基于廣義Hoek-Brown強度準則的巖體應變軟化行為模型

韓建新 ，李術才，汪雷, ，張永偉, ，楊為民

(1. 山東財經(jīng)大學 數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院，山東 濟南 250014；2. 山東大學 巖土與結(jié)構(gòu)工程研究中心，山東 濟南 250061；3. 工程兵學院，江蘇 徐州，221004；4. 山東省地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測總站，山東 濟南，250014)

在巖體工程開挖中，圍巖經(jīng)常處于峰后應變軟化狀態(tài)，隨著變形的增加，強度逐漸降低，巖體可能會突然失穩(wěn)，造成經(jīng)濟上的損失，甚至人員傷亡。另外，在峰后軟化階段，由于應力的跌落方式的不確定性，其力學行為難以用經(jīng)典理論來描述[1]，隨著變形的增加，各種力學特性也發(fā)生很大的變化。因此開展巖體應變軟化行為研究對于理解巖體峰后的力學行為和工程安全預測具有重要的理論意義和實踐意義。在巖體的峰后力學行為研究方面，最初人們使用理想彈塑性模型來描述巖體峰后應變軟化行為，但隨著工程實踐的深入開展，人們發(fā)現(xiàn)這一模型對于質(zhì)量較好的巖體來說并不合適。Hoek等[2]根據(jù)巖體質(zhì)量的好壞，把巖體的峰后力學行為劃分為3種模式，分別是理想彈塑性模型、理想彈脆性模型和應變軟化模型。對于前兩種模型，由于其簡便性在工程中已得到了一定的應用，而對于應變軟化模型，為了準確刻畫峰后軟化行為，除了需要確定峰值處和殘余階段處的力學參數(shù)外，還需確定軟化階段力學參數(shù)的演化行為，因而研究起來比較復雜。在軟化行為研究方面，人們采用不同方法開展了一定的研究工作。Krajcinovic等[3-6]利用統(tǒng)計損傷模型來研究峰后的軟化行為。陸銀龍等[7]通過對軟弱泥巖進行常規(guī)三軸壓縮試驗得到了不同圍壓下的全應力-應變關系曲線，然后依據(jù)峰后巖石任意一點應力狀態(tài)均滿足Mohr-Coulomb極限破壞條件的假設，建立以廣義黏聚力和廣義內(nèi)摩擦角2個狀態(tài)參數(shù)來表征的軟弱巖石后繼屈服面模型，在此基礎上，利用試驗數(shù)據(jù)對軟弱圍巖峰后應變軟化力學特性進行了分析。唐志成等[8]通過對峰值后的強度降、切向位移進行歸一化處理，給出了節(jié)理歸一化的位移軟化模型。王學濱[9]基于梯度塑性理論對峰后變形特征進行了研究。周斌等[10]通過考慮巖體應變軟化特征，利用快速拉格朗日差分法建立三維數(shù)值計算模型，分析巖樣在三軸應力作用下應力變形關系和抗剪強度參數(shù)的變化情況。Fang[11]用巖石峰后折減系數(shù)來研究峰后的軟化行為。王水林等[12]采用數(shù)值試驗對巖土介質(zhì)的峰后應力-應變曲線進行了研究。另外，張春會等[13-14]也對峰后軟化行為進行了研究。以上研究深化了人們對峰后軟化行為的認識，但這些研究有的參數(shù)考慮比較單一，有的采用線性的Mohr-Coulomn強度準則(與很多巖石材料實驗觀察到的強度包絡線為非線性不相符)，導致模型不便于工程應用或模擬結(jié)果與實際工程誤差較大。在研究巖體的強度和軟化行為方面(尤其是裂隙巖體)，作為非線性準則，Hoek-Brown強度準則是一個非常可靠的工具，在巖石力學領域得到了廣泛的認可[15]，但采用Hoek-Brown強度準則，以最大塑性主應變ε1p作為應變軟化參數(shù)，基于強度參數(shù)的演化行為，開展峰后軟化行為方面的研究工作較少。本文作者采用廣義Hoek-Brown強度準則，基于強度參數(shù)隨著最大塑性主應變的增加而演化這一力學行為，以最大塑性主應變作為應變軟化參數(shù)，研究了巖體的峰后應變軟化行為，并結(jié)合實例討論了強度參數(shù)m，s和a的演化規(guī)律對應變軟化行為的影響。

