四元數(shù)在計(jì)算機(jī)輔助手術(shù)空間配準(zhǔn)中的研究*

韋韞韜，周軼冰，周東航，李春潔

(1.佳木斯大學(xué)，佳木斯 154007;2.佳木斯市中心醫(yī)院，佳木斯 154002)

1 前言

1843年，英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓(W.R.Hamilton 1805－1865)發(fā)現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)概念—四元數(shù)，它的乘法不符合交換律，是一種非常簡單的超復(fù)數(shù)，作為對(duì)復(fù)數(shù)的一種擴(kuò)充，強(qiáng)有力地推動(dòng)了向量代數(shù)的發(fā)展。近些年，研究者發(fā)現(xiàn)四元數(shù)可以用來表示物體的旋轉(zhuǎn)特性，同時(shí)也開始應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助外科手術(shù)的空間配準(zhǔn)技術(shù)上［1］。

2 四元數(shù)及其在三維空間的應(yīng)用

四元數(shù)由一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部組成，表示為:r=r0+r1i+r2j+r3k。其中r02+r12+r22+r32=1，另外，四元數(shù)不符合乘法交換律，打破了固有的乘法概念，四元數(shù)的乘法規(guī)則見表1。

表1 四元數(shù)乘法運(yùn)算表

由于四元數(shù)乘法存在上述的特殊性，例如:i*j=－(j*i)，所以正好可以使用四元數(shù)來表示三維空間中物體的旋轉(zhuǎn)和平移，使用以下矩陣形式來表示三維空間中的任意一點(diǎn)。

可以將該矩陣分成兩部分:①對(duì)角線上的元素(a11，a22，a33)用于表示不同空間尺度的變換;②除對(duì)角線以外的其他元素用于表示兩個(gè)空間轉(zhuǎn)換時(shí)的旋轉(zhuǎn)矩陣。如果只考慮第二部分，即不考慮兩空間的尺度變換，則四元數(shù)就完全可以用來表示兩空間點(diǎn)集配準(zhǔn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)矩陣［2］，借助四元數(shù)旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示為:

3 基于點(diǎn)集的空間配準(zhǔn)方案

3.1 算法基本原理

假設(shè) P、Q 兩個(gè)空間點(diǎn)集，其中 P={pi，i=1，2，…，n}表示在坐標(biāo)空間(x，y，z)下的圖像空間點(diǎn)集，Q={qi，i=1，2，…，n}表示在坐標(biāo)空間(u，v，w)下的手術(shù)空間點(diǎn)集，兩坐標(biāo)空間下P和Q中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。找出醫(yī)學(xué)圖像空間和手術(shù)空間兩點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系和轉(zhuǎn)換規(guī)則是基于點(diǎn)集的控件配準(zhǔn)算法的主要研究內(nèi)容?？梢允褂靡粋€(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣和一個(gè)平移向量來表示兩空間點(diǎn)集的轉(zhuǎn)換和配準(zhǔn)，即兩點(diǎn)集之間的線性關(guān)系如下:

其中，R代表配準(zhǔn)過程中所需要的旋轉(zhuǎn)矩陣，T代表平移向量，ε則是進(jìn)行兩空間點(diǎn)集配準(zhǔn)時(shí)所產(chǎn)生的誤差項(xiàng)［3］。如果配準(zhǔn)后，ε在可以接受的范圍內(nèi)，R和T則是要尋找的最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣和最優(yōu)平移向量，于是如何控制ε在可接受的范圍內(nèi)就成為了要解決的重要問題。由于兩空間點(diǎn)集中包含的點(diǎn)很多，令pi和qi為任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行空間配準(zhǔn)時(shí)一定會(huì)產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng)εi，利用最小化誤差平方和的原理就可以解決控制誤差的難題，即滿足:

具體采用以下方法:首先進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，獲取實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷奶卣鼽c(diǎn)數(shù)據(jù)，利用三維坐標(biāo)和四元數(shù)來表示這些特征點(diǎn)的信息;然后計(jì)算點(diǎn)集的質(zhì)心和點(diǎn)集的協(xié)方差矩陣，構(gòu)造特征矩陣，經(jīng)過雅可比變換找到最大特征值和相應(yīng)的特征向量;最后利用最小化誤差平方和的原理獲取最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣R和最優(yōu)平移向量T，以達(dá)到醫(yī)學(xué)圖像空間和手術(shù)空間的精確配準(zhǔn)［4］，流程如圖1 所示。

