基于彈性穩(wěn)定約束的桁架臂頂節(jié)鉸點(diǎn)布局優(yōu)化研究

王 欣 王成林 周 楊 徐金帥

1.大連理工大學(xué)，大連，116023 2.大連益利亞工程機(jī)械有限公司，大連，116024

0 引言

桁架臂頂節(jié)鉸點(diǎn)布局問題，是桁架類吊臂方案設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題之一。其設(shè)計(jì)是否合理，直接關(guān)系到桁架吊臂的受力是否合理［1］和整體的抗屈曲能力大小，進(jìn)而影響桁架類起重機(jī)整機(jī)的起重性能。

目前，對(duì)桁架臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析的方法主要有以下三種：一是采用解析法［2］計(jì)算吊臂的強(qiáng)度及穩(wěn)定性，然后對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行篩選取優(yōu)；二是運(yùn)用有限單元法對(duì)桁架類結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸及形狀優(yōu)化［3］；三是運(yùn)用ANSYS對(duì)空間桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)［4］。這幾種方法對(duì)桁架臂結(jié)構(gòu)的研究發(fā)揮了一定的作用，但均存在諸多不足：①桁架類臂架結(jié)構(gòu)復(fù)雜且工況繁多，很難通過解析法獲得最優(yōu)化的結(jié)構(gòu)形式；②有限元參數(shù)化建模困難，優(yōu)化過程繁瑣，耗費(fèi)大量計(jì)算成本；③拓?fù)鋬?yōu)化思想真正應(yīng)用于工程實(shí)際尚有一定的距離，只停留在研究探索階段。

再者，結(jié)構(gòu)鉸點(diǎn)優(yōu)化這類多變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)問題，是傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法難以求解的問題之一［5－6］。文獻(xiàn)［7］通過運(yùn)用遺傳算法，對(duì)結(jié)構(gòu)工作裝置鉸點(diǎn)位置進(jìn)行了優(yōu)化，但又僅局限于該特定結(jié)構(gòu)鉸點(diǎn)形式的求解，對(duì)于桁架臂頂節(jié)鉸點(diǎn)優(yōu)化問題，該方法不能完全適用。

鐵摩辛柯彈性梁理論［8］是工程實(shí)際中求解實(shí)心柱、組合柱以及“格子”柱壓彎穩(wěn)定性問題的經(jīng)典理論之一，廣泛運(yùn)用于軸向壓彎臂架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性計(jì)算與分析。軸心壓彎構(gòu)件在橫向載荷及端部集中彎矩下將產(chǎn)生初始變形，軸向力除有壓縮作用外還將產(chǎn)生附件彎矩使構(gòu)件產(chǎn)生更大變形，工程上稱之為“二次壓彎效應(yīng)”，而這種現(xiàn)象在工程實(shí)際與研究中往往不應(yīng)該被忽略。因此，本文以鐵摩辛柯彈性梁理論為依據(jù)建立優(yōu)化模型。

桁架臂頂節(jié)鉸點(diǎn)優(yōu)化問題是多變量、多極值點(diǎn)的約束非線性規(guī)劃問題，常規(guī)的優(yōu)化方法不易得到最優(yōu)解。遺傳算法［9－11］具有全局尋優(yōu)的能力，能夠解決復(fù)雜的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，在結(jié)構(gòu)分析領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛?；诖?，本文從工程實(shí)際出發(fā)，以桁架臂頂節(jié)鉸點(diǎn)位置為優(yōu)化變量，以各鉸點(diǎn)坐標(biāo)值上下邊界及兩鉸點(diǎn)不產(chǎn)生干涉最小距離為約束條件，以最小屈曲儲(chǔ)存應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，在MATLAB環(huán)境下編制了優(yōu)化分析程序，運(yùn)用改進(jìn)的遺傳算法對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

1 結(jié)構(gòu)鉸點(diǎn)布局優(yōu)化模型的建立

桁架臂頂節(jié)鉸點(diǎn)布局設(shè)計(jì)中，鉸點(diǎn)的合理布置可以改善桁架臂結(jié)構(gòu)在起吊重物過程中的受力性能，降低撓度，提高整體穩(wěn)定性。

