基于奇異值分解的橋梁撓度分離研究*

劉夏平，楊 紅，孫 卓，楊 堅(jiān)，劉愛(ài)榮

(1.廣州大學(xué)土木工程學(xué)院，廣東廣州 510006;2.廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，廣東廣州 510006)

撓度是評(píng)定橋梁結(jié)構(gòu)安全與否的關(guān)鍵參數(shù)，橋梁撓度變化客觀反映出橋梁在各種荷載及環(huán)境作用下的工作狀態(tài)和自身材料的變異。由于通過(guò)傳感器監(jiān)測(cè)得到的橋梁結(jié)構(gòu)撓度通常是由車(chē)輛、人群等荷載，以及環(huán)境因素等綜合作用下的總效應(yīng)，因此，精確獲取撓度監(jiān)測(cè)信號(hào)各響應(yīng)分量，是正確診斷橋梁結(jié)構(gòu)病害、準(zhǔn)確評(píng)估其工作狀態(tài)，以及分析病害發(fā)生機(jī)理的前提和基礎(chǔ)［1－2］。

針對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)撓度信號(hào)分離，目前已有部分學(xué)者開(kāi)展了相關(guān)研究，如梁宗保［3］采用小波多尺度分析手段研究了活載撓度分離的方法;陳德偉［4］研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在提取溫度撓度方面的應(yīng)用;劉夏平［5］提出了一種基于最小二乘支持向量機(jī)方法的日溫差撓度和年溫差撓度的分離方法。Sohn H［6］研究了自聯(lián)想神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在剔除溫度效應(yīng)影響中的應(yīng)用;劉綱［7］研究了粒子群優(yōu)化算法在日溫差撓度效應(yīng)分離中的應(yīng)用。由于橋梁撓度信號(hào)分離是工程界一個(gè)嶄新的研究領(lǐng)域，相關(guān)研究處于起步階段，目前在撓度分離手段上尚較少，一些分離方法在精確性、穩(wěn)定性和實(shí)用性方面還存在不足，因此開(kāi)展橋梁撓度分離方法研究十分必要。

奇異值分解是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解，是矩陣分析中正規(guī)矩陣酉對(duì)角化的推廣，在信號(hào)處理、模式識(shí)別、數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域有重要應(yīng)用［7－10］。本文針對(duì)橋梁撓度監(jiān)測(cè)信號(hào)中日溫差撓度與年溫差撓度通常具有周期性的特點(diǎn)［11］，采用奇異值分解提取周期信號(hào)的盲分離方法，利用橋梁結(jié)構(gòu)撓度信號(hào)分量的周期性實(shí)現(xiàn)撓度監(jiān)測(cè)信號(hào)各成分的精確分離。

1 理論框架

1.1 撓度信號(hào)模型

安裝在橋梁上的單個(gè)傳感器接收到的是來(lái)自多個(gè)信源交織在一起的撓度信號(hào)流S(t)，其中主成分有荷載撓度信號(hào)S0、日溫差撓度信號(hào)S1、年溫差撓度信號(hào)S2、驟然降溫?fù)隙刃盘?hào)S3、長(zhǎng)期撓度信號(hào)S4(包括混凝土收縮徐變撓度、預(yù)應(yīng)力損失及結(jié)構(gòu)損傷等的撓度效應(yīng))，以及環(huán)境噪聲和系統(tǒng)的測(cè)試誤差S5等，即

式 (1)中主成分各分量之間，一般可認(rèn)為是不相關(guān)的。對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行無(wú)失真采樣，則其離散形式為:

由于活荷載效應(yīng)分布在信號(hào)的高頻部分且與其他撓度成分頻率差別較大，故借助低通濾波手段可剔除活荷載效應(yīng);此外，可以采用濾波方法消除高頻噪聲信號(hào)，或根據(jù)撓度監(jiān)測(cè)信號(hào)中有用信號(hào)和噪聲時(shí)頻特征的不同，利用小波變換將含噪信號(hào)進(jìn)行多尺度分解，然后在每一個(gè)尺度層上把屬于噪聲的小波系數(shù)去除，保留并增強(qiáng)屬于信號(hào)突變的小波系數(shù)，最后利用小波重構(gòu)算法恢復(fù)信號(hào)［12］，以此消除噪聲干擾。因此，式 (2)可寫(xiě)成以下形式