1 巖體應變軟化行為研究模型

如圖1所示，假設巖體所受軸壓為σ1，圍壓為σ3，提出如下假設：

(1) 假設在峰后軟化階段不存在彈塑性耦合現(xiàn)象；

(2) 在峰前變形階段，應力應變之間滿足線彈性關系；

(3) 在峰后軟化階段，廣義 Hoek-Brown強度準則成立。

圖1 巖體力學模型Fig.1 Mechanical model of rock mass

在應變軟化階段，強度參數(shù)隨著最大塑性主應變ε1p增加而變化，因此，以最大塑性主應變ε1p作為應變軟化參數(shù)來研究巖體應變軟化行為。在應變軟化階段，廣義Hoek-Brown強度準則中強度參數(shù)m，s和a隨著ε1p的增加而變化，其表達式可表示為

式中：cσ為完整巖石的單軸抗壓強度；m，s，a為強度參數(shù)。m，s，a與ε1p的關系可由實驗等方法來確定。在工程上，m，s，a在峰值處和殘余階段處的值也可根據(jù)GIS等巖體質(zhì)量指標來估計。本文為了使問題簡化，假設m，s，a與ε1p之間的關系如下式所示：

其中：η表示強度參數(shù)；ηp和ηr分別表示在峰值處和殘余階段開始處的強度參數(shù)；表示在殘余階段開始處的應變軟化參數(shù)ε1p。

式(2)可能為單調(diào)不增函數(shù)，也可能是單調(diào)不減函數(shù)，其對應的曲線如圖2所示。

圖2 強度參數(shù)的演化曲線Fig.2 Evolution of strength parameters

將式(2)代入式(1)即可得到應變軟化階段最大主應力1σ和最大塑性主應變ε1p之間的關系表達式：

根據(jù)式(3)，即可求得與每一個最大塑性主應變ε1p對應的1σ，根據(jù)假設(1)和(2)，可求得與每一個最大塑性主應變ε1p對應的彈性應變εe：

其中：E和v分別表示巖體的彈性模量和泊松比。將最大塑性主應變ε1p與彈性應變εe相加可得巖體的最大主應變，即軸向應變?yōu)?/p>

根據(jù)式(1)和(5)可得到應變軟化階段應力-應變的關系表達式。

假設塑性勢函數(shù)為

其中，k(ε1p)為剪脹系數(shù)；φ為剪脹角。根據(jù)正交流動法則可得：

因此，巖體的最小主應變，即環(huán)向應變?yōu)?/p>

其中，ε3e和ε3p分別表示沿環(huán)向彈性應變和塑性應變。

巖體體積應變?yōu)?/p>

將式(1)和(2)分別與式(5)，(9)和(10)聯(lián)立，即可求出在峰后軟化階段巖體的應力與軸向應變、環(huán)向應變和體積應變之間的關系，據(jù)此可以分析巖體的應變軟化行為。

2 算例分析

假設某一巖體的參數(shù)如下：E=5 700 MPa，v=0.30，σc=30 MPa，mp=1.70，mr=0.85，sp=0.004，sr=0.002，ap=0.50，ar=0.55，φ= π/18，=0.01，σ= 18 MPa，將這些參數(shù)代入式(1)，(2)，(5)，(9)和(10)中，即可求得主應力和ε1，ε3和εv之間的關系表達式，其對應的軟化曲線如圖3所示。

圖3 巖體應變軟化曲線Fig.3 Strain softening curves of rock mass

表1所示為4種巖體數(shù)據(jù)。根據(jù)本文的方法，可以得到這4種巖體的應變軟化曲線，如圖4所示。從圖4可以看出，在圍壓σ3=18 MPa時，強度參數(shù)m和s的殘余值越大，a的殘余值越小，則峰后應力-軸向應變和應力-環(huán)向應變曲線下降越緩和，巖體的殘余強度越大。但它們對峰后軟化行為的影響程度不同，其中強度參數(shù)m的演化對軟化行為的影響比較顯著，強度參數(shù)a的影響較小，而強度參數(shù)s的影響則很微弱。

圖4 強度參數(shù)演化規(guī)律對應變軟化行為的影響Fig.4 Effect of evolutional law for strength parameters on strain softening behavior

表1 巖體數(shù)據(jù)Table 1 Data of rock mass

3 結(jié)論

(1) 基于廣義 Hoek-Brown強度準則，以最大塑性主應變ε1p作為軟化參數(shù)，假設強度參數(shù)m，s和a為最大塑性主應變ε1p的雙線性函數(shù)條件下，通過理論推導給出了巖體在峰后軟化階段，應力與軸向應變、環(huán)向應變和體積應變關系的非線性表示方法。

(2) 強度參數(shù)m和s的殘余值越大且a的殘余值越小，峰后應力-軸向應變和應力-環(huán)向應變曲線下降的越緩和，巖體的殘余強度越大。其中，強度參數(shù)m的演化對軟化行為的影響比較顯著，強度參數(shù)a的影響較小，而強度參數(shù)s的影響則很微弱。

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