基于保辛算法的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)閉環(huán)反饋控制問題求解

陳飆松　江新　彭海軍

摘要：應(yīng)用非線性系統(tǒng)滾動時域控制的保辛算法求解繩系衛(wèi)星系統(tǒng)子星釋放和回收過程的閉環(huán)反饋控制問題.通過第二類Lagrange方程推導(dǎo)出二體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學(xué)方程；通過擬線性化方法將繩系衛(wèi)星系統(tǒng)閉環(huán)反饋控制問題轉(zhuǎn)化為線性非齊次Hamilton系統(tǒng)兩端邊值問題的迭代求解；通過保辛算法將線性非齊次Hamilton兩端邊值問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解；通過遞進更新時間步的狀態(tài)變量和控制變量，完成繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制.數(shù)值仿真表明：相對于Legendre偽譜方法，用保辛算法求解繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制問題的計算速度和收斂速度較快.繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的開環(huán)控制和閉環(huán)反饋控制問題數(shù)值仿真結(jié)果表明：在繩系衛(wèi)星的初始狀態(tài)存在偏差的情況下，使用開環(huán)控制會導(dǎo)致系統(tǒng)在終端無法達到穩(wěn)定狀態(tài)，而使用閉環(huán)反饋控制則能在一段時間內(nèi)抵消初始狀態(tài)向量偏差對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，最終達到穩(wěn)定狀態(tài).

關(guān)鍵詞：繩系衛(wèi)星； 釋放； 回收； 閉環(huán)反饋控制； 保辛； 擬線性化

中圖分類號： V474.292

文獻標(biāo)志碼：B

0 引 言

繩系衛(wèi)星系統(tǒng)是指通過系繩將主星與子星連在一起飛行的組合體.[1]在通過調(diào)節(jié)系繩張力釋放或回收衛(wèi)星的過程中，子星與系繩的運動都會受到Coriolis力的影響，系繩產(chǎn)生大幅振動[2]，因此必須加以控制使得系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài).繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的控制為強非線性問題，具有內(nèi)在不穩(wěn)定性[3]，在初始狀態(tài)向量存在偏差時，若事先采用開環(huán)控制進行計算，并用計算結(jié)果控制繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，會使控制效果大打折扣.閉環(huán)反饋控制采用反饋控制律修正由于初始狀態(tài)向量的偏差而產(chǎn)生的影響[4]，因此相比開環(huán)控制具有一定的優(yōu)勢.

滾動時域控制（Receding Horizon Control， RHC）是一種能夠起到閉環(huán)反饋控制效果的模型預(yù)測控制方法，將其應(yīng)用于非線性系統(tǒng)時能得到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng).[5]繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的滾動時域控制在線求解效率是閉環(huán)反饋控制問題的關(guān)鍵，因此研究滾動時域控制問題的數(shù)值算法具有重要價值.文獻[6]根據(jù)對偶變量變分原理和生成函數(shù)提出一種求解線性滾動時域控制問題的保辛算法，將線性滾動時域控制問題轉(zhuǎn)化為一組稀疏對稱非負定的線性方程組進行求解.這種方法不需要對Riccati微分方程進行數(shù)值積分運算，能有效提高計算效率.文獻[7]進一步利用擬線性化方法，將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性非齊次Hamilton系統(tǒng)兩端邊值問題的迭代求解，而后利用對偶變量變分原理與生成函數(shù)提出一種求解非線性滾動時域控制的保辛算法.文獻[7]提出的方法能求解高度不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng).考慮到繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在空間環(huán)境中極易受到外部擾動的影響，其動力學(xué)控制問題較為復(fù)雜[8-9]，因此有必要推導(dǎo)一種高效的數(shù)值計算方法解決繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的控制問題.

本文首先通過第二類Lagrange方程推導(dǎo)二體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學(xué)方程，然后將求解非線性系統(tǒng)滾動時域控制問題的保辛算法應(yīng)用于繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制問題中.數(shù)值仿真將保辛算法的計算結(jié)果與Legendre偽譜方法的計算結(jié)果進行比較，結(jié)果表明保辛算法在計算速度上具有較大優(yōu)勢.進一步分析表明，保辛算法求解繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制問題具有較高的收斂速度.此外，分析數(shù)值仿真繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的開環(huán)控制與閉環(huán)反饋控制方案，結(jié)果表明：在狀態(tài)向量存在初始偏差的情況下，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)內(nèi)在的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致系統(tǒng)在終端無法達到穩(wěn)定狀態(tài)，而閉環(huán)反饋控制可以通過反饋控制率逐漸消除狀態(tài)向量初始偏差的影響，使得系統(tǒng)在終端依然能達到穩(wěn)定狀態(tài).