桁架臂鉸點(diǎn)布局優(yōu)化的關(guān)鍵是從工程復(fù)雜設(shè)計(jì)問題中抽象建立起合理的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立，不僅要考慮工程實(shí)際中各鉸點(diǎn)上各部件的安裝狀態(tài)，避免干涉，還應(yīng)考慮整個(gè)頂節(jié)的運(yùn)輸尺寸的要求。在此基礎(chǔ)上，還要尋找適合該問題的合理的目標(biāo)函數(shù)。

1.1 桁架臂主要載荷的確定

桁架式吊臂采用動(dòng)定滑輪實(shí)現(xiàn)重物升降動(dòng)作。作用在桁架臂上的載荷主要有起升載荷、自重、拉索力以及風(fēng)載荷等。桁架臂自重可視為沿桁架臂長(zhǎng)度方向均勻分布，按力矩平衡原理，也可認(rèn)為按重心位置分配至桁架臂根部鉸點(diǎn)和頂端，本文計(jì)算時(shí)采用后者。圖1所示為桁架臂受力狀態(tài)，其中，e1為桁架臂軸線到起升繩導(dǎo)向滑輪中心的距離（拉索鉸點(diǎn)與升繩導(dǎo)向滑輪中心重合）；e2為桁架臂軸線到起升定滑輪中心的距離；θ為桁架臂仰角；θ1為拉索與桁架臂軸線的夾角；θ2為起升鋼絲繩與桁架臂軸線的夾角；Q為起重量；T1為拉索拉力；T2為起升繩拉力。

圖1 桁架臂受力簡(jiǎn)圖

垂直方向載荷Q0為

式中，φ1為自重沖擊系數(shù)；φ2為起升動(dòng)載系數(shù)；G為吊臂自重。

桁架臂軸向載荷S為

變幅平面內(nèi)端部彎矩M0為

式中，r為導(dǎo)向滑輪半徑。

由以上受力分析可知，起重桁架臂是以受壓為主的軸向壓彎構(gòu)件。理想情況下，桁架臂在頂節(jié)處僅受軸向載荷，但實(shí)際情況下，需要考慮部件的安裝空間、工藝等要求，各鉸點(diǎn)位置不能重合于臂架軸線上，因此必然引起附加的彎矩。而合理布置鉸點(diǎn)位置，可最大限度地減小這種附加彎矩，從而改善臂架受力。

1.2 桁架臂結(jié)構(gòu)截面慣性矩計(jì)算

對(duì)于圖1所示的桁架臂臂架結(jié)構(gòu)，需要計(jì)算其任意截面慣性矩，才能進(jìn)行力學(xué)模型的簡(jiǎn)化，其簡(jiǎn)化方法如下：

對(duì)于不同結(jié)構(gòu)形式的臂架結(jié)構(gòu)（圖2），任意截面m－n慣性矩可由下式求得：

式中，I1為桿頂端截面慣性矩；n為與形狀有關(guān)的常數(shù)，對(duì)于圖2c所示的結(jié)果取n＝2。

1.3 桁架臂力學(xué)模型簡(jiǎn)化

如圖3所示，在變幅平面內(nèi)（桁架臂繞根部鉸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的平面），將桁架臂模型簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)支梁形式，桁架臂受軸向載荷S、自重分量的均布載荷q以及端部彎矩M0的共同作用。

圖2 不同結(jié)構(gòu)形式臂架示意圖

橫向均布載荷q大小為

式中，l為臂長(zhǎng)名義尺寸，為桁架臂根部鉸點(diǎn)與起升滑輪鉸點(diǎn)距離，一般設(shè)計(jì)為整數(shù)。

則桁架臂力學(xué)模型可以簡(jiǎn)化為圖3所示的簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)形式。

