地震作用下相鄰結(jié)構(gòu)間阻尼器的優(yōu)化參數(shù)研究

黃 瀟，朱宏平

(1.華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，武漢 430074;2.華中科技大學(xué) 控制結(jié)構(gòu)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074)

現(xiàn)代城市人口密集而土地有限，以致很多建筑結(jié)構(gòu)建造得越來越靠近。當(dāng)強(qiáng)震發(fā)生時(shí)，相鄰建筑結(jié)構(gòu)間可能會(huì)發(fā)生碰撞［1］。若采用耗能減震裝置來連接相鄰結(jié)構(gòu)，既可吸收部分地震能量，又能避免結(jié)構(gòu)間的碰撞。相鄰結(jié)構(gòu)耗能減震體系已在多個(gè)實(shí)際工程中得到了廣泛的應(yīng)用，例如我國的上海國際貿(mào)易大廈，采用40個(gè)粘滯流體阻尼器將裙房與主結(jié)構(gòu)連接起來，減小了裙房結(jié)構(gòu)的地震扭轉(zhuǎn)效應(yīng)［2］。在相鄰結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制體系中，阻尼器的參數(shù)選取是非常重要的。原有的相鄰結(jié)構(gòu)間阻尼器的優(yōu)化參數(shù)都是通過繁瑣的參數(shù)化研究得到的［3-4］，但這種方法不具有通用性。因此若能采用通用的解析表達(dá)式來直接計(jì)算得到阻尼器的優(yōu)化參數(shù)，這對于相鄰結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制體系的應(yīng)用推廣非常必要。

Zhu等推導(dǎo)出了白噪聲激勵(lì)下，兩單自由度結(jié)構(gòu)間連接的Kelvin型粘彈性阻尼器［5］和Maxwell型粘滯流體阻尼器［6］的優(yōu)化參數(shù)理論表達(dá)式，阻尼器的優(yōu)化參數(shù)可直接由相鄰單自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和自振頻率得到。朱宏平等［7］將兩平行結(jié)構(gòu)簡化為兩單自由度體系，用Voigt粘彈性阻尼器模型表示被動(dòng)連接單元，運(yùn)用Kuhn-Tucker優(yōu)化原理導(dǎo)出了隨機(jī)激勵(lì)下連接單元的優(yōu)化剛度和優(yōu)化阻尼的一般表達(dá)式。Bhaskararao等［8］推導(dǎo)出了白噪聲激勵(lì)下，對應(yīng)于不同控制目標(biāo)的雙體單自由度體系間粘滯流體阻尼器的優(yōu)化阻尼的理論表達(dá)式。上述所作研究均是基于雙體單自由度結(jié)構(gòu)進(jìn)行的，結(jié)構(gòu)模型均過于簡單。Zhu等［9］將基于相鄰單自由度結(jié)構(gòu)體系推導(dǎo)的阻尼器優(yōu)化參數(shù)表達(dá)式推廣到了相鄰多自由度結(jié)構(gòu)體系，得出阻尼器的優(yōu)化參數(shù)與相鄰結(jié)構(gòu)的第一階自振頻率和總質(zhì)量有關(guān)的推論。但上述結(jié)論僅限于單一場地條件同一地震強(qiáng)度作用下的相鄰線彈性結(jié)構(gòu)。對于不同場地特性不同強(qiáng)度地震作用下的相鄰結(jié)構(gòu)，阻尼器優(yōu)化參數(shù)表達(dá)式的適用性是一個(gè)值得關(guān)注的問題。本文首先采用隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法，研究了小震作用下相鄰結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)時(shí)阻尼器優(yōu)化參數(shù)的取值，詳細(xì)分析了結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比和場地條件的變化對阻尼器優(yōu)化參數(shù)的影響，并與理論表達(dá)式算得的優(yōu)化值進(jìn)行了比較;其次采用Bouc-Wen模型模擬結(jié)構(gòu)的滯回特性，分別采用時(shí)域和頻域分析方法研究了強(qiáng)震作用下結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性狀態(tài)時(shí)阻尼器優(yōu)化參數(shù)的取值，與理論值進(jìn)行了對比分析;最后對阻尼器的控制性能作了詳細(xì)的評價(jià)。

1 相鄰結(jié)構(gòu)計(jì)算模型

圖1是層數(shù)分別為n1和n2的相鄰高層建筑結(jié)構(gòu)采用阻尼器連接的示意圖，阻尼器在同一標(biāo)高樓板處水平連接兩結(jié)構(gòu)。采用兩種類型的阻尼器進(jìn)行連接，分別為粘彈性阻尼器和粘滯流體阻尼器。

