèi)隱的心理活動(dòng)動(dòng)詞，轉(zhuǎn)換成了相應(yīng)的外顯性行為動(dòng)詞“推斷”）并進(jìn)行了擴(kuò)展，組成了“鑒別”、“推斷”和“應(yīng)用”的復(fù)雜認(rèn)知過程來實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)》目標(biāo)：進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.

2.2 如何體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用

“體會(huì)”某事物的作用，實(shí)際上是對(duì)某事物進(jìn)行“評(píng)價(jià)”，（“評(píng)價(jià)”是布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)修訂版中認(rèn)知過程類別中的第五個(gè)認(rèn)知水平），而“評(píng)價(jià)”有兩個(gè)亞類 ——檢查、評(píng)論（判斷），在這里是“判斷”，即能正確“判斷”（評(píng)論）對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，我們?nèi)杂谩坝脧?fù)雜的認(rèn)知過程去幫助實(shí)現(xiàn)較簡單的目標(biāo).”即用“分析”、“判斷”與“創(chuàng)造”這樣的認(rèn)知過程類別實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)》目標(biāo)：體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.具體說就是通過“分析”將兩個(gè)變量之間的“依賴關(guān)系”換一種等價(jià)說法：即兩個(gè)變量之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”.在喚醒學(xué)生對(duì)“初中的定義”回憶的同時(shí)，借用“初中定義”判斷所給幾個(gè)實(shí)例（其中包括可求出解析式，圖象、表格）中的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是否是“函數(shù)關(guān)系”的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生“判斷”（評(píng)論）兩數(shù)集中兩個(gè)變量之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是“初中定義”中的變量y是變量x函數(shù)的關(guān)鍵要素，與是否在“對(duì)應(yīng)關(guān)系”下用變量x表示出變量y無關(guān).但在有些“對(duì)應(yīng)關(guān)系”下的兩個(gè)變量確實(shí)可以用變量x表示出變量y.（一定要通過實(shí)際問題讓學(xué)生親自動(dòng)手練習(xí)用x表示出y）那么，在用圖象、表格表示的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”下的兩個(gè)變量是否也能做到“用變量x表示出變量y”的問題油然而生.教師因勢(shì)利導(dǎo)地提出：兩個(gè)數(shù)集中兩個(gè)變量之間在三種類型（解析式、圖象、表格）的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”下，又怎樣一般地用變量x表示出變量y呢？通過運(yùn)用復(fù)雜的認(rèn)知過程與上述元認(rèn)知提問，學(xué)生自然產(chǎn)生一種用符號(hào)表示“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的心理需求，創(chuàng)造性地引入符號(hào)f表示“對(duì)應(yīng)關(guān)系”不僅成為可能而且水到渠成.

綜上所述，為較好地實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)》目標(biāo)，根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，我們確定函數(shù)概念課堂教學(xué)目標(biāo)如下：從實(shí)際情境中“鑒別”出變量及“推斷”兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系作為課堂教學(xué)起點(diǎn)目標(biāo)；“判斷”對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，創(chuàng)造性地引入符號(hào)f是使能目標(biāo)；形成函數(shù)的一般概念，獲得y＝f（x）為課堂教學(xué)終點(diǎn)目標(biāo).教學(xué)實(shí)踐表明，對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)目標(biāo)定位在構(gòu)建函數(shù)模型的層次上，不僅能使學(xué)生較好地了解函數(shù)概念的來龍去脈，深刻理解函數(shù)概念本質(zhì)，而且為學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的思想分析問題，解決問題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.3 為什么強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)概念教學(xué)提出的教學(xué)建議：數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體事例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.這又是為什么呢？

概念是簡化世界的類目，是將一系列物體、事件和思想進(jìn)行分類的心智結(jié)構(gòu)，它們占據(jù)了學(xué)校課程很大部分的內(nèi)容（Klausmeier，1992）.

概念是重要的，概念反映思想，但概念并不出思想，不是通過概念的變換產(chǎn)生思想的，相反，思想產(chǎn)生概念.思想不出自概念，而概念則出自思想.比起概念來，思想內(nèi)容更重要；比起形式定義來，概念實(shí)質(zhì)含義更重要.［10］數(shù)學(xué)在其自身的發(fā)展進(jìn)程中早就成功地孕育著、蘊(yùn)涵了諸多科學(xué)的客觀規(guī)律.概念是思維的一種形式，概念的形成過程與思維過程中使用的方法是一致的，這些方法既是數(shù)學(xué)研究的基本方法，也是教學(xué)的方法.［11］徐利治院士指出：揭示“知識(shí)發(fā)生過程”的教育有助于培養(yǎng)創(chuàng)造性.［12］對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，總是在經(jīng)歷著從相對(duì)具體到相對(duì)抽象和從相對(duì)抽象到相對(duì)具體的運(yùn)動(dòng)，在不同層次的抽象之間運(yùn)動(dòng)著，反復(fù)地運(yùn)動(dòng)著.因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，非常重要的任務(wù)之一是讓學(xué)生習(xí)慣與不同層次的抽象打交道，熟悉抽象，甚至喜歡抽象.即便如此，學(xué)生仍是在與相對(duì)具體東西打交道過程中進(jìn)行抽象思維的.［13］

因此，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程，不僅是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過程，而且也是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程.也就是說通過概念教學(xué)可以落實(shí)培養(yǎng)能力和提高素養(yǎng)的目標(biāo).