圖3 桁架臂簡(jiǎn)化力學(xué)模型圖

由鐵摩辛柯彈性穩(wěn)定性理論可推知下面兩個(gè)方程。

（1）由力偶引起的梁—柱壓彎撓曲方程。如圖4所示，簡(jiǎn)支梁受軸向力S與端部力偶作用，則y向產(chǎn)生的位移y1為

式中，E為彈性模量；I為截面慣性矩。

圖4 力偶引起的梁—柱彎曲圖

（2）由均載引起的梁—柱壓彎撓曲方程。如圖5所示，簡(jiǎn)支梁受軸向力S與均載q作用，則y向產(chǎn)生的位移y2為

則桁架臂實(shí)際撓曲方程為

圖5 均載引起的梁—柱彎曲圖

1.4 能量法在鉸點(diǎn)布局設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

在彈性材料體內(nèi)，如果略去加載和卸載過程中的能量損耗，外力所做的功在數(shù)值上就等于積蓄在彈性材料體內(nèi)的應(yīng)變能。

對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)單元，整體應(yīng)變能高的時(shí)候，應(yīng)力會(huì)處于較高的狀態(tài)。所以從宏觀角度來(lái)看，變形以及應(yīng)力可以體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)整體或者單元的應(yīng)變能上。故本文中，以整體結(jié)構(gòu)最小屈曲儲(chǔ)存應(yīng)變能這一量化指標(biāo)作為評(píng)判鉸點(diǎn)布局設(shè)計(jì)合理性的標(biāo)準(zhǔn)。

1.5 桁架頂節(jié)部鉸點(diǎn)布局優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

以屈曲儲(chǔ)存應(yīng)變能最小為目標(biāo)，以頂節(jié)鉸點(diǎn)位置上下限為約束，對(duì)桁架臂頂節(jié)鉸點(diǎn)布局進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

桁架臂屈曲儲(chǔ)存應(yīng)變能方程：

如圖6所示，以桁架臂軸線方向?yàn)閤′坐標(biāo)，過起升滑輪鉸點(diǎn)且垂直于桁架臂軸線方向?yàn)閥′坐標(biāo)，建立局部坐標(biāo)系。

圖6 頂節(jié)鉸點(diǎn)位置可行域

可知，起升滑輪鉸點(diǎn)坐標(biāo)P1∈Ω1，拉索鉸點(diǎn)坐標(biāo)P2∈Ω2。這里

且根據(jù)工程實(shí)際中安裝等需要，兩滑輪距離要滿足：

式中，d0為兩滑輪最小安裝距離。

因此，該優(yōu)化模型可最終表示為

2 桁架臂受力影響因素分析

桁架臂結(jié)構(gòu)整體主要受起吊過程中工作工況狀態(tài)的不同以及各鉸點(diǎn)位置的具體布置情況等影響，集中體現(xiàn)于桁架臂實(shí)際所受軸向力及端部彎矩的大小。因此，分析不同工況及頂節(jié)鉸點(diǎn)位置的布局對(duì)桁架臂軸向力及端部彎矩的影響，有利于確定典型工況、探尋各鉸點(diǎn)對(duì)桁架臂受力影響大小。

2.1 桁架臂受力典型工況的選取

以某150t桁架臂起重機(jī)為例，其頂節(jié)各鉸點(diǎn)如圖6所示。該型號(hào)起重機(jī)頂節(jié)起升滑輪鉸點(diǎn)坐標(biāo)與拉索鉸點(diǎn)局部坐標(biāo)分別為（0，y′q），（x′p，y′p）。其數(shù)值大小為：y′q＝ －477mm；x′p＝ －200mm，y′p＝608mm。桁架臂軸向力S及端部彎矩M0隨桁架臂仰角θ及起重量Q變化情況如圖7所示。

圖7 桁架臂軸向力和端部彎矩變化趨勢(shì)圖

分析可知：①該型號(hào)起重機(jī)最小臂架軸向力及最小端部彎矩工況出現(xiàn)在桁架臂為仰角45°左右的時(shí)候；②桁架臂軸向力及端部彎矩隨起重量的增加呈現(xiàn)非規(guī)律性變化。