摘要：應(yīng)用非線性系統(tǒng)滾動時域控制的保辛算法求解繩系衛(wèi)星系統(tǒng)子星釋放和回收過程的閉環(huán)反饋控制問題.通過第二類Lagrange方程推導(dǎo)出二體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學(xué)方程；通過擬線性化方法將繩系衛(wèi)星系統(tǒng)閉環(huán)反饋控制問題轉(zhuǎn)化為線性非齊次Hamilton系統(tǒng)兩端邊值問題的迭代求解；通過保辛算法將線性非齊次Hamilton兩端邊值問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解；通過遞進更新時間步的狀態(tài)變量和控制變量，完成繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制.數(shù)值仿真表明：相對于Legendre偽譜方法，用保辛算法求解繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制問題的計算速度和收斂速度較快.繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的開環(huán)控制和閉環(huán)反饋控制問題數(shù)值仿真結(jié)果表明：在繩系衛(wèi)星的初始狀態(tài)存在偏差的情況下，使用開環(huán)控制會導(dǎo)致系統(tǒng)在終端無法達到穩(wěn)定狀態(tài)，而使用閉環(huán)反饋控制則能在一段時間內(nèi)抵消初始狀態(tài)向量偏差對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，最終達到穩(wěn)定狀態(tài).

關(guān)鍵詞：繩系衛(wèi)星； 釋放； 回收； 閉環(huán)反饋控制； 保辛； 擬線性化

中圖分類號： V474.292

文獻標(biāo)志碼：B

0 引 言

繩系衛(wèi)星系統(tǒng)是指通過系繩將主星與子星連在一起飛行的組合體.[1]在通過調(diào)節(jié)系繩張力釋放或回收衛(wèi)星的過程中，子星與系繩的運動都會受到Coriolis力的影響，系繩產(chǎn)生大幅振動[2]，因此必須加以控制使得系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài).繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的控制為強非線性問題，具有內(nèi)在不穩(wěn)定性[3]，在初始狀態(tài)向量存在偏差時，若事先采用開環(huán)控制進行計算，并用計算結(jié)果控制繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，會使控制效果大打折扣.閉環(huán)反饋控制采用反饋控制律修正由于初始狀態(tài)向量的偏差而產(chǎn)生的影響[4]，因此相比開環(huán)控制具有一定的優(yōu)勢.

滾動時域控制（Receding Horizon Control， RHC）是一種能夠起到閉環(huán)反饋控制效果的模型預(yù)測控制方法，將其應(yīng)用于非線性系統(tǒng)時能得到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng).[5]繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的滾動時域控制在線求解效率是閉環(huán)反饋控制問題的關(guān)鍵，因此研究滾動時域控制問題的數(shù)值算法具有重要價值.文獻[6]根據(jù)對偶變量變分原理和生成函數(shù)提出一種求解線性滾動時域控制問題的保辛算法，將線性滾動時域控制問題轉(zhuǎn)化為一組稀疏對稱非負定的線性方程組進行求解.這種方法不需要對Riccati微分方程進行數(shù)值積分運算，能有效提高計算效率.文獻[7]進一步利用擬線性化方法，將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性非齊次Hamilton系統(tǒng)兩端邊值問題的迭代求解，而后利用對偶變量變分原理與生成函數(shù)提出一種求解非線性滾動時域控制的保辛算法.文獻[7]提出的方法能求解高度不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng).考慮到繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在空間環(huán)境中極易受到外部擾動的影響，其動力學(xué)控制問題較為復(fù)雜[8-9]，因此有必要推導(dǎo)一種高效的數(shù)值計算方法解決繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的控制問題.

本文首先通過第二類Lagrange方程推導(dǎo)二體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學(xué)方程，然后將求解非線性系統(tǒng)滾動時域控制問題的保辛算法應(yīng)用于繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制問題中.數(shù)值仿真將保辛算法的計算結(jié)果與Legendre偽譜方法的計算結(jié)果進行比較，結(jié)果表明保辛算法在計算速度上具有較大優(yōu)勢.進一步分析表明，保辛算法求解繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制問題具有較高的收斂速度.此外，分析數(shù)值仿真繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的開環(huán)控制與閉環(huán)反饋控制方案，結(jié)果表明：在狀態(tài)向量存在初始偏差的情況下，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)內(nèi)在的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致系統(tǒng)在終端無法達到穩(wěn)定狀態(tài)，而閉環(huán)反饋控制可以通過反饋控制率逐漸消除狀態(tài)向量初始偏差的影響，使得系統(tǒng)在終端依然能達到穩(wěn)定狀態(tài).