1.2 奇異值分解

設(shè)有N行M列的實(shí)矩陣A，對(duì)它可以做如下的分解，稱之為奇異值分解［13］。

式中，U=［u1，u2，…，um］∈Rm×m，UTU=I;V=［v1，v2，…，vn］∈Rm×m，VTV=I;m×n維矩陣∑為［diag(δ1，δ2，…，δp)∶0］或其轉(zhuǎn)置形式，取決于m＜n還是m≥n，p=min(m，n)，δ1≥δ2≥，…δp≥0。δ1，…δp稱為矩陣A的奇異值，非零奇異值包含了矩陣A的有用信息，δi對(duì)應(yīng)的列向量ui和vi分別稱為第i個(gè)左奇異向量和第個(gè)右奇異向量。Ai(uiδivi)仍然是一N行M列矩陣，于是將矩陣A展開(kāi)成如下形式

同時(shí)將該矩陣A和A1各行首尾相接分別得一維向量S和xi，則式 (5)又可寫(xiě)成如下形式

由式 (6)可知，原始信號(hào)是所有分量信號(hào)的簡(jiǎn)單線性疊加，從原信號(hào)中分離一個(gè)分量信號(hào)的過(guò)程就是從原信號(hào)中減去該分量信號(hào)，從而使得分離出來(lái)的各分量信號(hào)保持它們?cè)谠盘?hào)中的相位不變，即具有零相位偏移特性。

1.3 撓度信號(hào)矩陣構(gòu)造及其分離模型構(gòu)建

設(shè)有一組通過(guò)安裝在橋梁結(jié)構(gòu)上的單個(gè)傳感器采集到的橋梁撓度信號(hào)，按式 (3)的信號(hào)模型分析可知，該橋梁撓度信號(hào)包含日溫差效應(yīng)信號(hào)、年溫差效應(yīng)信號(hào)以及長(zhǎng)期撓度信號(hào)。利用先前已獲知的日溫差效應(yīng)信號(hào)周期長(zhǎng)度，將該橋梁撓度信號(hào)構(gòu)造成如下矩陣

對(duì)A進(jìn)行奇異值分解，將u1δ1v1矩陣各行首尾相接近似恢復(fù)撓度信號(hào)中日溫差效應(yīng)信號(hào)S1，從S中剔除S1部分，即S′=S－S1。將S′再按年溫差效應(yīng)信號(hào)周期長(zhǎng)度M1分段，構(gòu)造如下矩陣

同樣對(duì) A′進(jìn)行奇異值分解，通過(guò)u′1δ′1v′1矩陣各行首尾相接近似恢復(fù)年溫差效應(yīng)信號(hào)S2，從S′中減去S2成分，即得到其余撓度成分。

2 撓度模擬信號(hào)分離

2.1 撓度模擬信號(hào)

以一座三跨預(yù)應(yīng)力砼連續(xù)剛構(gòu)橋?yàn)楸尘皹蛄海捎糜邢拊M(jìn)行仿真分析，獲取各撓度成分信號(hào)。

背景橋跨徑組合為65 m+100 m+65 m，預(yù)應(yīng)力砼連續(xù)剛構(gòu)體系。采用Midas/Civil軟件計(jì)算主橋中跨撓度值為:整體升溫1℃，跨中撓度f(wàn)′=1.5 mm(上拱);截面線性升高溫差1℃，跨中撓度f(wàn)″=－1.5 mm(下?lián)?。取每天的整體日溫差幅值為10℃，截面溫差為5℃，年溫差為35℃，因日溫差和年溫差為周期性函數(shù)，假設(shè)其按正弦變化，則可得到按時(shí)序變化的日溫差效應(yīng)S1和年溫差效應(yīng)S2。假設(shè)長(zhǎng)期撓度由混凝土收縮徐變因素導(dǎo)致，采用《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG D62－2004)可計(jì)算該橋梁收縮徐變效應(yīng)S3。因此，跨中總撓度S(t)可按下式計(jì)算［5］:

上式采樣頻率為1次/h，撓度單位為mm，模擬的撓度時(shí)程曲線如圖1所示，圖2為所有模擬撓度組成的混合模擬撓度時(shí)程曲線。

圖1 模擬的撓度時(shí)程曲線Fig.1 Simulating deflection history

2.2 模擬撓度的分離

圖2 混合的模擬撓度時(shí)程曲線Fig.2 Mixture values history of simulating deflection

對(duì)混合的模擬撓度進(jìn)行奇異值分解，得到圖3所示的各撓度成分時(shí)程曲線。與圖1比較可看出，分離得到的各撓度成分時(shí)程曲線與原始時(shí)程曲線波動(dòng)規(guī)律非常相似。表1為分離值與實(shí)際值相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差，從表中可看出各撓度成分的相關(guān)系數(shù)在0.900～0.999之間，相對(duì)誤差均值在0.001～0.024之間，相對(duì)誤差均方差在0.01～0.1之間，分離效果良好，特別是具有周期信號(hào)特征的溫度撓度相關(guān)系數(shù)均在0.95以上，相對(duì)誤差均值在0.003以下，相對(duì)誤差均方差在0.027以下，分離效果較精確。

圖3 分離后的模擬撓度時(shí)程曲線Fig.3 Separation values of simulating deflection history

表1 模擬撓度分離值與實(shí)際值相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差Table 1 Separating simulating deflection correlation coefficient and relative error

3 撓度實(shí)測(cè)信號(hào)分離

3.1 撓度實(shí)測(cè)信號(hào)

為了獲取橋梁結(jié)構(gòu)真實(shí)的撓度信號(hào)，本文在2012年7月17日18:00～19日18:00，對(duì)廣東佛山市潭州大橋擴(kuò)建橋進(jìn)行了48 h的連續(xù)現(xiàn)場(chǎng)溫度場(chǎng)觀測(cè)和撓度監(jiān)測(cè)。潭洲大橋位于佛山蓮塘水閘下游的潭洲水道，該橋擴(kuò)建橋梁主橋采用75 m+125 m+75 m預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)箱梁橋 (見(jiàn)圖4)，橋梁寬14.25 m(包括1.75 m人行道)，箱梁采用單箱單室截面，墩身采用薄壁空心墩，墩身截面采用單箱單室結(jié)構(gòu)，墩身縱橋向?qū)?.8 m，橫橋?qū)?.25 m。設(shè)計(jì)荷載:公路－Ⅰ級(jí);設(shè)計(jì)速度:120 km/h。目前已基本完工，待開(kāi)放交通。

圖4 潭洲大橋立面圖 (m)Fig.4 Elevation of Tan Zhou bridge(m)

撓度監(jiān)測(cè)采用BJQN－5B型動(dòng)撓度儀，該儀器采用無(wú)線遙控靶標(biāo)，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)標(biāo)定動(dòng)態(tài)測(cè)量，分辨率為測(cè)量量程的0.1%，測(cè)量精度為±0.02 mm，最大采樣頻率為300 Hz。試驗(yàn)時(shí)實(shí)際采樣頻率為10 Hz。

撓度實(shí)測(cè)時(shí)域曲線如圖5所示。

圖5 實(shí)測(cè)撓度時(shí)程曲線Fig.5 Actual deflection history

由于該橋建成后尚未通車(chē)，且監(jiān)測(cè)時(shí)間相對(duì)較短，撓度監(jiān)測(cè)結(jié)果中可以忽略混凝土徐變收縮等產(chǎn)生的影響，認(rèn)為撓度主要由環(huán)境溫度變化以及環(huán)境噪聲所引起。

由于環(huán)境噪聲和其它因素存在，采用濾波技術(shù)手段對(duì)實(shí)測(cè)溫度撓度進(jìn)行濾波，濾波后的溫度撓度時(shí)程曲線如圖6所示。