因此，可選擇幾個(gè)不同角度、吊載不同起重量工作工況作為典型工況，分別對(duì)其桁架頂節(jié)部鉸點(diǎn)位置布局進(jìn)行優(yōu)化，探尋其優(yōu)化結(jié)果的不同。

2.2 鉸點(diǎn)位置對(duì)桁架臂受力影響分析

對(duì)于選定的典型工況，桁架臂軸向力S與端部彎矩M0隨頂節(jié)各鉸點(diǎn)位置坐標(biāo)的不同呈現(xiàn)規(guī)律性變化：

（1）由圖8可知，在起升滑輪鉸點(diǎn)坐標(biāo)值確定的情況下，軸向力及端部彎矩隨拉索鉸點(diǎn)縱坐標(biāo)的增加而遞減，而隨橫坐標(biāo)的增大先遞增后遞減。

（2）由圖9可知，在拉索鉸點(diǎn)坐標(biāo)值確定的情況下，起升滑輪鉸點(diǎn)縱坐標(biāo)值越大，其軸向力越小，而端部彎矩值反而增大。

圖8 桁架臂軸向力和端部彎矩變化趨勢(shì)圖

圖9 桁架臂軸向力和端部彎矩變化趨勢(shì)圖

由上述變化規(guī)律可知，桁架臂軸向力與端部彎矩隨頂節(jié)鉸點(diǎn)位置坐標(biāo)的變化呈現(xiàn)非嚴(yán)格遞增或遞減趨勢(shì)。優(yōu)化問題最優(yōu)解很可能不在邊界處得到，需要尋找合適的算法對(duì)可行域進(jìn)行搜索求得。

3 優(yōu)化問題的求解

3.1 優(yōu)化算法的選擇

遺傳算法具有全局尋優(yōu)的能力，能夠解決復(fù)雜的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。但常規(guī)的遺傳算法容易陷入局部最優(yōu)，需要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，下面介紹常見的改進(jìn)方法。

3.1.1 自適應(yīng)交叉和變異概率

遺傳算法中交叉概率Pc和變異概率Pm的選擇是影響遺傳算法行為和性能的關(guān)鍵所在，直接影響算法的收斂性。Pc過大，新個(gè)體產(chǎn)生的速度過快，會(huì)導(dǎo)致遺傳規(guī)模被破壞的可能性變大。但如果Pc過小，會(huì)使搜索速度緩慢，甚至停滯不前。對(duì)于變異概率Pm，如果Pm過小，不易產(chǎn)生新的個(gè)體；如果Pm取值過大，遺傳算法就變成了純粹的隨機(jī)搜索算法。自適應(yīng)遺傳算法在保持群體多樣性的同時(shí)，能保證遺傳算法的收斂性。經(jīng)過改進(jìn)后的Pc和Pm的計(jì)算表達(dá)式可參見文獻(xiàn)［12］。

3.1.2 小生境適應(yīng)度共享函數(shù)

在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法（SGA）中，交配完全是隨機(jī)的，雖然這種隨機(jī)化的雜交形式在尋優(yōu)的初始階段保持了解的多樣性，但在進(jìn)化后期，大量個(gè)體集中于某一極值點(diǎn)上，其后代就造成了近親繁殖。

為避免上述現(xiàn)象的產(chǎn)生，常運(yùn)用小生境適應(yīng)度共享函數(shù)代替原有的個(gè)體適應(yīng)度值，其基本做法如下：通過表征個(gè)體之間相似程度的共享函數(shù)（表示群體中兩個(gè)個(gè)體之間關(guān)系密切程度的函數(shù)）來(lái)調(diào)整群體中各個(gè)體的適應(yīng)度，從而在群體的進(jìn)化過程中，依據(jù)調(diào)整后的新適應(yīng)度來(lái)進(jìn)行選擇操作，以便維護(hù)群體的多樣性，創(chuàng)造出小生境的進(jìn)化環(huán)境。共享函數(shù)的表達(dá)式參見文獻(xiàn)［13］。