摘要：應(yīng)用非線性系統(tǒng)滾動時域控制的保辛算法求解繩系衛(wèi)星系統(tǒng)子星釋放和回收過程的閉環(huán)反饋控制問題.通過第二類Lagrange方程推導(dǎo)出二體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學(xué)方程；通過擬線性化方法將繩系衛(wèi)星系統(tǒng)閉環(huán)反饋控制問題轉(zhuǎn)化為線性非齊次Hamilton系統(tǒng)兩端邊值問題的迭代求解；通過保辛算法將線性非齊次Hamilton兩端邊值問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解；通過遞進更新時間步的狀態(tài)變量和控制變量，完成繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制.數(shù)值仿真表明：相對于Legendre偽譜方法，用保辛算法求解繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制問題的計算速度和收斂速度較快.繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的開環(huán)控制和閉環(huán)反饋控制問題數(shù)值仿真結(jié)果表明：在繩系衛(wèi)星的初始狀態(tài)存在偏差的情況下，使用開環(huán)控制會導(dǎo)致系統(tǒng)在終端無法達到穩(wěn)定狀態(tài)，而使用閉環(huán)反饋控制則能在一段時間內(nèi)抵消初始狀態(tài)向量偏差對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，最終達到穩(wěn)定狀態(tài).

關(guān)鍵詞：繩系衛(wèi)星； 釋放； 回收； 閉環(huán)反饋控制； 保辛； 擬線性化

中圖分類號： V474.292

文獻標(biāo)志碼：B

0 引 言

繩系衛(wèi)星系統(tǒng)是指通過系繩將主星與子星連在一起飛行的組合體.[1]在通過調(diào)節(jié)系繩張力釋放或回收衛(wèi)星的過程中，子星與系繩的運動都會受到Coriolis力的影響，系繩產(chǎn)生大幅振動[2]，因此必須加以控制使得系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài).繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的控制為強非線性問題，具有內(nèi)在不穩(wěn)定性[3]，在初始狀態(tài)向量存在偏差時，若事先采用開環(huán)控制進行計算，并用計算結(jié)果控制繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，會使控制效果大打折扣.閉環(huán)反饋控制采用反饋控制律修正由于初始狀態(tài)向量的偏差而產(chǎn)生的影響[4]，因此相比開環(huán)控制具有一定的優(yōu)勢.

滾動時域控制（Receding Horizon Control， RHC）是一種能夠起到閉環(huán)反饋控制效果的模型預(yù)測控制方法，將其應(yīng)用于非線性系統(tǒng)時能得到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng).[5]繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的滾動時域控制在線求解效率是閉環(huán)反饋控制問題的關(guān)鍵，因此研究滾動時域控制問題的數(shù)值算法具有重要價值.文獻[6]根據(jù)對偶變量變分原理和生成函數(shù)提出一種求解線性滾動時域控制問題的保辛算法，將線性滾動時域控制問題轉(zhuǎn)化為一組稀疏對稱非負定的線性方程組進行求解.這種方法不需要對Riccati微分方程進行數(shù)值積分運算，能有效提高計算效率.文獻[7]進一步利用擬線性化方法，將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性非齊次Hamilton系統(tǒng)兩端邊值問題的迭代求解，而后利用對偶變量變分原理與生成函數(shù)提出一種求解非線性滾動時域控制的保辛算法.文獻[7]提出的方法能求解高度不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng).考慮到繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在空間環(huán)境中極易受到外部擾動的影響，其動力學(xué)控制問題較為復(fù)雜[8-9]，因此有必要推導(dǎo)一種高效的數(shù)值計算方法解決繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的控制問題.

本文首先通過第二類Lagrange方程推導(dǎo)二體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學(xué)方程，然后將求解非線性系統(tǒng)滾動時域控制問題的保辛算法應(yīng)用于繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制問題中.數(shù)值仿真將保辛算法的計算結(jié)果與Legendre偽譜方法的計算結(jié)果進行比較，結(jié)果表明保辛算法在計算速度上具有較大優(yōu)勢.進一步分析表明，保辛算法求解繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的閉環(huán)反饋控制問題具有較高的收斂速度.此外，分析數(shù)值仿真繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的開環(huán)控制與閉環(huán)反饋控制方案，結(jié)果表明：在狀態(tài)向量存在初始偏差的情況下，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)內(nèi)在的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致系統(tǒng)在終端無法達到穩(wěn)定狀態(tài)，而閉環(huán)反饋控制可以通過反饋控制率逐漸消除狀態(tài)向量初始偏差的影響，使得系統(tǒng)在終端依然能達到穩(wěn)定狀態(tài).