多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型在直升機(jī)飛行性能計(jì)算中的應(yīng)用

劉 明，李文輝，黃福貴

(海軍駐景德鎮(zhèn)地區(qū)航空軍事代表室，江西景德鎮(zhèn) 333001)

0 引言

在直升機(jī)飛行性能計(jì)算中，為了提高飛行性能的計(jì)算可信度，越來(lái)越多地采用了高精度的飛行力學(xué)模型。但是如果直接將這些高精度模型用于飛行性能計(jì)算的大量迭代中，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大而難于實(shí)施。在飛行性能的優(yōu)化計(jì)算中，這個(gè)問(wèn)題也會(huì)非常突出，常常使得優(yōu)化計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。另外，無(wú)論是采用Flightlab等商業(yè)軟件還是自研程序，對(duì)于直升機(jī)飛行力學(xué)模型這樣的需要求解各種復(fù)雜配平的數(shù)學(xué)模型，希望在整個(gè)飛行包線范圍內(nèi)都能自動(dòng)穩(wěn)定收斂，得到正確的配平結(jié)果是十分困難的，少數(shù)幾個(gè)計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)的不收斂結(jié)果很有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的性能計(jì)算結(jié)果和優(yōu)化結(jié)果的失真。解決這個(gè)問(wèn)題，一個(gè)可行的方法就是采用代理模型。

目前常用的代理模型主要有多項(xiàng)式響應(yīng)面模型、徑向基函數(shù)模型、Kriging模型等，其中多項(xiàng)式響應(yīng)面模型是優(yōu)化領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛的代理模型，相比其它兩種常用代理模型，它最大的優(yōu)勢(shì)是能夠有效過(guò)濾計(jì)算中的數(shù)值噪聲［1］，剔除由于飛行力學(xué)模型迭代殘差和收斂不穩(wěn)定帶來(lái)的計(jì)算結(jié)果數(shù)值抖動(dòng)，保證代理模型擬合結(jié)果的光順平滑，從而提高整個(gè)代理模型擬合過(guò)程的自動(dòng)化程度、可靠性和適用性，有利于后續(xù)的飛行性能計(jì)算和優(yōu)化。

本文提出一種將多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型應(yīng)用于直升機(jī)飛行性能計(jì)算的方法。首先闡述了多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型的求解方法，然后給出代理模型的構(gòu)造流程，最后對(duì)算例直升機(jī)進(jìn)行原始模型計(jì)算結(jié)果、代理模型計(jì)算結(jié)果和試飛結(jié)果的對(duì)比，還有算例直升機(jī)氣動(dòng)參數(shù)可行域求解，驗(yàn)證本方法在工程實(shí)踐中的可行性和優(yōu)越性。

1 多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型的求解方法

設(shè)代理模型共有m個(gè)設(shè)計(jì)變量，則Y為m維向量，對(duì)第i個(gè)設(shè)計(jì)向量的擬合階數(shù)是orderi，共有p個(gè)采樣點(diǎn)，對(duì)第j個(gè)樣本點(diǎn)響應(yīng)值fj(x)的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的基本形式如下:

由于樣本點(diǎn)數(shù)量可能會(huì)超過(guò)未知數(shù)的數(shù)量，上式可能為超靜定的線性矩陣方程，可以通過(guò)Gram-Schimdt正交化方法QR分解來(lái)求解。采用傳統(tǒng)Gram-Schimdt正交化方法求解列正交矩陣Q時(shí)，舍入誤差較大，導(dǎo)致求解最小二乘法時(shí)會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定，需要采用修正的 Gram-Schimdt正交化方法［2］。對(duì)于A矩陣可以拆分為n個(gè)列向量a1，a2，…，an，構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交基q1，q2，…，qn:

矩陣Q=［q1q2…qn］

通過(guò)修正Gram-schmidt方法可以求得矩陣A的QR分解A=QR，其中QQT=I，且矩陣R為上三角矩陣，于是上式可以變形為:

通過(guò)上三角追趕法就可以求得系數(shù)向量X。

進(jìn)行多變量的高階多項(xiàng)式響應(yīng)面擬合時(shí)，矩陣A常常是病態(tài)矩陣，而且階數(shù)越高、變量數(shù)量越多，病態(tài)越嚴(yán)重。當(dāng)病態(tài)嚴(yán)重到一定程度后，計(jì)算中就會(huì)出現(xiàn)不可用的擬合結(jié)果。因此還需要對(duì)樣本點(diǎn)設(shè)計(jì)變量的分布區(qū)間進(jìn)行平移和壓縮，映射到區(qū)間［－100，100］。設(shè)第j個(gè)設(shè)計(jì)變量的分布區(qū)間上下限為［ymax，ymin］，則對(duì)某個(gè)樣本點(diǎn)的設(shè)計(jì)變量平移公式為:

