SMC 在結構可靠性分析中的應用

胡江華，孟松鶴，朱燕偉

(哈爾濱工業(yè)大學 復合材料與結構研究所，150080 哈爾濱)

在工程中，結構設計需要設計者按照一定的目標，對各種因素進行分析、綜合、決策、評價和優(yōu)化.在結構設計中，有很多因素都是不確定的，忽略這些不確定因素對結構的影響是不科學的，因為這些不確定性因素可能使結構特性和響應產(chǎn)生較大的偏差和不可預知性.在工程結構中，不確定性主要來源于:材料參數(shù)的不確定性、結構幾何尺寸的不確定性、施加載荷的不確定性和結構邊界條件的不確定性［1］.

傳統(tǒng)的結構設計方法，一般都是基于確定性分析，采用安全因子等方法來提升結構的可靠度，這往往帶來了大量的冗余設計，也增加了結構質(zhì)量和制造成本［2］.目前，不確定性結構可靠度計算方法有很多，如:矩法［3］、非概率可靠性分析方法［4］、隨機有限元法［5］和蒙特卡洛方法［6］等.在這些分析方法中，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法是比較常用且最基本的一種分析方法，它的優(yōu)點是不需要做任何前期準備工作和特殊處理.但對于一個高可靠的結構而言，計算其失效概率時，在規(guī)定的計算精度要求下，能夠使用蒙特卡洛方法的途徑有:1)采用足夠大的樣本［7－9］;2)采用重要抽樣法［10］.這兩種方法都是從改變樣本來提高精度，本文將通過改變蒙特卡洛方法的計算過程來提高計算精度，即分離式的蒙特卡洛方法［8－9，11－13］(separable Monte Carlo)，該方法對于那些響應成本很高(如需有限元計算)，而能力成本較低的結構，可通過增加能力樣本來提高計算精度，而只增加了少量的計算成本.

1 失效概率估計

對大部分的結構而言，其失效概率估計都可以通過極限狀態(tài)方程G 來實現(xiàn)，如式(1)為分離式的極限狀態(tài)方程［8－9］

式中:R 為響應(如:結構的應力值)，其不確定性來源于一組隨機變量X1;C 為能力(如:結構的強度值)，其不確定性來源于另一組隨機變量X2，并且X1和X2在統(tǒng)計上是獨立的.當式(1)中的R ＞C 時，結構發(fā)生失效.

1.1 原始的蒙特卡洛方法(CMC)

原始的蒙特卡洛方法(CMC)的失效概率估計表達式為

式中:I 為一個指示函數(shù)，如果條件為真時，I=1，如果條件為假，I=0.對于CMC 方法而言，NCMC服從一個參數(shù)為(N，pf)的二項分布，其中pf為真實的失效概率.因此，CMC 失效概率估計的期望和方差可表示為

從式(4)可以看出，在給定失效概率條件下，CMC 計算的精度受限于樣本數(shù)N.所以，對于那些失效概率很小，獲取響應樣本成本很高的結構，響應計算的成本往往就是樣本數(shù)N 選取的限制性因素.

1.2 條件期望法(CE)

如果已知能力值的分布函數(shù)FC(x)，對于任意給定的一個響應值Ri，可獲得在該響應值下的結構失效概率值FC(Ri).故在響應樣本數(shù)為N 的條件下，結構的失效概率可表示為

式(5)與式(2)中的CMC 估計相似，但是CMC 中N 表示響應和能力的樣本大小，而在CE中N 僅僅表示響應的樣本.

CE 估計的期望和方差為

通過比較式(3)和式(7)，CE 的方差和CMC的方差可進行明顯的比較.基于概率定義，式(7)中平方項的概率，可表示為

式中:隨機變量C1和C2都是C 中的獨立樣本.因此，式(7)可表示為

將式(8)與式(3)進行比較，可以很容易看出，兩個隨機變量C1和C2小于R 的概率自然小于或等于一個隨機變量C1小于R 的概率.即

所以有

1.3 分離式蒙特卡洛方法(SMC)

在式(1)的極限狀態(tài)方程中，當能力和響應在統(tǒng)計上是相互獨立的隨機變量時，R(X1)和C(X2)便可獨立進行取樣.圖1 表示了CMC 和SMC 在極限狀態(tài)方程中概率估計的方法，從CMC與SMC 對比可以看出，CMC 進行的是N 組樣本的一對一比較，而SMC 進行的是能力和響應樣本所有可能組合的比較，很明顯SMC 比CMC 的精度要高很多.SMC 的失效概率估計表達式為

式中:N 為響應樣本數(shù)量;M 為能力樣本數(shù)量.在SMC 模擬中，不需要相同大小的能力和響應樣本，尤其是對于那些能力樣本很容易獲得的情況下，可以獲得更多的樣本來提高失效概率的計算精度.