2.4 概念教學(xué)中主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力

著名思維發(fā)展心理學(xué)教授林崇德說“數(shù)學(xué)能力就是概括能力”.蘇聯(lián)著名的心理學(xué)家克魯捷茨基等通過實(shí)驗(yàn)研究證實(shí)：“概括能力是數(shù)學(xué)能力最重要的指標(biāo)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很容易成功的學(xué)生往往是因?yàn)樗麄兙哂休^強(qiáng)的概括能力”.［14］在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，抽象和概括被認(rèn)為是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的主要邏輯方法，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的高低與學(xué)生抽象概括能力的高低有直接的關(guān)系.［15］數(shù)學(xué)的歷史展示了數(shù)學(xué)理論的形成和發(fā)展也是一個(gè)不斷概括的過程.這表明概括是研究數(shù)學(xué)的基本思想方法.因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必然需要概括，數(shù)學(xué)概括能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要條件.［16］從遷移的角度來看，心理學(xué)認(rèn)為：“遷移就是概括”.概括的層次越高，遷移的半徑就越大.正如曹才翰教授所說：“在教學(xué)中，與其說‘為遷移而教’，不如說‘為概括而教’”，此話深刻地說出了教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力的重要性.

事實(shí)上，人類社會(huì)現(xiàn)有的概念（當(dāng)然包括數(shù)學(xué)概念）都是在人類社會(huì)歷史發(fā)展的過程中，隨著勞動(dòng)實(shí)踐和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的積累，在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上形成的.［17］

章建躍先生多次指出數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心就是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納獲得概念等思維活動(dòng).因此，在概念教學(xué)中應(yīng)落實(shí)以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力為主的能力培養(yǎng)目標(biāo).

3 構(gòu)建以“知識(shí)”為載體，“引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)展數(shù)學(xué)概括能力”為主線的概念課堂教學(xué)基本模式

本著“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”的原則，數(shù)學(xué)教育要把研究“學(xué)生的學(xué)”放在首位.本著“教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”的原則，數(shù)學(xué)教育則要把研究“學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)”放在首位.本著知識(shí)傳授與能力培養(yǎng)相協(xié)調(diào)的教學(xué)原則，我們課題組設(shè)計(jì)了以“知識(shí)”為載體，“引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)展數(shù)學(xué)概括能力”為主線的概念課堂教學(xué)基本模式（見如下框圖），完成概念的教與學(xué).

當(dāng)然，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，在改造本模式基礎(chǔ)上，構(gòu)建更切合實(shí)際的教學(xué)模式.

教學(xué)過程中，針對(duì)不同的概括內(nèi)容（如數(shù)學(xué)符號(hào)的意義、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、運(yùn)算與推理、數(shù)學(xué)思想方法等）突出數(shù)學(xué)觀念在指導(dǎo)數(shù)學(xué)思維過程中的作用，協(xié)調(diào)各種數(shù)學(xué)能力，樹立概括意識(shí)，把握概括方向，遵循概括的階段（觀察階段、抽取階段、篩選階段、推廣階段、確認(rèn)階段），靈活運(yùn)用概括的方式（歸納式概括、類比式概括等）分階段、分類型幫助學(xué)生構(gòu)建起對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)時(shí)進(jìn)行概括的完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)展數(shù)學(xué)概括能力.邵光華先生在其《數(shù)學(xué)思維能力結(jié)構(gòu)的定量分析》一文中指出了數(shù)學(xué)概括能力主要由形成數(shù)學(xué)概念的概括能力、形成數(shù)學(xué)通則通法的概括能力和遷移概括能力三種能力因素構(gòu)成，且后兩種能力起主導(dǎo)作用決定著總體概括水平.

因此，在課堂教學(xué)中，函數(shù)概念形成環(huán)節(jié)（“現(xiàn)實(shí) → 依賴關(guān)系 → 對(duì)應(yīng)關(guān)系 → 引入f→f（x）→函數(shù)概念）主要是引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)展形成函數(shù)概念的概括能力.函數(shù)概念理解、運(yùn)用、鞏固、深化環(huán)節(jié)（若干數(shù)學(xué)對(duì)象 → 共同特征 → 規(guī)律），主要是引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)展形成通性通法的概括能力與遷移概括能力.當(dāng)然，數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)要與其它能力的培養(yǎng)同時(shí)進(jìn)行，使其協(xié)調(diào)發(fā)展.（待續(xù)）

1 教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003

2 史寧中.數(shù)學(xué)的抽象［J］.東北師大學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版）2008，（5）：180

3 史寧中.注重“過程”中的教育 ——義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的若干思考［J］人民教育2012.7

4 弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探——在中國的講學(xué)［M］.劉意竹，楊剛譯.上海：上海教育出版社，1999

5 李春蘭.劉亦珩的數(shù)學(xué)教育思想［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012，51（9）：9

6 王尚志.高中數(shù)學(xué)課程中的函數(shù)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2007，（7）：8

7 索云旺等.論數(shù)學(xué)體驗(yàn)及其生成［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（1）：77

8 蔣小平等.布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)修訂版［M］.北京：外語教學(xué)與研究出版社，2009：184

9 Stein M K，Smith M S.Mathematical Tasks as a Framewor k for Reflection：From Research to Practice ［J］.Mathematics Teaching in the Middle School，1998，3（4）：268–275

10 張楚廷著.教學(xué)論綱［M］.北京：高等教育出版社，2000，11

11 曹才翰編著.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1990，1

12 徐利治.徐利治談治學(xué)方法與數(shù)學(xué)教育［M］.大連大連理工大學(xué)出版社，2007，12

13 張楚廷.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.北京：警官教育出版社，1998

14 曹才翰編著.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社.1990，1

15 克魯捷茨基.中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力心理學(xué)［M］.上海：上海教育出版社，1983

16 索云旺.高中學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力培養(yǎng)的實(shí)驗(yàn)與建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2001（6）：9

17 蔡金法.關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力發(fā)展差異的實(shí)驗(yàn)研究［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)1988，（3）：37