得到平移后的設(shè)計(jì)變量。通過(guò)實(shí)踐證明，使用映射后的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行最小二乘法擬合可以有效降低矩陣A的病態(tài)程度，保證直升機(jī)飛行性能代理模型構(gòu)造的數(shù)值穩(wěn)定。

得到代理模型的系數(shù)后就可以按多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的基本形式得到樣本點(diǎn)區(qū)間內(nèi)任意變量組合的響應(yīng)值了。

2 建立直升機(jī)需用功率的代理模型

下面介紹計(jì)算用于直升機(jī)飛行性能分析的多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型的構(gòu)建流程:

1)確定設(shè)計(jì)空間的擬合階數(shù)和樣本點(diǎn)

對(duì)于給定的直升機(jī)，對(duì)需用功率影響較大的飛行參數(shù)有:飛行重量、壓力高度、大氣溫度、平飛速度、爬升速度、重心位置、旋翼轉(zhuǎn)速等。如果要進(jìn)行氣動(dòng)參數(shù)優(yōu)化，還可以加入平尾面積、平尾位置、平尾安裝角等氣動(dòng)參數(shù)。根據(jù)直升機(jī)的一般飛行包線和統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)參數(shù)范圍，可以確定設(shè)計(jì)空間的上下限。

然后是確定對(duì)每個(gè)飛行參數(shù)的擬合階數(shù)，飛行重量、壓力高度、大氣溫度、爬升速度對(duì)需用功率的影響比較接近線性關(guān)系，可以使用一階線性或者二階多項(xiàng)式擬合。平飛速度對(duì)需用功率的影響相對(duì)復(fù)雜，使用5階或者6階多項(xiàng)式就可以較好地?cái)M合。對(duì)于氣動(dòng)參數(shù)則需要結(jié)合其自身特點(diǎn)進(jìn)行分析，確定所需擬合階數(shù)。

確定擬合階數(shù)后就可以確定每個(gè)參數(shù)的采樣個(gè)數(shù)，采樣個(gè)數(shù)需要高于參數(shù)的擬合階數(shù)，樣本點(diǎn)的總數(shù)為所有變量的采樣個(gè)數(shù)乘積。

2)使用直升機(jī)飛行力學(xué)軟件計(jì)算樣本點(diǎn)需用功率

使用直升機(jī)飛行力學(xué)軟件對(duì)第一步確定的樣本點(diǎn)逐一進(jìn)行計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的需用功率，并將沒(méi)有收斂的數(shù)據(jù)點(diǎn)剔除掉，以免對(duì)擬合結(jié)果造成誤差。

3)構(gòu)造模型擬合方程，使用最小二乘法對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行擬合

對(duì)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)按前面的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型進(jìn)行組織，得到矩陣方程，并依次進(jìn)行QR分解和上三角追趕求解擬合系數(shù)。

4)使用得到的代理模型進(jìn)行需用功率計(jì)算，檢查代理模型精度

使用得到的代理模型對(duì)樣本點(diǎn)和其它測(cè)試點(diǎn)的需用功率進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比樣本點(diǎn)的需用功率和代理模型的計(jì)算結(jié)果，判斷代理模型是否滿(mǎn)足所需的精度要求。如果代理模型精度不能滿(mǎn)足要求，則調(diào)整樣本點(diǎn)設(shè)置并提高多項(xiàng)式的擬合階數(shù)，直到滿(mǎn)足精度要求為止。

具體流程圖見(jiàn)圖1。

3 多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型在直升機(jī)飛行性能計(jì)算中的應(yīng)用

對(duì)算例直升機(jī)使用前面的方法構(gòu)建多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型，各樣本點(diǎn)和擬合參數(shù)選擇如表1，總共有1701個(gè)樣本點(diǎn)。

圖1 代理模型構(gòu)建流程

表1 代理模型構(gòu)建參數(shù)

代理模型構(gòu)建完成后，分別使用代理模型與原始模型兩種方法計(jì)算算例直升機(jī)的平飛和垂直飛行需用功率曲線，再將計(jì)算結(jié)果與試飛結(jié)果比對(duì)，得到圖2、圖3和圖4。

圖2 不同平飛速度對(duì)應(yīng)需用功率的代理模型和原始模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖3 不同無(wú)地效懸停重量對(duì)應(yīng)需用功率的代理模型和原始模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖4 不同爬升速度對(duì)應(yīng)需用功率的代理模型和原始模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