圖1 蒙特卡洛樣方法比較示意圖

在CE 中，能力的分布函數(shù)是已知的，所以在蒙特卡洛模擬中，不需要對其進行樣本抽樣;而在SMC 中，能力的分布函數(shù)可以是未知的，對其進行隨機樣本抽樣后，就可以獲得能力的試驗分布函數(shù)，如圖2 所示.對于不同的隨機抽樣樣本，其試驗分布函數(shù)不同，失效概率估計值也就不同.當SMC 中能力樣本的數(shù)量達到無窮大時，其試驗分布函數(shù)才等于CE 中解析的能力函數(shù)表達式.可見，在失效概率計算中，CE 由于采用了解析的能力分布函數(shù)，其精度要高于采用了試驗分布函數(shù)的SMC，但SMC 中的能力樣本數(shù)量越大時，它們之間的差別就越小.由于SMC 不需要具體的能力分布函數(shù)，所以它在失效概率估計中比CE 方法具有更廣的應用范圍.

圖2 SMC 隨機樣本的試驗分布函數(shù)示意圖

同樣，對于SMC 方法而言，也可以獲得其失效概率估計的期望值和方差值.由于SMC 中響應樣本和能力樣本的隨機性，必須使用條件計算來確定其期望和方差.SMC 的期望值和方差表達式為

所以方差的表達式可表示為

2 算例分析

以噴管擴張段結構的失效概率計算為例，假設噴管擴張段在熱載荷作用下，由于擴張段使用材料性能的不確定性，導致擴張段發(fā)生失效.其極限狀態(tài)方程及失效條件可寫為

式中:σR為軸向拉應力極值;σC為軸向拉伸強度.引起軸向拉應力極值σR不確定的主要材料性能包括徑向熱導率和軸向彈性模量.表1 所示為主要材料性能的分布規(guī)律、均值及變異系數(shù)，其他材料性能變化對結構可靠性的影響可以忽略不計.

表1 主要材料性能及分布規(guī)律

通過有限元分析，可建立軸向拉應力極值與徑向熱導率和軸向彈性模量之間的關系，不考慮它們之間的單位換算.

由式(12)可知，獲得軸向拉應力極值的概率密度函數(shù)具有一定的難度，更無法獲得失效概率的解析解，只能從數(shù)值計算上對其進行失效概率估計.由上述分析可知，CE 的計算精度最高，因此可通過在樣本數(shù)N=105情況下，重復進行計算105次，獲得名義上失效概率為1.727 5E－4，并以此名義失效概率為基礎，對CMC、CE 和SMC 估計的精度進行對比.表2 列出了在不同樣本，重復進行計算104次條件下，失效概率估計的試驗值和估計值的標準差及變異系數(shù).其中，實驗值是指在數(shù)值計算過程中，由式(9)計算出每一次數(shù)值計算的失效概率，然后與名義上的失效概率進行比較，獲得其標準差與變異系數(shù);估計值是指在計算失效概率方差的過程中，采用式(11)計算每一次數(shù)值計算中的方差，然后對所有的方差值進行平均，獲得平均方差;并且對這些方差值進行分布特征分析，獲得方差估計的變異系數(shù).由失效概率估計的變異系數(shù)可以看出，CE 估計精度最高，SMC 次之，CMC 最低，并且可以看出，失效概率試驗和估計的變異系數(shù)沒有明顯區(qū)別.

圖3 和圖4 分別表示CE 和SMC 的計算精度隨樣本數(shù)(取對數(shù))的變化趨勢.從CE 的精度隨樣本數(shù)N 的變化來看，N 的增加能提高計算精度，從N=100 時的39.32%增加到N=10 000時的4.04%.從SMC 的精度隨樣本數(shù)N 和M 的變化來看，當N=1 000 時，M 的增加能顯著提高計算精度，而當M=1 000 時，N 的增加對精度改變較小，這主要是由SMC 的方差組成特點決定的.在N=M=104時，重復計算104情況下，通過對SMC 估計方差計算，可獲得式(10)中3 項期望值，如表3 所示.