圖1 相鄰結(jié)構(gòu)簡化模型Fig.1 Simplified model of adjacent structures

1.1 阻尼器計(jì)算模型和優(yōu)化參數(shù)理論表達(dá)式

1.1.1 粘彈性阻尼器

粘彈性阻尼器采用Kelvin模型模擬，阻尼器輸出力表達(dá)式為f(t)=kdΔx(t)+cdΔ(t)，其中kd和cd分別為阻尼器的剛度和阻尼，Δx(t)和Δ(t)分別為阻尼器兩端的相對位移和相對速度。

(1)控制目標(biāo)1:使結(jié)構(gòu)1的平均相對振動(dòng)能量最小

設(shè)β=ω2/ω1為結(jié)構(gòu)2和結(jié)構(gòu)1的第一階自振頻率比，μ=m1/m2為結(jié)構(gòu)1與結(jié)構(gòu)2的總質(zhì)量比，則阻尼器的優(yōu)化剛度系數(shù)βopt與優(yōu)化阻尼系數(shù)Δopt表達(dá)式如下［9］:

當(dāng)β≤1時(shí)，

當(dāng)β＞1時(shí)，

(2)控制目標(biāo)2:使相鄰結(jié)構(gòu)總的平均相對振動(dòng)能量最小

將剛度較大的結(jié)構(gòu)1視作主結(jié)構(gòu)，剛度較小的結(jié)構(gòu)2視作從結(jié)構(gòu)，限制結(jié)構(gòu)2與結(jié)構(gòu)1的頻率比β≤1，對于β＞1只需將結(jié)構(gòu)1與結(jié)構(gòu)2角色互換。阻尼器的優(yōu)化剛度系數(shù)βopt與優(yōu)化阻尼系數(shù)Δopt表達(dá)式為［9］:

當(dāng)μ＜1時(shí)，

當(dāng)μ≥1時(shí)，

可算得Kelvin型粘彈性阻尼器總的優(yōu)化剛度與優(yōu)化阻尼分別為:

1.1.2 粘滯流體阻尼器

(1)控制目標(biāo)1:使結(jié)構(gòu)1的平均相對振動(dòng)能量最?。?］

阻尼器的優(yōu)化阻尼系數(shù)ξopt與優(yōu)化松弛時(shí)間系數(shù)χopt的表達(dá)式分別為:

當(dāng)β≤1時(shí)，

當(dāng)β＞1時(shí)，

(2)控制目標(biāo)2:使相鄰結(jié)構(gòu)總的平均相對振動(dòng)能量最小

限制結(jié)構(gòu)2與結(jié)構(gòu)1的頻率比β≤1，β＞1需將結(jié)構(gòu)1與結(jié)構(gòu)2角色互換。則阻尼器的優(yōu)化阻尼系數(shù)ξopt與優(yōu)化松弛時(shí)間系數(shù)χopt表達(dá)式分別為［9］:

當(dāng)μ≥1時(shí)，

當(dāng) μ＜1且β2＜μ(2μ-1)/(2-μ)時(shí)，

當(dāng) μ ＜1且 β2≥μ(2μ-1)/(2-μ)時(shí)，

可算得Maxwell型粘滯流體阻尼器總的優(yōu)化零頻率阻尼與優(yōu)化松弛時(shí)間為:

對于兩種類型的阻尼器，當(dāng)Kelvin型阻尼器的優(yōu)化剛度kd取為0時(shí)，阻尼器的輸出力表達(dá)式為f(t)=cdΔ(t);當(dāng)Maxwell型阻尼器的松弛時(shí)間λ取為0時(shí)，阻尼器的輸出力表達(dá)式為f(t)=c0Δ(t)。二者形式一樣，阻尼器的輸出力表達(dá)式均為阻尼與阻尼器兩端相對速度的乘積，此時(shí)兩種阻尼器可統(tǒng)一為線性流體阻尼器。

1.2 層間恢復(fù)力模型

本文考慮了結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)和彈塑性狀態(tài)兩種情況，層間恢復(fù)力fji表達(dá)式給出如下。

對于線性層間恢復(fù)力，fji=kji(xji-x(j-1)i)，其中kji為結(jié)構(gòu)i第j層的層間剛度，xji是第j層的位移。對于非線性的層間恢復(fù)力，采用Bouc-Wen模型模擬［10］，fji的表達(dá)式為:

式中:αji為j層屈服后剛度與屈服前剛度的比值;yji=xji-x(j-1)i為第j層的層間相對位移;zji為層間滯回位移;dji為層間屈服位移;Aji、βji、γji和 ηji為控制滯回曲線的參數(shù)。按照等效線性化理論，假設(shè)yji和zji為聯(lián)合高斯過程，則滯變位移可作如下線性化處理［11］:

式中:ceji和keji為等效參數(shù)。當(dāng)ηji=1時(shí)，等效參數(shù)的表達(dá)式為:

等效線性化后，滯變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示成狀態(tài)方程的形式。然后通過迭代求解Lyapunov方程來得到等效參數(shù)中的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量。

2 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

地震激勵(lì)下，Kelvin型阻尼器連接的相鄰結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制體系的運(yùn)動(dòng)方程為:

式中:M、C和K為結(jié)構(gòu)體系的n×n(n=n1+n2)維質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;阻尼矩陣C采用瑞利阻尼模型;Cd和Kd為阻尼器的阻尼和剛度矩陣;X(t)為n維位移向量(t)為地震動(dòng)加速度;I為n維單位列向量。該運(yùn)動(dòng)方程采用狀態(tài)方程表達(dá)如下:

對于Maxwell型阻尼器連接的相鄰結(jié)構(gòu)的狀態(tài)方程和結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的計(jì)算可參考文獻(xiàn)［9］。

3 數(shù)值算例

某兩相鄰高層建筑結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)1與結(jié)構(gòu)2的層數(shù)分別為25層和15層，層高均為3.3 m。各樓層集中質(zhì)量取為1.56×106kg，剪切剛度均為4.0 ×109N/m。則結(jié)構(gòu)1與結(jié)構(gòu)2的第一階自振頻率分別為3.12 rad/s和5.17 rad/s。采用瑞利阻尼模型，設(shè)結(jié)構(gòu)的第一、二階模態(tài)阻尼比相同，均為0.02。過濾白噪聲參數(shù)取為ωg=15.6 rad/s與 ζg=0.6，地面運(yùn)動(dòng)激勵(lì)強(qiáng)度S0取為4.65×10-4m2/rad·s3，假設(shè)在此地震強(qiáng)度激勵(lì)下并且由于阻尼器的耗能作用，兩結(jié)構(gòu)仍處于線彈性階段。在本文中阻尼器僅布置在相鄰結(jié)構(gòu)的第8層和第15層，各個(gè)阻尼器的參數(shù)均相同。

3.1 結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比的變化對阻尼器優(yōu)化參數(shù)的影響

為了研究結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比的變化對阻尼器優(yōu)化參數(shù)的影響，將結(jié)構(gòu)1和結(jié)構(gòu)2的模態(tài)阻尼比分別取為0.02和0.05。圖2中給出了當(dāng)兩結(jié)構(gòu)的阻尼比均為0.02時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量均方差隨Kelvin型阻尼器總的剛度kd的變化曲線。從圖中可以看出，對應(yīng)于控制目標(biāo)1，當(dāng)kd小于臨界值4.0×106N/m時(shí)，阻尼器的剛度對控制效果影響很小;對應(yīng)于控制目標(biāo)2，當(dāng)kd小于臨界值8.0×106N/m時(shí)，阻尼器的剛度對控制效果幾乎沒有影響。但當(dāng)kd的取值超過臨界值后，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量會(huì)隨著kd的增加急劇增大。

圖3給出了當(dāng)結(jié)構(gòu)1的阻尼比為0.05、結(jié)構(gòu)2的阻尼比為0.02時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量均方差隨Maxwell型阻尼器總松弛時(shí)間λ的變化曲線。從圖中可以看出，當(dāng)λ增加時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量均方差僅略微增大，可見Maxwell型阻尼器的松弛時(shí)間對結(jié)構(gòu)控制效果影響很小。當(dāng)結(jié)構(gòu)1與結(jié)構(gòu)2的阻尼比均為0.02時(shí)，請參考文獻(xiàn)［9］?？煽闯霎?dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼比取不同數(shù)值時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量隨總松弛時(shí)間λ的變化規(guī)律是相同的。

