非線性彈性地基上矩形薄板的動(dòng)力學(xué)研究

高永毅，唐 果，萬 文

(1.湖南科技大學(xué) 物理學(xué)院;2.湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院;3.湖南科技大學(xué) 能源與安全工程學(xué)院，湘潭 411201)

地基板是工程中常見的結(jié)構(gòu)，在公路路面、機(jī)場(chǎng)跑道、停機(jī)場(chǎng)、工業(yè)地坪以及建筑基礎(chǔ)等多種工程中都會(huì)遇到亟待解決的地基板的問題，因此對(duì)地基板的研究是非常必要的，具有十分重要的工程意義。但在解決地基板問題的時(shí)候通常忽略地基板非線性因素，用線性方法進(jìn)行研究。實(shí)際上地基板是非線性的，因此有必要對(duì)地基板問題進(jìn)行非線性研究，由此，地基板問題的非線性研究引起了國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者的充分重視和廣泛研究。Gajiendar［1］、Nath［2］、Dumir［3］、邱平等［4］研究非線性彈性地基上圓薄板的振動(dòng)問題。楊志安等［5-14］研究了非線性彈性地基上受簡(jiǎn)諧激勵(lì)矩形薄板的主共振與奇異性問題;溫度場(chǎng)中非線性彈性地基上矩形薄板主共振問題;非線性彈性地基上矩形薄板受雙頻參數(shù)激勵(lì)作用的非線性振動(dòng)問題;非線性彈性地基上矩形薄板的非線性振動(dòng)與奇異性問題;非線性彈性地基上矩形薄板的主參數(shù)共振問題;Winkler地基上四邊自由矩形薄板的超諧波、亞諧共振與奇異性、混沌問題。彭震等［15］研究了溫度場(chǎng)中受簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用的Winkler地基梁，分析了激勵(lì)、阻尼等對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的影響。俞衛(wèi)琴等［16］研究了位于非線性彈性地基上受均勻橫向簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用的小撓度矩形薄板動(dòng)力學(xué)模型的全局分岔問題。葛根等［17-18］研究了矩形薄板在面內(nèi)隨機(jī)參數(shù)激勵(lì)下的隨機(jī)分岔和隨機(jī)最優(yōu)控制下的首次穿越問題。以上研究主要是對(duì)非線性地基板的主共振求解方法;數(shù)值計(jì)算;溫度、阻尼系數(shù)、地基系數(shù)、幾何參數(shù)等對(duì)主參數(shù)共振的影響;有界噪聲激勵(lì)下溫度場(chǎng)中非線性彈性地基上矩形薄板的隨機(jī)振動(dòng)等問題進(jìn)行了研究;并沒有對(duì)地基板非線性問題解的穩(wěn)定性、頻率響應(yīng)特性和非線性因素對(duì)其影響，即:地基板的非線性振動(dòng)特性進(jìn)行研究。

為了能給地基板的設(shè)計(jì)、計(jì)算分析提供可靠的理論依據(jù)，對(duì)地基板的非線性振動(dòng)特性的研究是很有必要的。因此，本文在考慮了阻尼和地基非線性效應(yīng)的基礎(chǔ)上，建立了小撓度矩形板橫向均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的非線性動(dòng)力學(xué)方程;用諧波平衡法研究了其非線性振動(dòng)特性;導(dǎo)出了頻率響應(yīng)方程，研究了頻率響應(yīng)特性;討論了非線性因素的影響，得出了非線性彈性地基板非線性因素的忽略條件;分析了地基板的非線性振動(dòng)的穩(wěn)定性，得出了穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)的分界線方程。

1 矩形薄板的非線性動(dòng)力學(xué)方程

1.1 非線性彈性地基上矩形薄板的非線性動(dòng)力學(xué)方程

［8］已指出，對(duì)于以矩形地基板為結(jié)構(gòu)形式的公路路面，機(jī)場(chǎng)跑道，停機(jī)場(chǎng)，工業(yè)地坪等，其邊界條件可以認(rèn)為是兩端簡(jiǎn)支的;參考文獻(xiàn)［5］已給出圖1所示的板厚為h，長(zhǎng)、寬分別為a和b，左右邊界上受有均勻分布?jí)毫，在橫向受均勻分布簡(jiǎn)諧力F，非線性彈性地基反力為k1w+k23［1-4］，阻尼力為c?w/?t，慣性力為ρh?2w/?t2，置于非線性彈性地基上兩邊簡(jiǎn)支的矩形薄板的非線性彈性地基板動(dòng)力學(xué)方程為:

式中:

N為縱向力;F=qcosωt為橫向激勵(lì);w為板的橫向撓度;ρ為板單位體積的質(zhì)量;c為阻尼系數(shù);E為彈性模量;γ為泊松比;k1和k2分別為線性和非線性地基系數(shù)。

圖1 非線性彈性地基上矩形薄板模型Fig.1 Model of the thin rectangular plate on the nonlinear elastic foundation

兩邊簡(jiǎn)支的邊界條件為:

因此，取滿足邊界條件的位移模式為［9］:

其中:

由Galerkin原理有:

將式(2)、式(3)代入式(4)積分可得:

式(6)為非線性彈性地基上兩邊簡(jiǎn)支矩形薄板的非線性動(dòng)力學(xué)方程。

1.2 非線性彈性地基上矩形薄板的穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)

考慮非線性彈性地基上矩形薄板的振動(dòng)分析依賴于式(6)的有效求解。因?yàn)槟壳斑€不能求得式(6)的嚴(yán)格精確的分析解，因此針對(duì)工程實(shí)際中設(shè)計(jì)的需要，用諧波平衡法求式(6)的近似穩(wěn)態(tài)周期解。

設(shè)式(6)的穩(wěn)態(tài)近似解為:

將穩(wěn)態(tài)響應(yīng)式(7)代入式(6)，令同階諧波系數(shù)相等，并將D、p、ξ、e、F的表達(dá)式代入則有:

通過式(8)解出B和φ可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。此外，由于式(6)中包含三次方非線性項(xiàng)，所以當(dāng)非線性彈性地基上矩形薄板的剛度非線性因素不能忽略時(shí)，非線性彈性地基上矩形薄板的振動(dòng)除了存在ω=p的主共振外，當(dāng)激勵(lì)頻率接近派生系統(tǒng)固有頻率的1/3或1/9時(shí)還存在頻率為3ω或9ω的超諧波共振，以及當(dāng)激勵(lì)頻率接近派生系統(tǒng)固有頻率的3倍或9倍時(shí)，存在頻率為ω/3或ω/9的亞諧波共振，這在非線性彈性地基上矩形薄板設(shè)計(jì)時(shí)需予以充分關(guān)注。

2 非線性彈性地基上矩形薄板解的穩(wěn)定性分析

設(shè):η(t)為擾動(dòng)變量

令:

將式(9)代入式(6)得擾動(dòng)方程為:

現(xiàn)在將研究方程(6)解的穩(wěn)態(tài)性轉(zhuǎn)化為研究方程(11)零解的穩(wěn)定性。參考文獻(xiàn)［5］已指出其阻尼項(xiàng)、非線性項(xiàng)與慣性力項(xiàng)相比是小項(xiàng)，所以ξ，e，，α都為小參數(shù)。

把方程(12)的解和參數(shù)δ展開為小參數(shù)ε的冪級(jí)數(shù)有:

代入式(12)，比較ε同次冪系數(shù)得:

方程(15)的解為:η0=dcosnt+fsinnt，n=1，2，3…，其中:δ0=n2。

由參考文獻(xiàn)［19］推得穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域以下述曲線為分界線。

由此可得方程(6)在B-ω平面上的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域分界線。

當(dāng) δ取 δ0+εδ1+ε2δ2并取 δ0=1 時(shí)分界線為:

當(dāng)取δ0=4時(shí)分界線為:

根據(jù)方程(20)和(21)，利用Matlab可以在B-ω平面上繪出周期解穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域的分界線，取參考文獻(xiàn)［10］的實(shí)例，參數(shù)取值為:ρ=2.5×103kg/m3，c=0.1，E=3.5 ×109Pa，γ =0.15，a=3.5 m，b=4 m，h=0.2 m，N=600 N/m，k1=4 ×108N/m3，k2=4 ×107N/m3。方程(6)的周期解穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域的分界線如圖2所示。其中，有剖面線的區(qū)域?yàn)椴环€(wěn)定區(qū)域，其余為穩(wěn)定區(qū)域。對(duì)非線性彈性地基上矩形薄板的設(shè)計(jì)的工程實(shí)際問題而言，分界線上周期解的穩(wěn)定性并不重要，但必須避免系統(tǒng)的參量落入不穩(wěn)定區(qū)域，以免發(fā)生參量共振。

圖2 參數(shù)平面的穩(wěn)定區(qū)Fig.2 Region of stabilization

3 非線性彈性地基上矩形薄板的頻響特性分析

把式(8)中兩式平方相加，得頻率響應(yīng)方程為:

從方程(22)可知，非線性彈性地基上矩形薄板的振動(dòng)頻率是振幅B的函數(shù)，即ω=f(B)。取與參考文獻(xiàn)［10］中相同的參數(shù)，對(duì)方程(22)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可得到非線性彈性地基上矩形薄板的頻率響應(yīng)特性曲線，如圖3(a)所示。

由圖3可知，非線性彈性地基上矩形薄板的非線性彈性地基反力使非線性彈性地基上矩形薄板的頻率響應(yīng)特性曲線呈硬特性;并且導(dǎo)致了突跳和滯后現(xiàn)象。圖3(b)所示，當(dāng)頻率ω從一個(gè)相對(duì)小的值開始逐漸增大，則振幅沿頻響曲線也逐漸增大，直到點(diǎn)1，在該點(diǎn)頻響曲線有鉛直切線，當(dāng)頻率繼續(xù)增大時(shí)，振幅突然從點(diǎn)1跳到頻響曲線較低分支的點(diǎn)2上，然后沿頻響曲線逐漸減小。反之，如果ω從一個(gè)相對(duì)大的值開始逐漸減小，則振幅沿頻響曲線逐漸增大，直到點(diǎn)3，在該點(diǎn)頻響曲線有鉛直切線，當(dāng)頻率繼續(xù)減小時(shí)，振幅突然跳到頻響曲線較高分支的點(diǎn)4上，然后從點(diǎn)4開始，振幅沿頻響曲線逐漸減小。在頻響曲線上，兩個(gè)跳躍之間形成一個(gè)滯后環(huán)。在滯后環(huán)內(nèi)，振幅是頻率的多值函數(shù)。分析和計(jì)算表明，當(dāng)橫向激勵(lì)的幅值逐漸改變時(shí)，也存在振幅的突跳和滯后現(xiàn)象。

圖3 頻率響應(yīng)曲線圖Fig.3 Curve of frequency response

圖4 線性因素對(duì)頻響特性的影響Fig.3 The effectness of nonlinear factors for frequency response

4 非線性彈性地基板非線性因素的忽略條件

從方程(1)和方程(6)不難看出，k2和ξ的大小反映了非線性彈性地基反力取k1w+k2w3時(shí)，非線性彈性地基板的非線性強(qiáng)弱。取與文獻(xiàn)［10］中相同的參數(shù)對(duì)式(22)進(jìn)行計(jì)算，可得非線性的強(qiáng)弱(由k2和ξ表征)對(duì)頻響特性的影響，如圖4所示。顯然，k2和ξ的值越大，系統(tǒng)的剛度非線性越強(qiáng)，頻響曲線越向右彎曲。由方程(8)中的第一式可以得到:

由式(23)可知，只有當(dāng):

成立時(shí)，k2和ξ才為小值，才能忽略非線性彈性地基板的非線性因素的影響。因此，在對(duì)地基板進(jìn)行設(shè)計(jì)和計(jì)算分析時(shí)，只有在各個(gè)參數(shù)滿足式(24)時(shí)才可以不考慮非線性因素的影響;否則就不能忽略地基板的非線性因素。所以，式(24)是非線性彈性地基反力取k1w+k2w3時(shí)，非線性彈性地基板非線性因素的忽略條件。

5 結(jié)論

通過以上分析可以看到，對(duì)于地基上矩形薄板當(dāng)考慮非線性因素時(shí)，其振動(dòng)特性與線性情況相比較有很大的區(qū)別，可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1)非線性彈性地基上矩形薄板的振動(dòng)除了存在主共振外，當(dāng)激勵(lì)頻率接近派生系統(tǒng)固有頻率時(shí)還存在超諧波共振和亞諧波共振。

(2)只有系統(tǒng)的參量位于由式(20)和式(21)確定的穩(wěn)定區(qū)范圍時(shí)，才有穩(wěn)定的周期解，并不是所有參量對(duì)應(yīng)的周期解都是穩(wěn)定的。

(3)頻響特性的分析結(jié)果表明，考慮地基上矩形薄板當(dāng)考慮非線性因素時(shí)，其振動(dòng)產(chǎn)生突跳和滯后現(xiàn)象，當(dāng)ω=p時(shí)其振幅不一定是最大點(diǎn)。

(4)得到非線性彈性地基板非線性因素的忽略條件式(24);只有在各個(gè)參數(shù)滿足式(24)時(shí)才可以不考慮非線性因素的影響。

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