表2 CMC、CE 和SMC 失效概率估計的標準差和變異系數(shù)對比

圖3 CE 計算精度隨樣本變化

圖4 SMC 計算精度隨樣本變化

表3 SMC 估計方差組成部分的均值和變異系數(shù)

由于樣本的數(shù)量比較大，可以近似認為SMC估計方差組成部分的均值等于真實的期望值.將均值代入到式(11)中，當N=1 000 時，估計標準差可表示為

可見當M ＜106時，M 的變化對標準差大小起主要影響作用，當M ＞106時，M 的變化對估計標準差影響很小，當M →∞時，此時估計標準差為2.32E－5，已經(jīng)接近于CE 估計在N=1 000情況下的估計標準差2.29E－5.而當M=1 000時，估計標準差可表示為

可見當N ＞1 000 時，N 的增加對精度的改變已經(jīng)不明顯了，標準差基本上趨于定值.造成這種情況的主要原因是，SMC 估計方差中的組分φ和ξR1，R2在方差中所占的比例不同，當φ 所占的比重較大時，M 的變化對精度影響起主要作用.這也給SMC 失效概率估計帶來啟示:當對一個高可靠結構進行失效概率分析時，為保證在失效概率計算中不需要太多的響應樣本(一般成本較高)，可對其極限狀態(tài)方程進行變形重組處理，如將響應中的部分項移到能力這邊，以達到改變SMC 估計方差中的ξR1，R2和φ 比重的大小，提升樣本數(shù)M對失效概率估計精度的影響.

3 結論

1)從失效概率計算精度方面來看，CE 計算精度最高，SMC 計算精度次之，CMC 計算精度最低.

2)通過對失效概率計算的試驗和估計標準差及變異系數(shù)對比，發(fā)現(xiàn)試驗和估計的計算精度接近，沒有明顯的差別.

3)對于SMC 方差估計來說，當樣本數(shù)M 增加對計算精度沒有明顯影響時，可通過對極限狀態(tài)方程進行重組變形，增加ξR1，R2在估計方差中的比重，提高樣本數(shù)M 對計算精度的敏感度.

［1］李杰.隨機結構系統(tǒng)－分析與建模［M］.北京:科學出版社，1996.

［2］張俊華，洪祖峻.火箭結構可靠性設計分析［J］.宇航學報，1980(2):21－33.

［3］姚澤良，李寶平，周雪峰.結構可靠度分析的一次二階矩方法與二次二階矩方法［J］.西北水力發(fā)電，2005，21(3):20－23.

［4］郭書祥，呂震宙.結構的非概率可靠性方法和概率可靠性方法的比較［J］.應用力學學報，2003，20(3):107－111.

［5］李豐，孟廣偉，周立明，等.復雜載荷作用下結構的可靠性研究［J］.哈爾濱工業(yè)大學學報，2011，43(S1):295－298.

［6］HANSON J M，BEARD B B.Applying Monte Carlo simulation to launch vehicle design and requirements verification［R］.AIAA，2010－8433.

［7］SMARSLOK B P，ALEXANDER D，HAFTKA R T.Separable Monte Carlo simulation Ap plied to laminated composite plates reliability［R］.AIAA，2008－1751.

［8］SMARSLOK B P，HAFTKA R T.Improving accuracy of failure probability estimates with separable Monte Carlo［J］.International Journal of Reliability and Safety，2010，4(4):393－414.

［9］SWILER L P，WEST N J.Importance sampling:promises and limitations［R］.AIAA，2010－2850.

［10］SMARSLOK B P，HAFTKA R T，KIM N H.Taking advantage of separable limit states in sampling procedures［R］.AIAA，2006－1632.

［11］RAVISHANKAR B，SANKAR B V，HAFTKA R T.Uncertainty analysis of integrated thermal protection system with rigid insulation bars［R］.AIAA，2011－1767.

［12］RAVISHANKAR B，SMARSLOK B P，HAFTKA R T.Error estimation and error reduction in separable Monte—Carlo method ［J］.AIAA Journal，2010，48(11):2624－2630.

［13］RAVISHANKAR B，SMARSLOK B P，HAFTKA R T.Separable sampling of the limit state for accurate Monte Carlo simulation［R］.AIAA，2009－2266.