從圖2和圖3可以看出，Kelvin型阻尼器的剛度和Maxwell型阻尼器的松弛時(shí)間在較大范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)，對控制效果影響很小，因此Kelvin型阻尼器的優(yōu)化剛度kd與Maxwell型阻尼器的優(yōu)化松弛時(shí)間λ均可取為0。采用理論表達(dá)式算得的kd和λ也均為0，二者的計(jì)算結(jié)果是一致的，此時(shí)兩種類型的阻尼器均變?yōu)榻?jīng)典的線性流體阻尼器。圖4中給出了當(dāng)結(jié)構(gòu)1和結(jié)構(gòu)2的阻尼比分別取為0.02和0.05時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量均方差隨Kelvin(Maxwell)型阻尼器的阻尼cd(c0)的變化曲線。從圖中可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比變化時(shí)，阻尼器的優(yōu)化阻尼不變。對于控制目標(biāo)1，優(yōu)化阻尼約為5.0×107N·s/m;對于控制目標(biāo)2，優(yōu)化阻尼約為4.5×107N·s/m。對于控制目標(biāo)1和控制目標(biāo)2，采用Kelvin(Maxwell)型阻尼器優(yōu)化參數(shù)表達(dá)式算得的優(yōu)化阻尼分別為4.80×107N·s/m 和4.43×107N·s/m，可見參數(shù)化研究值與理論值吻合的非常好?？傻贸觯m然理論表達(dá)式中忽略了結(jié)構(gòu)的阻尼項(xiàng)，但通過參數(shù)化研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩結(jié)構(gòu)的阻尼比相同或者不同時(shí)，阻尼器的優(yōu)化參數(shù)值都不變，并且都與阻尼器優(yōu)化參數(shù)理論值非常一致。

圖2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量均方差隨Kelvin型阻尼器剛度系數(shù)變化曲線(ξ1= ξ2=0.02)Fig.2 Vibration energy changes with the sum of stiffness of visco-elastic damper(ξ1= ξ2=0.02)

圖3 結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量均方差隨Maxwell型阻尼器松弛時(shí)間變化曲線(ξ1=0.05，ξ2=0.02)Fig.3 Vibration energy changes with the sum of relaxation of viscous fluid damper(ξ1=0.05，ξ2=0.02)

圖4 結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量均方差隨Kelvin(Maxwell)型阻尼器阻尼系數(shù)變化曲線Fig.4 Vibration energy changes with the sum of damping coefficients of dampers

3.2 場地條件的變化對阻尼器優(yōu)化參數(shù)的影響

地震激勵(lì)模型中的ωg與ζg分別代表場地土的卓越角頻率和阻尼比，取不同的數(shù)值可代表不同的場地土類型。為了研究場地條件的變化對阻尼器優(yōu)化參數(shù)的影響，采用如下4種地震激勵(lì):

場地1:ωg=15.6 rad/s，ζg=0.60，S0=4.65 ×10-4m2/rad·s3，

場地2:ωg=9.55 rad/s，ζg=0.50，S0=4.65 ×10-4m2/rad·s3，

場地3:ωg=5.18 rad/s，ζg=0.40，S0=4.65 ×10-4m2/rad·s3，

場地4:ωg=3.14 rad/s，ζg=0.30，S0=4.65 ×10-4m2/rad·s3，

其中，場地1和場地2分別代表堅(jiān)硬土質(zhì)和中硬土質(zhì);場地3和場地4代表軟弱土質(zhì)。可發(fā)現(xiàn)，所選場地的卓越角頻率分別對應(yīng)于結(jié)構(gòu)1和結(jié)構(gòu)2的第一階和第二階自振頻率。由于在計(jì)算阻尼器優(yōu)化參數(shù)理論值時(shí)，僅考慮了結(jié)構(gòu)的第一階自振頻率，因此本文選取這四種場地土類型來研究理論表達(dá)式的適用性。

根據(jù)前一小節(jié)的研究成果，結(jié)構(gòu)的阻尼比變化對阻尼器的優(yōu)化參數(shù)值影響很小，在本節(jié)中僅研究兩結(jié)構(gòu)阻尼比均為0.02的情況。采用參數(shù)化研究方法，得出不同場地條件下，結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量均方差隨Kelvin型阻尼器的剛度以及Maxwell型阻尼器的松弛時(shí)間的變化曲線同圖2和圖3，因此優(yōu)化的kd和λ均為0。圖5為結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量均方差隨Kelvin(Maxwell)型阻尼器的阻尼cd(c0)的變化曲線。從圖中可以看出，當(dāng)場地土的卓越角頻率改變時(shí)，阻尼器的優(yōu)化阻尼變化不大，與理論值吻合良好。該結(jié)論更進(jìn)一步的驗(yàn)證了基于兩結(jié)構(gòu)的第一階自振頻率和總質(zhì)量來得到阻尼器優(yōu)化參數(shù)的正確性。