圖6 濾波后的實(shí)測(cè)撓度時(shí)程曲線Fig.6 Actual deflection history after filtering

3.2 驟降溫差撓度

為了研究奇異值分解在實(shí)際工程撓度成分的分離效果，考慮到兩天時(shí)間內(nèi)有可能出現(xiàn)驟然降溫，因此，采用有限元進(jìn)行驟然降溫仿真分析，獲取驟降溫差撓度，并與實(shí)測(cè)撓度組成混合信號(hào)。

采用Midas/Civil專業(yè)軟件建立潭州大橋擴(kuò)建橋主橋有限元計(jì)算模型，共建立99個(gè)節(jié)點(diǎn)，96個(gè)梁?jiǎn)卧?，并?duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)計(jì)算分析，計(jì)算結(jié)果顯示，整體降溫1℃時(shí)，跨中撓度為－1.48 mm(下?lián)?。選取直線和二次曲線模型分別模擬驟降溫差，按兩天內(nèi)驟降溫度5℃考慮，據(jù)此計(jì)算得到驟降溫差作用下跨中撓度的時(shí)程曲線如圖7所示，與實(shí)測(cè)撓度混合后并經(jīng)過(guò)均值化處理的時(shí)程曲線分別如圖8(a)(驟降溫差為直線模型)和圖8(b)(驟降溫差為二次曲線模型)所示。

圖7 驟降溫差撓度時(shí)程曲線Fig.7 Deflection history of temperature plummeted

3.3 實(shí)測(cè)撓度的分離

對(duì)圖8(a)和圖8(b)的撓度混合信號(hào)進(jìn)行分離，分離出的日溫差撓度如圖9(a)(驟降溫差為直線模型)和圖9(b)(驟降溫差為二次曲線模型)所示;與圖6的實(shí)際值比較，得到各撓度成分的相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差如表2所示，從表中可看出，相關(guān)系數(shù)均在0.900以上，相對(duì)誤差均值在0.004以下，相對(duì)誤差均方差在0.031以下，實(shí)測(cè)溫度分離效果也很好，特別是當(dāng)驟降溫度撓度為直線時(shí)，分離的日溫差撓度相關(guān)系數(shù)很高，相對(duì)誤差較小;當(dāng)驟降溫度撓度為二次曲線時(shí)，分離效果稍差些。

圖8 混合撓度時(shí)程曲線Fig.8 Mixture values of deflection history

圖9 分離后的實(shí)測(cè)撓度時(shí)程曲線Fig.9 Separation values of actual deflection history

表2 實(shí)測(cè)撓度分離值與實(shí)際值相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差Table 2 Separating actual deflection correlation coefficient and relative error.

4 矩陣構(gòu)造對(duì)分離效果的影響

將奇異值分解應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)撓度分離的關(guān)鍵，是如何利用信號(hào)序列構(gòu)造出合適的矩陣。通過(guò)對(duì)信號(hào)的連續(xù)截?cái)鄟?lái)構(gòu)造矩陣時(shí)，通常按信號(hào)周期T整倍數(shù)截取數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。為了研究截取數(shù)據(jù)長(zhǎng)度對(duì)分離效果的影響，針對(duì)前述橋梁撓度模擬信號(hào)，日溫差撓度周期T為1日，采樣頻率為每小時(shí)1次，每1個(gè)周期T的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為24個(gè)數(shù)據(jù)，每次分別連續(xù)截取 (1+Δt)T(其中 Δt=0，0.1，…1)內(nèi)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度構(gòu)造矩陣，進(jìn)行奇異值分解，得到日溫差撓度的相關(guān)系數(shù)如圖10所示。從圖中可看出，構(gòu)造矩陣時(shí)截取的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度對(duì)分離效果有明顯的影響，當(dāng)截取1T、1.5T及2T的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度構(gòu)造矩陣時(shí)，相關(guān)系數(shù)最大，因此，以信號(hào)周期T的0.5倍數(shù)截取數(shù)據(jù)長(zhǎng)度構(gòu)造矩陣分離效果最好。