3.1.3 幾種常見算法對(duì)比分析

依據(jù)上述改進(jìn)方法，本文分別用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法（SGA）、自適應(yīng)遺傳算法（AGA）、小生境遺傳算法（NSGA）、自適應(yīng)小生境遺傳算法（NAGA）求解鉸點(diǎn)優(yōu)化問題，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為臂架強(qiáng)度應(yīng)力公式，其優(yōu)化結(jié)果如表1所示，優(yōu)化圖解如圖10所示。

圖10 四種優(yōu)化算法優(yōu)化圖解

結(jié)果表明：①NSGA、NAGA優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于SGA、AGA優(yōu)化結(jié)果，但計(jì)算效率較之更低；②NAGA優(yōu)化效率強(qiáng)于NSGA優(yōu)化結(jié)果，收斂性更強(qiáng)。

表1 四種優(yōu)化算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

考慮到工程實(shí)際要求，本文選取自適應(yīng)小生境遺傳算法為本文的最終優(yōu)化算法，其優(yōu)化結(jié)果更好、收斂性更強(qiáng)，計(jì)算效率也能滿足要求。

3.2 問題求解

以某150t桁架臂起重機(jī)為例，選取該起重機(jī)典型工況如表2所示。基于自適應(yīng)小生境遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，取群體大小為200，交叉概率Pc＝0.8，變異概率Pm＝0.08，基因型與表現(xiàn)型Niche半徑分別取σr1＝3，σr2＝0.005。

表2 150t桁架臂起重機(jī)典型工況

針對(duì)表2中工況，在MATLAB中編寫遺傳算法求解優(yōu)化問題，優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 三種典型工況下最優(yōu)解

由表3可知：優(yōu)化后臂架結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變能較之前得以大大降低，優(yōu)化后臂架結(jié)構(gòu)總體應(yīng)變能處于較低能級(jí)狀態(tài)；鉸點(diǎn)位置最優(yōu)解隨工況的變化而變化。

工程實(shí)際中，可根據(jù)需要選取關(guān)鍵性的代表性工況進(jìn)行優(yōu)化問題求解（例如，臂架結(jié)構(gòu)對(duì)于工況1有較高要求，則優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可選擇為該工況下其整體應(yīng)變能），也可以選擇多個(gè)典型工況以各個(gè)工況應(yīng)變能的加權(quán)之和為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解（例如，臂架結(jié)構(gòu)對(duì)于工況1、工況2、工況3均有較高要求，則優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可選擇為三種工況下其整體應(yīng)變能的加權(quán)之和）。

圖11 三種典型工況下最優(yōu)圖解

4 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析

針對(duì)上述優(yōu)化結(jié)果，分析比較吊臂整體穩(wěn)定性。具體表達(dá)式參見文獻(xiàn)［14］。由此計(jì)算出的軸向力、彎矩及整體穩(wěn)定性應(yīng)力的對(duì)比如表4所示。

表4 優(yōu)化前后桁架臂整體穩(wěn)定性應(yīng)力對(duì)比

優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比分析表明：優(yōu)化后桁架臂整體穩(wěn)定性得到改善，軸向力減小，端部彎矩大幅降低。

5 結(jié)論

（1）將鐵摩辛柯彈性梁理論運(yùn)用于鉸點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，通過實(shí)際算例驗(yàn)證，在優(yōu)化結(jié)果上取得了滿意的表現(xiàn)。

（2）提出了以頂節(jié)鉸點(diǎn)位置坐標(biāo)上下限及鉸點(diǎn)距離大小為約束條件，以結(jié)構(gòu)整體最小屈曲儲(chǔ)存應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化結(jié)果分析表明其合理性。

（3）通過將遺傳算法應(yīng)用于鉸點(diǎn)位置布局優(yōu)化當(dāng)中，并運(yùn)用自適應(yīng)小生境的思想對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，求解工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)組合優(yōu)化問題。

（4）該方法除可以應(yīng)用于桁架臂結(jié)構(gòu)鉸點(diǎn)布局優(yōu)化，還可以為其他形式細(xì)長(zhǎng)梁鉸點(diǎn)布局提供設(shè)計(jì)依據(jù)。

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