3.3 強(qiáng)震作用下阻尼器優(yōu)化參數(shù)的取值

本小節(jié)研究結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性狀態(tài)時(shí)阻尼器優(yōu)化參數(shù)的取值，結(jié)構(gòu)滯回特性采用Bouc-Wen模型來模擬，結(jié)構(gòu)各層極限屈服位移dji取為 2.5 cm，αji取為 0.1，滯回控制參數(shù)A=1、β =1.95、γ =-0.75、η =1。分別從頻域和時(shí)域兩個(gè)方面進(jìn)行分析，頻域分析采用等效線性化方法，各場地類型的地面運(yùn)動(dòng)激勵(lì)強(qiáng)度S0取為4.65×10-2m2/rad·s3。在進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)共采用三條地震波，分別是 EI Centro波、Northridge波和 Kobe波，并將地震加速度峰值均調(diào)幅為0.4 g。

圖5 結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量均方差隨Kelvin(Maxwell)型阻尼器阻尼系數(shù)變化曲線Fig.5 Vibration energy changes with the sum of damping coefficients of dampers

圖6 結(jié)構(gòu)1底層速度均方差隨Kelvin型阻尼器剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的變化曲線Fig.6 Velocity of first floor of structure 1 changes with the sum of kdand cd

圖7 結(jié)構(gòu)相對振動(dòng)能量隨Kelvin(Maxwell)型阻尼器阻尼系數(shù)的變化曲線Fig.7 Vibration energy changes with the sum of damping coefficients of dampers

圖6(a)為對應(yīng)于不同場地類型的結(jié)構(gòu)1底層速度均方差隨Kelvin型阻尼器的剛度kd的變化曲線，與結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)時(shí)的變化趨勢是一致的，優(yōu)化剛度為0。圖6(b)為結(jié)構(gòu)1底層速度均方差隨Kelvin型阻尼器的阻尼cd的變化曲線，優(yōu)化阻尼約為5.5×107N·s/m，這與線彈性狀態(tài)下采用理論表達(dá)式計(jì)算得到的優(yōu)化值非常接近。

根據(jù)頻域分析結(jié)果，Kelvin型阻尼器的優(yōu)化剛度kd與Maxwell型阻尼器的松弛時(shí)間λ均為0，兩種類型的阻尼器均變?yōu)榻?jīng)典的線性流體阻尼器。圖7為采用時(shí)程分析方法計(jì)算得到的在三種地震波激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)的相對振動(dòng)能量隨Kelvin(Maxwell)型阻尼器阻尼cd(c0)的變化曲線。從圖中可以看出，對應(yīng)于控制目標(biāo)1，優(yōu)化阻尼分別為6.0 ×107N·s/m、5.5 ×107N·s/m和4.0×107N·s/m;對應(yīng)于控制目標(biāo)2，優(yōu)化阻尼分別為6.5×107N·s/m、5.0 ×107N·s/m 和 4.0 ×107N·s/m。可得出在不同地震波作用下，阻尼器的優(yōu)化阻尼相差不大，并且都與理論值4.80×107N·s/m和4.43×107N·s/m比較接近。以EI Centro波為例，沒有阻尼器控制時(shí)結(jié)構(gòu)1和兩結(jié)構(gòu)總的相對振動(dòng)能量分別為和添加阻尼器進(jìn)行控制后，相對振動(dòng)能量分別降低到1.62 ×107J和2.19 ×107J，減小百分比分別達(dá)到34.9%和 41.0%。

4 結(jié)論

本文對相鄰結(jié)構(gòu)間連接的Kelvin型粘彈性阻尼器和Maxwell型粘滯流體阻尼器優(yōu)化參數(shù)理論表達(dá)式的適用性作了詳細(xì)的研究，并得出如下結(jié)論:

(1)結(jié)構(gòu)阻尼比的變化對阻尼器優(yōu)化參數(shù)值影響不大，當(dāng)兩結(jié)構(gòu)的阻尼比相同或者不同時(shí)，阻尼器的優(yōu)化參數(shù)值都不變，并且都與理論值非常一致。

(2)不同場地條件下阻尼器的優(yōu)化參數(shù)值均與理論值吻合良好，更進(jìn)一步的驗(yàn)證了基于兩結(jié)構(gòu)的第一階自振頻率和總質(zhì)量來得到阻尼器優(yōu)化參數(shù)的正確性。

(3)結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性狀態(tài)時(shí)的阻尼器優(yōu)化參數(shù)取值與結(jié)構(gòu)在線彈性狀態(tài)的取值相差不大，均與理論值比較接近。并且采用此優(yōu)化參數(shù)值，對彈塑性狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也能起到很好的控制效果。該結(jié)論非常有利于阻尼器的優(yōu)化參數(shù)理論表達(dá)式的應(yīng)用。

［1］趙建偉，鄒立華，方雷慶.考慮相鄰建筑物碰撞的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2010，29(5):215-219.

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