圖10 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度－相關(guān)系數(shù)曲線Fig.10 Data length-correlation coefficient curve

5 結(jié)論

本文針對(duì)橋梁撓度分離問(wèn)題，基于奇異值分解原理，提出一種撓度各分量精確分離的方法，實(shí)現(xiàn)了撓度準(zhǔn)確分離。主要結(jié)論如下:

1)模擬信號(hào)及實(shí)測(cè)信號(hào)計(jì)算分析結(jié)果表明，基于奇異值分解的撓度分離，分離值與實(shí)際值相關(guān)系數(shù)均在0.900以上，相對(duì)誤差均值在0.004以下，相對(duì)誤差均方差在0.1以下，是一種較精確的分離方法;

2)具有周期信號(hào)特征的溫度撓度，模擬信號(hào)分離的相關(guān)系數(shù)均在0.953以上，實(shí)測(cè)撓度與線性驟降溫差撓度分離的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.987，相對(duì)誤差均在0.024以下，相對(duì)誤差均方差在0.031以下，因此，奇異值分解提取信號(hào)的方法對(duì)分離具有周期性的橋梁撓度溫度效應(yīng)特別有效。

3)構(gòu)造矩陣時(shí)截取的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度對(duì)分離效果有明顯的影響，以信號(hào)周期的0.5倍數(shù)截取數(shù)據(jù)長(zhǎng)度構(gòu)造矩陣時(shí)，分離值與實(shí)際值相關(guān)系數(shù)最大，分離效果最好。

［1］KENT K S，TERRY P，JUAN C A，et al.Failure of concrete T-beam and box-girder highway bridges subjected to cyclic loading from traffic［J］.Engineering Structures，2010，32(7):1838 －1845.

［2］RICHARD W B F，CHRISTOPHER H，SENTURK A E.Experimental and analytical evaluation of reinforced concrete girders under low-cycle shear fatigue［J］.Structural Journal，2010，107(2):199 －207.

［3］梁宗保.基于監(jiān)測(cè)信息統(tǒng)計(jì)分析的橋梁結(jié)構(gòu)安全評(píng)價(jià)研究［D］.重慶:重慶大學(xué)，2006.

［4］陳德偉，荊國(guó)強(qiáng)，黃崢.用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法估計(jì)橋梁在溫度作用下的撓度行為［J］.結(jié)構(gòu)工程師，2006，04(5):24－28.

［5］劉夏平，楊紅，孫卓，等.基于LS-SVM的橋梁撓度監(jiān)測(cè)中溫度效應(yīng)分離［J］.鐵道學(xué)報(bào)，2012，34(10):91－96.

［6］SOHN H，WORDEN K，F(xiàn)ARRAR C R.Statistical damage classification under changing environmental and operational conditions［J］.J Intel Mater Syst Struct，2003，13:561－574.

［7］KANJILAL P，PALIT S.On multiple pattern extraction using singular value decomposition［J］.LEEE Transactions on Signal Processing，1995，43(6):1536－1540.

［8］KANJILAL P，PALIT S.The singular value decomposition——applied in the modellingand prediction of quasiperiodic processes［J］.Signal Processing，1994，35(3):257－267.

［9］趙學(xué)智，葉邦彥，陳統(tǒng)堅(jiān).矩陣構(gòu)造對(duì)奇異值分解信號(hào)處理效果的影響［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，36(9):86－93.

［10］唐冬，張廣馳，張琳，等.基于幾何均值分解的MIMO系統(tǒng)誤碼率性能分析［J］.中山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，46(1):40 －47.

［11］劉綱，邵毅敏，黃宗明，等.長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)中結(jié)構(gòu)溫度效應(yīng)分離的一種新方法［J］.工程力學(xué)，2010，3(10):55－66.

［12］涂建成，席旭剛，羅志增.一種改進(jìn)閾值的平移不變量小波消噪方法［J］.信息與控制，2011，2(40):150－154.

［13］GOLUB G H，V AN LOAN C F.矩陣計(jì)算［M］.袁亞湘，譯.北京:科學(xué)出版社，2001.