3.2 空間配準(zhǔn)的矩陣求解

(1)已知兩個(gè)空間點(diǎn)集 P={pi，i=1，2，…，n}，Q={qi，i=1，2，…，n}，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)均值表示兩點(diǎn)集質(zhì)心分別為:

(2)計(jì)算兩點(diǎn)集的協(xié)方差矩陣為:

圖1 空間配準(zhǔn)算法流程圖

(3)假設(shè)協(xié)方差矩陣為:

(4)構(gòu)造特征矩陣

選取Σ的元素組成列向量W=［E23E31E12］T，則可得到對(duì)稱矩陣:

(5)利用矩陣變換理論，對(duì)K進(jìn)行雅可比變換，得到矩陣K的最大特征值和相應(yīng)的特征向量為［r0r1r2r3］T作為最優(yōu)的旋轉(zhuǎn)向量，通過計(jì)算可得r02+r12+r22+r32=1，則為滿足條件的四元數(shù)?？梢杂?jì)算最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣R，再計(jì)算最優(yōu)平移向量T為:

4 選取仿真實(shí)驗(yàn)的特征點(diǎn)

本次仿真模擬實(shí)驗(yàn)中模型特征點(diǎn)的獲取采用了標(biāo)志點(diǎn)法，這主要是因?yàn)?①考慮到仿真實(shí)驗(yàn)中，標(biāo)志點(diǎn)法的可操作性強(qiáng)，實(shí)現(xiàn)比較容易;②標(biāo)志點(diǎn)法獲取的特征點(diǎn)數(shù)據(jù)比較精準(zhǔn)。但實(shí)際操作中也要注意，實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鐾闏T掃描后，標(biāo)注點(diǎn)的位置不能改變，否則將會(huì)嚴(yán)重影響仿真實(shí)驗(yàn)的精準(zhǔn)性［5］。

5 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本次模擬仿真實(shí)驗(yàn)采用肝臟模型作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，實(shí)驗(yàn)前對(duì)模型進(jìn)行CT掃描，采集了4個(gè)標(biāo)志點(diǎn)作為配準(zhǔn)仿真實(shí)驗(yàn)的對(duì)象。首先記錄實(shí)驗(yàn)前模型空間4個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的三維坐標(biāo)，見表2。

表2 配準(zhǔn)前CT圖像空間標(biāo)志點(diǎn)坐標(biāo)

同時(shí)記錄仿真實(shí)驗(yàn)前模型空間4個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的三維坐標(biāo)，見表3，兩組點(diǎn)集一一對(duì)應(yīng)。

表3 配準(zhǔn)前模型空間標(biāo)志點(diǎn)坐標(biāo)

由于兩點(diǎn)集所在空間不同，需要進(jìn)行尺度變換，然后進(jìn)行空間配準(zhǔn)，空間配準(zhǔn)的尺度、四元數(shù)和平移向量都是滿足最小化誤差平方和的最優(yōu)解［6］。同時(shí)可以獲得坐標(biāo)變換矩陣，計(jì)算出配準(zhǔn)后模型空間點(diǎn)集的三維坐標(biāo)如表4所示。

表4 配準(zhǔn)后模型空間點(diǎn)集坐標(biāo)

由各表中的三維坐標(biāo)可以看出，本次仿真實(shí)驗(yàn)有效的控制了空間配準(zhǔn)的誤差，ε＜0.5mm，在可以接受的范圍內(nèi)。

6 結(jié) 束 語

利用四元數(shù)矩陣分解方法詳細(xì)地推導(dǎo)了空間配準(zhǔn)算法的原理和矩陣求解過程，并利用最小化誤差平方和方法獲取了三維醫(yī)學(xué)圖像空間和手術(shù)空間配準(zhǔn)時(shí)的最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣和最優(yōu)平移向量，成功地解決了計(jì)算機(jī)輔助肝臟手術(shù)中空間配準(zhǔn)這一關(guān)鍵技術(shù)。

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