可以看到代理模型對(duì)需用功率的計(jì)算結(jié)果和試飛結(jié)果基本一致，除小速度平飛狀態(tài)外，代理模型和原始模型計(jì)算結(jié)果的誤差基本在0.5%之內(nèi)，滿(mǎn)足性能計(jì)算的精度要求。

采用多目標(biāo)粒子群算法對(duì)直升機(jī)短翼參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，分別使用代理模型和原始模型兩種方法進(jìn)行求解，得到的可行域邊界如圖5，可以看到兩者求得的可行域邊界基本一致，代理模型滿(mǎn)足優(yōu)化計(jì)算的要求。同時(shí)需用計(jì)算時(shí)間從36min減小到2.5min，極大地提高了計(jì)算速度(見(jiàn)圖6)。

圖5 短翼參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化的代理模型和原始模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖6 多目標(biāo)優(yōu)化的代理模型和原始模型計(jì)算需用時(shí)間對(duì)比

4 多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型在直升機(jī)飛行性能計(jì)算中應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)

通過(guò)在實(shí)際工程的直升機(jī)飛行性能計(jì)算中運(yùn)用多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型，相比傳統(tǒng)直接對(duì)直升機(jī)需用功率進(jìn)行計(jì)算，多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型主要有以下優(yōu)點(diǎn):

1)方便多人協(xié)同工作和前后工作銜接

實(shí)際工作中，一個(gè)型號(hào)的性能計(jì)算工作往往是有多人參與的，不同人對(duì)性能分析的輸入?yún)?shù)和使用軟件不同可能導(dǎo)致不同的計(jì)算結(jié)果。同一個(gè)型號(hào)性能計(jì)算工作的時(shí)間跨度也可能很大，工作途中對(duì)參數(shù)和軟件的修改可能造成前后的計(jì)算結(jié)果不一致。采用代理模型后，就減小了對(duì)軟件和參數(shù)的意外調(diào)整的可能，能夠方便統(tǒng)一每人的工作以及同一型號(hào)的前后結(jié)果。

2)極大地提高了計(jì)算速度，沒(méi)有收斂性問(wèn)題

代理模型在完成構(gòu)造后只需要遠(yuǎn)小于直接計(jì)算的計(jì)算量就可以得到滿(mǎn)足精度要求的結(jié)果，能夠有效減小性能計(jì)算工作的計(jì)算量，完全避免了直接計(jì)算中的收斂性問(wèn)題。

3)使得高精度模型應(yīng)用于直升機(jī)飛行性能計(jì)算成為可能

由于代理模型構(gòu)造所需的樣本點(diǎn)既可以從自研程序讀入，也可以使用商業(yè)軟件，且具有計(jì)算速度快的特點(diǎn)，在完成飛行性能的高精度模型構(gòu)造后，就能將高精度模型用于直升機(jī)飛行性能計(jì)算與參數(shù)優(yōu)化，避免了高精度模型所需計(jì)算量過(guò)大和程序之間接口的問(wèn)題。

4)可推廣運(yùn)用于電子飛行包和電子飛行手冊(cè)等其它需要飛行性能計(jì)算的領(lǐng)域

電子飛行包和電子飛行手冊(cè)等的應(yīng)用，需要提供飛行性能計(jì)算功能，但是硬件平臺(tái)計(jì)算能力非常有限，不能滿(mǎn)足直接計(jì)算所需的計(jì)算速度要求，這就可以采用代理模型來(lái)提供飛行性能計(jì)算結(jié)果，在減小計(jì)算量的同時(shí)保證了結(jié)果精度。在某些不適合提供完整性能計(jì)算模型的場(chǎng)合也可以使用代理模型替代。

5 結(jié)論

由前面論述可以看出:

1)多項(xiàng)式響應(yīng)面代理模型對(duì)直升機(jī)需用功率擬合精度較高，并且數(shù)值穩(wěn)定，滿(mǎn)足工程運(yùn)用的要求，可用于直升機(jī)性能計(jì)算、氣動(dòng)參數(shù)優(yōu)化選擇和電子飛行手冊(cè)等多個(gè)領(lǐng)域。

2)使用代理模型進(jìn)行飛行性能計(jì)算，相比傳統(tǒng)原始模型，計(jì)算速度快，沒(méi)有收斂性問(wèn)題，方便多人協(xié)同工作和前后工作銜接，具有很高的工程實(shí)用價(jià)值。

［1］穆雪峰.多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化中常用代理模型的研究［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào).2005(10).

［2］宋葉志.Fortran95/2003科學(xué)計(jì)算與工程［M］.北京:清華大學(xué)出版社.2011.